海南大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）ch7 参数估计 第一讲 点估计、基于截尾样本的最大似然估计、估计量的评选标准

第一讲点估计基于截尾样本的最大似然估计估计量的评选标准 I.授课题目（章节） §7.1点估计 §7.2基于截尾样本的最大似然估计 §7.3估计量的评选标准 Ⅱ.教学目的与要求 1.会用矩估计法进行参数估计： 2.掌握最大似然估计法： 3.知道两种截尾寿命实验下的最大似然估计法： 了解估计量常用的三个评选标准 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：矩估计法和最大似然估计法的应用 难点：最大似然估计法的应用 V.讲授内容： §7.1点估计 估计问题 总体X的分布函数的形式已知，有一个或多个未知参数，借助其样 本估计总体未知参数的值. 例1.在某炸药厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服 从以为参数入>0的泊松分布，参数入为未知.现有以下的样本值，试估计参数入 着火次数k 0123456 发生k次着火的天数n75905422621=250 解由于X~π()，故有入=E(X).用样本均值来估计总体均值. X=每 250[0X75+1×90+2×54+3×2+4×65X2+6x1]l.2 得E(X)=元的估计为1.22， 点估计问题 设总体X的分布函数F(x;0)的形式已知，日是待估参数，构造一个适当统计量 (X,X2,.,Xn),用它的观察值(x,x2,.,xn)作为未知参数0的近似值.。 称X,X2,Xn)为8的估计量，9x,x2,.,xn)为8的估计值. 在例1中用样本均值来估计总体均值，有 估计最=0之，m-0估计值=B0之x2 n 二、矩估计法 矩估计法：用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相

第一讲点估计 基于截尾样本的最大似然估计 估计量的评选标准 Ⅰ.授课题目（章节） §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 Ⅱ.教学目的与要求 1. 会用矩估计法进行参数估计； 2. 掌握最大似然估计法； 3. 知道两种截尾寿命实验下的最大似然估计法； 4. 了解估计量常用的三个评选标准. Ⅲ.教学重点与难点： 重点：矩估计法和最大似然估计法的应用 难点：最大似然估计法的应用 Ⅳ.讲授内容： §7.1 点估计 一、估计问题：总体 X 的分布函数的形式已知，有一个或多个未知参数，借助其样 本估计总体未知参数的值. 例1. 在某炸药厂，一天中发生着火现象的次数 X 是一个随机变量，假设它服 从以为参数   0 的泊松分布，参数  为未知.现有以下的样本值，试估计参数  . 着火次数 k 0 1 2 3 4 5 6 发生 k 次着火的天数 k n 75 90 54 22 6 2 1  = 250 解 由于 X ～ () ,故有  = E(X ) .用样本均值来估计总体均值.   = = = 6 0 6 0 k k k k n kn x = 250 1 [0×75+1×90+2×54+3×22+4×6+5×2+6×1]=1.22. 得 E(X ) =  的估计为 1.22. 点估计问题: 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式已知, 是待估参数,构造一个适当统计量 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn ,用它的观察值 ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 作为未知参数  的近似值. 称 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 为  的估计量, ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 为  的估计值. 在例 1 中用样本均值来估计总体均值,有 估计量  = ˆ  E(X) = = n k X k n 1 1 , n =250. 估计值  = ˆ  E(X) = = n k k x n 1 1 =1.22. 二、矩估计法 矩估计法：用样本矩作为相应的总体矩的估计量,而以样本矩的连续函数作为相

