第三为 第三章 泰勃(Taylor)公式 理论分析 用多项式近似表示函数一应用 近似计算 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 ▣ao⊙o8
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式： f(x)≈f(x)+f'(x,x-x) y=f(x) P(x) P(x) x的一次多项式 特点：p(xo)=f(xo) Xo x 以直代曲 p(xo)=f(xo) 如何提高精度？ 需要解决的问题 如何估计误差？ Oo▣⊙⊙8
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式pn(x),要求： Pn(xo)=f(xo).Ph(xo)=f(xo).(xo)=f(o) 令 pn(x)=a0+4(x-x0)+a2(x-x0)2+.+an(x-x0)” 则 Pi(x)= a+2a2(x-0)++nan(x-x0)”-1 ph(x)= 2la2+.+n(n-1)an(x-x0)"-2 p(x)= nlan ao=Pn(xo)=f(xo), a=ph(xo)=f'(xo), a=动p%(o)=f"(o),an=pg0(x0)=hfm(x） 故Pn(x)=f(x)+f'(x0x-0)+}f"(x0)(x-x0)2+ +m(xo)(x-xo)
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( )0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2 ! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n an = ! ( ) ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n na x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
2.余项估计 令R,(x)=f(x)-Pn(x)(称为余项)，则有 R(xo)=P,(x)=.=Rm(x)=0 R,(x) (x-xo)2+I R(x)-R (Xo)= R,(5) (51在x与x之间) (x-x)m+1-0 (n+1)(5-xo)” R(51)-R,(x) R(52) (52在x与 (n+10(气-xo)”-0(n+1)n(52-xo)” 51之间 Rm(5n）-R”(x)_Rm(5) (5在x与之间 (n+1).2(5m-)-0 (n+1)川 Ooo⊙@8
) 0 ( 在x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − = 2. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在x 与x之间) 1 2 0 ( 之间 在 与 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
R(x)=f(x)-pr(x) R,(x) R,m+D(5) (r-o) (5在xo与x之间 (n+1)！ p(x)=0,∴.R+(x)=fm+(x) R(x)() m+)'x-)(传在6与x之间 当在x的某邻域内fm+(x)≤M时 R(ea4nr- M ∴.R,(x)=o(x-x)”)(x→xo)
R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 f(x)=f()+f(xo)x-x)+(x-x+ 21 +f((x-+R,(x) ① n! 其中，9=“⑤ (n+1)！ x-)1(5在x,与x之间② 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 Oo▣⊙⊙8
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R,(x)=o[(x-x)”] ③ 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f(x)=f(x)+f(oXx-x)+(x-x0+. 21 +f(x2x-x”+ox-x0)P] ④ n! 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺Peano)余项 *可以证明： f(x)在点xo有直到n阶的导数 >④式成立
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f0)=f0)+f(ox-0)+f"0x-x2+ 2 +fmx-,P+"9x-)m (n+1)！ 特例： (5在x,与x之间 (1)当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f'(5)(x-x) (5在x0与x之间 (2)当n=1时，泰勒公式变为 f)=f0)+f0Xx-)+,56x- 可见f(x)≈f(xo)+f'(o)x-xo) 2在0与x之间 误差 R)-目x-P(传有wx之间 df Oooo⊙8 机无
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取x=0,5=0x(0<0<1),则有 0+0+9+0 n! +fam"0yx (n+1)川 称为麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此得近似公式 fx)≈f0)+f0x+f'0x2++m0x 2! n! 若在公式成立的区间上fm(x)≤M,则有误差估计式 M R,(x)≤ +0 n+l
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式 (1)f(x)=ex f(x)=e,f(0)=1(k=1,2,） 2 e*=1+x+ 头3 2！31 其中R,()= +DH (0<0<1) OOo⊙⊙8 机
二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) , (k) x f x = e (0) 1 ( 1,2, ) f (k ) = k = x e =1 + x 3! 3 x + + n ! x n + R (x) + n 2! 2 x + 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束