应的总体矩的连续函数的估计量 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x:日，6，.，0)，或X为离散型随机 变量，其分布律为P{X=x}=px:日，日，.，0)，其中日，82，.，日为待估参 数，X,X2,X是来自X的样本假设总体X的前k阶矩 4,=E(X')=x'fx:8,8,.,0）dk （X为连续型) 或 4,=E(X)=∑xpx:0,82,.,0) (X为离散型》 (1=1,2,.,k)(R是X可能取值的范围)存在.样本矩为 4=2x n 矩估计法的具体做法：设 41=41(8,82,.,8) 4,=4,(08,.,8,)(这是包含k个参数日，品，.，日的方程组) 4k=44(8,82,.,Bg) 解出上面的方程组，得到 81=8(41,42,.,4g2 02=02(041,42,.,4 8=841,42,.,4) 以A,分别代替上式中的4，i=12,k,就以日=日(4,4，4)，i=l2.,k 分别作为8,1=1,2，.，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称 为矩估计值. 例2.设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知.X,X2,Xn是来自X 的样本，试求a,b的矩估计量. 解 =E(X)=a+b 4=X 2 4=Ex3)=6-a)2 (a+b)2' 4=2x' 12 4 n (a+b=X 4=A 得 2 42=A (b-a)2 +a+b)21 X 12 4

应的总体矩的连续函数的估计量. 设 X 为连续型随机变量,其概率密度为 f (x ;    k , , , 1 2  ) ,或 X 为离散型随机 变量,其分布律为 P{X = x} = p(x ;    k , , , 1 2  ) , 其中    k , , , 1 2  为待估参 数, X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本.假设总体 X 的前 k 阶矩  l = ( ) l E X =   − l x f (x ;    k , , , 1 2  ) dx ( X 为连续型) 或  l = ( ) l E X =  RX x l x p(x ;    k , , , 1 2  ) ( X 为离散型) ( l = 1,2,  , k )( RX 是 X 可能取值的范围)存在.样本矩为 = = n i l l Xi n A 1 1 矩估计法的具体做法:设        = = = ( , , , ). ( , , , ) ( , , , ), 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k k k k                    (这是包含 k 个参数    k , , , 1 2  的方程组) 解出上面的方程组,得到        = = = ( , , , ). ( , , , ), ( , , , ), 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k k k k                    以 Ai 分别代替上式中的  i , i = 1,2,  , k ,就以 ( , , , ) ˆ i =i A1 A2  Ak ,i = 1,2,  , k 分别作为  i ,i = 1,2,  , k 的估计量,这种估计量称为矩估计量, 矩估计量的观察值称 为矩估计值. 例 2.设总体 X 在[ a,b ]上服从均匀分布, a,b 未知. X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本,试求 a,b 的矩估计量. 解        + + − = = + = = 4 ( ) 12 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 b a a b E X a b E X   ,      = = = n i Xi n A A X 1 2 2 1 1 , 令    = = 2 2 1 1 A A   得        = + + − = + = n i Xi n b a a b X a b 1 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 2

a+b=2 即 6-a=22x- 解得 a=x-,22x,-x 3x,-) 例3.已知X,X2,.,X来自指数分布，求0的矩估计量. 解4=汉，4-xe杰=0 令4=A,解得=灭为0的矩估计量 另外：若有容量为3的样本：1250,1150,1200，则X=1200,故有0=1200为矩估 计值. 例4.设总体X的均值4及方差σ2都存在，且有σ2>0.但4，σ2均为未知 又设X,X2,.,X是来自X的样本.试求4，o2的矩估计量。 解 =E(X)= 4= 4=EX)=DX)+[EX2=a2+2, 4,=x n台 u=X 令 4=A 4=A 2+2-2x [i= 解得 62=12x,-2 n 注：所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量表达方式不因不同的总体分布而 异 例如，X~N(4,c2),4,σ2未知，即得4，o2的矩估计量为 i=X 6=2x-0 n 三、最大似然估计法

即      − = − + = = n i Xi X n b a a b X 1 3 2 2 2 2 解得 a ˆ = X - 2 1 ( ) 3 = − n i Xi X n , b ˆ = X + 2 1 ( ) 3 = − n i Xi X n . 例 3.已知 X1 , X Xn , , 2  来自指数分布,求  的矩估计量. 解 A1 = X ,   − =  = 0 1 1     x e dx x . 令 1 = A1 ,解得  ˆ = X 为  的矩估计量. 另外:若有容量为 3 的样本:1250,1150,1200,则 X = 1200 ,故有 1200 ˆ  = 为矩估 计值. 例 4. 设总体 X 的均值  及方差 2  都存在，且有 0 2   .但  , 2  均为未知. 又设 X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本.试求  , 2  的矩估计量. 解    = = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( )      E X D X E X E X ,      = = = n i Xi n A A X 1 2 2 1 1 , 令    = = 2 2 1 1 A A   得      + = = = n i Xi n X 1 2 2 1 2    解得      = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ   . 注:所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量表达方式不因不同的总体分布而 异. 例如， X ～ N (  , 2  ),  , 2  未知，即得  , 2  的矩估计量为      = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ   . 三、最大似然估计法

若总体X属离散型，其分布律P{X=x}=p(x),O∈⊙的形式为已知，0为 待估参数，⊙是9可能取值的范围.设X,X2,.,X,是来自X的样本，则 X,X2,Xn的联合分布律为 1px;0) 又设x,x2,xn是相应于样本X,X2,Xn的一个样本值，我们易得事件 {化=x,X2=x2,X。=x,}发生的概率为 L(0)=L(x1,x2,xn:0)=Πp(x:8),0e日 这一概率随0的取值而变化，它是0的函数，称L()为样本的似然函数. 若总体X属连续型，其概率密度f(x:)的形式已知，0为待估参数，日是0可 能取值的范围.设X,X,X是来自X的样本，则X,X2,X的联合密度为 fx:0) 又设x,x2,xn是相应于样本X,X2,Xn的一个样本值，则随机点(X, X,X,)落在点(x,出，x,)的领域（边长分别为水，.杰n的n维立方体） 内的概率近似地为 x) 考虑函数 L(0=(x,x,xn:0)=fx;8) 同样称L()为样本的似然函数， 最大似然估计法的方法： 固定样本观察值x,x2,·,x。，在0取值的可能范围内日挑选使似然函数 L(x,2,x0)达到最大的参数值日，作为参数0的估计值。即取0使 (,x,xn:0)=max(,x,xn0) 这样得到的日与样本值，x,x,有关，0(x,x,x)称为参数0的最大似然估 计值，而相应的统计量0(X,X2,·,X,)称为参数的最大似然估计量 晶大似然估计法的先娶· 1.写出样本的似然函数L(: 2.令品40)=0或品h40)=0这方程称为时数似然方相。 3.解上面的方程即得0. 例5.设X~bL,p),X,X2,Xn是来自X的样本

若总体 X 属离散型，其分布律 P{X = x} = p(x;) ,  的形式为已知，  为 待估参数，  是  可能取值的范围. 设 X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本，则 X1 , X Xn , , 2  的联合分布律为 = n i i p x 1 ( ; ) 又设 n x , x , , x 1 2  是相应于样本 X1 , X Xn , , 2  的一个样本值，我们易得事件 { , , , } 1 1 2 2 n n X = x X = x  X = x 发生的概率为 L( ) = L( n x , x , , x 1 2  ;  ) == n i i p x 1 ( ; ) ,  这一概率随  的取值而变化，它是  的函数，称 L( ) 为样本的似然函数. 若总体 X 属连续型，其概率密度 f (x; ) 的形式已知，  为待估参数，  是  可 能取值的范围.设 X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本，则 X1 , X Xn , , 2  的联合密度为 = n i i f x 1 ( ; ) 又设 n x , x , , x 1 2  是相应于样本 X1 , X Xn , , 2  的一个样本值，则随机点( X1 , X Xn , , 2  )落在点( n x , x , , x 1 2  )的领域(边长分别为 dx1 ,dx2 ,  dxn 的 n 维立方体) 内的概率近似地为 = n i i f x 1 ( ; ) dxi 考虑函数 L( ) = L( n x , x , , x 1 2  ;  ) == n i i f x 1 ( ; ) 同样称 L( ) 为样本的似然函数. 最大似然估计法的方法: 固定样本观察值 n x , x , , x 1 2  ，在  取值的可能范围内  挑选使似然函数 L( n x , x , , x 1 2  ;  ) 达到最大的参数值  ˆ ，作为参数  的估计值。即取  ˆ 使 L( n x , x , , x 1 2  ;  ˆ )=  max L( n x , x , , x 1 2  ;  ) 这样得到的  ˆ 与样本值 n x , x , , x 1 2  有关，  ˆ ( n x , x , , x 1 2  )称为参数  的最大似然估 计值，而相应的统计量  ˆ ( X1 , X Xn , , 2  )称为参数的最大似然估计量. 最大似然估计法的步骤: 1. 写出样本的似然函数 L( ) ; 2. 令 ( ) = 0  L d d 或 ln ( ) = 0  L d d (这方程称为对数似然方程); 3. 解上面的方程即得  ˆ . 例 5.设 X ～b(1, p) , X1 , X Xn , , 2  是来自 X 的样本

(1)求参数p的矩估计量： (2)求参数p的最大似然估计量. 解(1)A=x，4=E(X)=p. 令4=A,解得户=灭为p的矩估计量 (2)X的分布律为PX=x}=p(1-p),x=0,1,设x1x2,.,xn是相 应于样本X,X2,X的一个样本值，则似然函数为 Up-Ie- 于是hp-立xhp+a-店x)M-pm: -x 令 p)= dp =0，解得p的最大似然估计值为 P P-1 D-IEx-x 于是p的最大似然估计量为=∑X,=X. n台 例6.设X~N(4,o2),4,o2未知，x,x2,.,xn是来自X的一个样本值 求4，。2的最大似然估计量 解X的概率密度为 f(x4,σ2)= 2元exp2ax-0] 似然函数为 L(u,)-12aewta6-0 =2 x上2a2x- 而

(1) 求参数 p 的矩估计量; (2) 求参数 p 的最大似然估计量. 解 (1) A1 = X , 1 = E(X) = p . 令 1 = A1 ,解得 p ˆ = X 为 p 的矩估计量. (2) X 的分布律为 x x P X x p p − = = − 1 { } (1 ) , x = 0,1 ,设 n x , x , , x 1 2  是相 应于样本 X1 , X Xn , , 2  的一个样本值，则似然函数为 = − = − n i x x i i L p p p 1 1 ( ) (1 ) =  − = = − n i i n i i x n x p p 1 1 (1 ) , 于是 ln ( ) ln ( )ln(1 ) 1 1 L p x p n x p n i i n i =  i + − − = = . 令 0 1 ln ( ) 1 1 = − − = +   = = p n x p x L p dp d n i i n i i ,解得 p 的最大似然估计值为 x x n p n i =  i = =1 1 ˆ 于是 p 的最大似然估计量为 X X n p n i =  i = =1 1 ˆ . 例 6.设 X ～ N (  , 2  ),  , 2  未知， n x , x , , x 1 2  是来自 X 的一个样本值, 求  , 2  的最大似然估计量. 解 X 的概率密度为 ( ; , ) 2 f x   = 2 1 exp ( ) ] 2 1 [ 2 2   − x − 似然函数为 L (  , 2  )= = n i 1 2 1 exp ( ) ] 2 1 [ 2 2   − xi − = / 2 2 / 2 (2 ) ( ) −n −n   exp ( ) ] 2 1 [ 1 2 2 = − − n i i x   而 = = − − − − n i i x n n L 1 2 2 2 ( ) 2 1 ln( ) 2 ln( 2 ) 2 ln    

令 品n-管-m-0 6ah1=-20+202-w=0 解得 ,于是4，σ2的最大似然估计量为 6=2x- n台 A=X 2=2x-对 §7.2基于截尾样本的最大似然估计 在研究产品的可靠性时，需要研究产品寿命T的各种特征.产品寿命T是一个随 机变量，它的分 布称为寿命分布.为了对寿命分布进行统计推断，就需要通过产品的寿 命试验，以取得寿命数据. 一种典型的寿命试验是，将随机抽取的n个产品在时间t=0时，同时投入试验， 直到每个产品都失效.记录每一个产品的失效时间，这样得到的样本（即由所有产品 的失效时间0≤1，≤12≤.≤1，所组成的样本)叫完全样本.然而产品的寿命往往较 长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验 常用的两种截尾寿命试验： 一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的n个产品在时间t=O时同时投入试 验，试验进行到事先规定的截尾时间1。停止.如试验截止时共有m个产品失效，它们 的失效时间分别为 0≤1≤12≤.≤1m≤l0, 此时m是一个随机变量，所得的样本1,12，.，1称为定时截尾样本 另一种是定数截尾寿命试验.假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时同时投 试验，试验进行到有m个(m是事先规定的，m0 f)={1 ,0>0未知 10 t≤0 设有个产品投入试验，分两种截尾寿命试验讨论易得： (1)对于定数截尾样本0≤1，≤12≤.≤1m,日的最大似然估计为

令        = − + − =   = − =     = = n i i n i i x n L L x n 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 2( ) 1 2 ln [ ] 0 1 ln        解得        = − = =   = = n i i n i i x x n x x n 1 2 2 1 ( ) 1 ˆ 1 ˆ   ,于是  , 2  的最大似然估计量为      = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ   §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 在研究产品的可靠性时,需要研究产品寿命 T 的各种特征.产品寿命 T 是一个随 机变量,它的分布称为寿命分布.为了对寿命分布进行统计推断,就需要通过产品的寿 命试验,以取得寿命数据. 一种典型的寿命试验是,将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时，同时投入试验， 直到每个产品都失效.记录每一个产品的失效时间，这样得到的样本（即由所有产品 的失效时间 n  t  t  t 0 1 2 所组成的样本）叫完全样本.然而产品的寿命往往较 长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验. 常用的两种截尾寿命试验： 一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试 验，试验进行到事先规定的截尾时间 0 t 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们 的失效时间分别为 0 1 2 0 t t t t    m  , 此时 m 是一个随机变量，所得的样本 m t ,t , ,t 1 2  称为定时截尾样本. 另一种是定数截尾寿命试验.假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入 试验，试验进行到有 m 个（ m 是事先规定的， m  n ）产品失效时停止.m 个失效产 品的失效时间分别为 m  t  t  t 0 1 2 ,这里 m t 是第 m 个产品的失效时间.所得的 样本 m t ,t , ,t 1 2  称为定数截尾样本. 用截尾样本来进行统计推断是可靠性研究中常见的问题. 设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度为        = − 0, 0 , 0 1 ( ) / t e t f t t   ,   0 未知. 设有 n 个产品投入试验,分两种截尾寿命试验讨论易得: (1)对于定数截尾样本 m  t  t  t 0 1 2 , 的最大似然估计为

6=s%) m 其中sm)=4+2+.+Hm+(n-m)1n称为总试验时间，它表示直至时刻1n为止n个 产品的试验时间的总和， (2)对于定时截尾样本0≤1，≤12≤.≤tm≤，0的最大似然估计为 0=5) m 其中so)=11+12+.+hm+(n-m。称为总试验时间，它表示直至时刻1，为止n个 产品的试验时间的总和。 §7.3估计量的评选标准 引例：样本X,X来自总体Na),“有四个告计量A=背X+号x, 应=X+行x房=名x+名：应=写X+写X试间哪个估计量 好？ 、无偏性 设X,X2,.,X,是总体X的一个样本，O∈⊙是包含在总体X的分布中的待 估参数，这里日是日的取值范围. 无偏性若估计量0=X1,X2,.,Xn)的数学期望E(存在，且对于任意0∈⊙ 有E()=0,则称0是0的无偏估计量. 由引例BC)=.西)=4.E0)=,a,)=号.则应，4A为 的无偏估计量 例1.设总体X的k阶矩4：=E(X(k21)存在，又设X,X2,.,Xn是总体X 的一个样本试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩4=】∑X是k阶的总体 n台 矩4：无偏估计量。 证X,X2,Xn与X同分布，故有 E(X5)=E(X*)=4k,i=1,2,.,n. 即有 E4)=1E(X5)=4 n台 例2样本X,名，X来自总体N以o),且Y-写+后：+Y,为u的无

m s tm ( ) ˆ  = 其中 m m m s(t ) t t t (n m)t = 1 + 2 ++ + − 称为总试验时间,它表示直至时刻 m t 为止 n 个 产品的试验时间的总和. (2)对于定时截尾样本 0 1 2 0 t t t t    m  , 的最大似然估计为 m s(t ) ˆ 0  = 其中 0 1 2 0 s(t ) t t t (n m)t = + ++ m+ − 称为总试验时间,它表示直至时刻 0 t 为止 n 个 产品的试验时间的总和. §7.3 估计量的评选标准 引例: 样本 X1 , X2 来自总体 ( , ) 2 N   ,  有四个估计量 1 1 2 3 2 3 1  ˆ = X + X , 2 1 2 2 1 2 1  ˆ = X + X , 3 1 2 6 5 6 1  ˆ = X + X , 4 1 2 3 1 3 1  ˆ = X + X .试问哪个估计量 好? 一、无偏性 设 X1 , X Xn , , 2  是总体 X 的一个样本,   是包含在总体 X 的分布中的待 估参数，这里  是  的取值范围. 无偏性 若估计量  = ˆ ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 的数学期望 ) ˆ E( 存在,且对于任意   有 ) ˆ E( = ,则称  ˆ 是  的无偏估计量. 由引例, E( ˆ 1 ) = , E( ˆ 2 ) =  ,E( ˆ 3 ) =  ,   3 2 ( ˆ ) E 4 = ,则 1 2 3  ˆ , ˆ , ˆ 为  的无偏估计量. 例 1．设总体 X 的 k 阶矩 = E(X )(k  1) k  k 存在，又设 X1 , X Xn , , 2  是总体 X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布， k 阶样本矩 Ak = n 1 = n i k X i 1 是 k 阶的总体 矩  k 无偏估计量。 证 X1 , X Xn , , 2  与 X 同分布，故有 E( X k i )=E( X k )=  k , i = 1,2,  , n . 即有 n E Ak 1 ( ) = ( ) 1 = n i k E Xi =  k 例 2. 样本 X1 , X2 , X 3 来自总体 ( , ) 2 N   ,且 Y 1 2 3 6 1 3 1 = X + X + aX 为  的无

偏估计量则a为多少？ 分析：由于Y-写X+名x,+X,为u的无偏估计最于是 从而a=2 例3.设总体X服从指数分布，其概率密度为 u8合0 0,其它 其中参数日>0为未知，又设X,X2,.,Xn是总体X的一个样本，试证：刀和 nZ=nmin(X,X2,.,Xn】都是0的无偏估计量. 证因为E()=E(X)=0,所以灭是0的无偏估计量.而Z=mi(X1,X2,. X,)具有概率密度f(c)= e-msle, x>0,故知E(Z)=9,EnZ)=0 其它 n 0, 即nZ也是参数O的无偏估计量. 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量。事实上，在本例中X,X2,“, X,中的每一个都可以作为O的无偏估计量 二、有效性 由引例，E(a)=4,E(2)=4,E()=4,2,均为4的无偏估计量， 究竟哪一个更好？这需要用有效性来判断. 有效性设0=日，(X,X2,.,Xn)与02=0，(X1,X2,Xn)都是0的无偏估 计量，若对于任意日∈⊙，有 D(O)≤D(02) 且至少对于某一个0日上式中的不等号成立，则称日较0，有效. 在引例中，Da)=0,Da)=0,Da)-瓷o2,从面我们易知立 较店有效，2较叫有效，心较山有效. 例4.（续例3）试证当n>1时，日的无偏估计量X较0的无偏估计量nZ有效

偏估计量,则 a 为多少? 分析: 由于 Y 1 2 3 6 1 3 1 = X + X + aX 为  的无偏估计量,于是 = + + ) =  6 1 3 1 E(Y) ( a , 从而 2 1 a = . 例 3. 设总体 X 服从指数分布，其概率密度为 f (x ;  )=      − 0,其它 , 0 1 / e x x   其中参数   0 为未知，又设 X1 , X Xn , , 2  是总体 X 的一个样本，试证: X 和 nZ = n [min( X1 , X Xn , , 2  )]都是  的无偏估计量． 证 因为 E(X) = E(X) =  ，所以 X 是  的无偏估计量. 而 Z =min( , , , X1 X2  X n )具有概率密度 ( ; ) fmin x  =      − 0, 其它 , 0 / e x n nx   , 故知 E(Z) = n  ， E(nZ) = . 即 nZ 也是参数  的无偏估计量. 由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量. 事实上，在本例中 X1 , X2 ,., X n 中的每一个都可以作为  的无偏估计量． 二、有效性 由引例, E( ˆ 1 ) = , E( ˆ 2 ) =  ,E( ˆ 3 ) =  , 1 2 3  ˆ , ˆ , ˆ 均为  的无偏估计量， 究竟哪一个更好？这需要用有效性来判断． 有效性 设 1 = ˆ  ( , , , ) ˆ 1 X1 X2  Xn 与 2 = ˆ  ( , , , ) ˆ  2 X1 X2  Xn 都是  的无偏估 计量，若对于任意   ，有 ) ˆ ) ( ˆ ( D 1  D  2 且至少对于某一个   上式中的不等号成立，则称 1 ˆ  较 2 ˆ  有效． 在引例中， 2 1 3 5 D( ˆ ) =  , 2 2 2 1 D( ˆ ) =  , 2 3 36 26 D( ˆ ) =  ，从而我们易知 2  ˆ 较 1  ˆ 有效， 2  ˆ 较 3  ˆ 有效， 3  ˆ 较 1  ˆ 有效． 例４．（续例３）试证当 n 1 时，  的无偏估计量 X 较  的无偏估计量 nZ 有效．

证由于D(X)=82,故有D(X)=82/n.再者，由于D(Z)=021n2,故有 DnZ)=02,当n>1时D(nZ)>D(),故X较nZ有效. 三、相合性 相合性设X,X2,Xn)为参数0的估计量，若对于任意0∈⊙，当n→∞时 X,X2,.,Xn)依概率收敛于0，则称0是0的相合估计量。 相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量 取得多么大，都不能将0估计得足够准确，这样的估计量是不可取的. 上述无偏性，有效性，相合性是评价估计量的一些基本标准，其他的标准这里就不 讲了. V.小结与提问： 小结：矩估计法和最大似然估计法是本讲课的重点与难点，要熟练掌握用这两种 方法来求估计量，同时，要会利用评判标准来判断估计量的无偏性与有效性。 提问： 思考题1：整理利用矩估计法和最大似然估计法来求估计量的方法和步骤。 思考题2：设X,X,X,是取自总体x的样本，试证下列统计量都是总体均值μ的 无偏估计量，并指出哪一个最没有效？ ®A=号x+号+号x a=后++号x I.课外作业： P30s2.(1),4. Po99. P21011

证 由于 2 D(X ) =  ，故有 D(X ) / n 2 =  ．再者，由于 2 2 D(Z) =  / n ，故有 2 D(nZ) =  ，当 n 1 时 D(nZ)  D(X) ，故 X 较 nZ 有效． 三、相合性 相合性 设 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 为参数  的估计量，若对于任意   ，当 n → 时 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 依概率收敛于  ，则称  ˆ 是  的相合估计量. 相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量 n 取得多么大，都不能将  估计得足够准确，这样的估计量是不可取的． 上述无偏性，有效性，相合性是评价估计量的一些基本标准，其他的标准这里就不 讲了． Ⅴ. 小结与提问： 小结：矩估计法和最大似然估计法是本讲课的重点与难点，要熟练掌握用这两种 方法来求估计量，同时，要会利用评判标准来判断估计量的无偏性与有效性． 提问： 思考题 1：整理利用矩估计法和最大似然估计法来求估计量的方法和步骤． 思考题 2：设 1 2 3 X , X , X 是取自总体 x 的样本，试证下列统计量都是总体均值  的 无偏估计量，并指出哪一个最没有效？ (1) 1 1 2 3 6 1 3 1 2 1  ˆ = X + X + X ; (2) 2 1 2 3 3 1 3 1 3 1  ˆ = X + X + X ; (3) 1 1 2 3 3 2 6 1 6 1  ˆ = X + X + X . Ⅵ.课外作业： P208 2.（１），4. P209 ９. P210 11

第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计 I.授课题目（章节） §7.4区间估计 §7.5正态总体均值与方差的区间估计 Ⅱ.教学目的与要求 5.理解置信区间的基本概念： 6.掌握正态总体均值和方差的置信区间的求法 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：置信区间的基本概念的理解 难点：正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法 V,讲授内容： S7.4区间估计 对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误 第， 即要求知道近似值的精确程度（亦即所求真值所在的范围）.类似地，对于未知参数日， 除了求出它的点估计日外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参 数日真值的可信程度，这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参 数日真值的可信程度，这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间， 置信区间设总体X的分布函数F(x,0)含有一个未知参数0，0∈⊙（⊙是0 可 能取值的范围)，对于给定值a(0<a<1),若由来自X的样本X,X2,.,X.确定 的两个统计量日=日(X,X2,.,Xn)和0=0(X,X2,.,Xn)(日<0)，对于任意 B∈Θ满足 P{2(X,X2,.,Xn)<0<0(X,X2,.,X)}21-a, 则称随机区间（日，0）是0的置信水平为1-α的置信区间，日和8分别称为置信水 平为1-α的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a称为置信水平. 例1.设总体设X~N(4,o2),o2为已知，4为未知，设X,X2,Xn是来 自X的样本，求4的置信水平为1-α的置信区间. 解不是4的无偏估计，且有二上一N(O,1).X-兰所服从的分布 Gln N(0,1)不依赖于任何未知参数，按标准正态分布的上α分位点的定义，有 PX-ul In <zan=1-a, 即 pnj1-a. 这样，我们得到了4的一个置信水平为1-α的置信区间

第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计 Ⅰ.授课题目（章节） §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值与方差的区间估计 Ⅱ.教学目的与要求 5. 理解置信区间的基本概念； 6. 掌握正态总体均值和方差的置信区间的求法. Ⅲ.教学重点与难点： 重点：置信区间的基本概念的理解 难点：正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法 Ⅳ.讲授内容： §7.4 区间估计 对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误 差， 即要求知道近似值的精确程度（亦即所求真值所在的范围）.类似地，对于未知参数  ， 除了求出它的点估计  ˆ 外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参 数  真值的可信程度，这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参 数  真值的可信程度.这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间. 置信区间 设总体 X 的分布函数 F(x; ) 含有一个未知参数  ，,  （  是  可 能取值的范围），对于给定值  (0    1) ,若由来自 X 的样本 X1 , X Xn , , 2  确定 的两个统计量  = ( X1 , X Xn , , 2  )和  = ( X1 , X Xn , , 2  )(    ),对于任意   满足 P {  ( X1 , X Xn , , 2  )    ( X1 , X Xn , , 2  ) }  1− , 则称随机区间（  , ）是  的置信水平为 1− 的置信区间，  和  分别称为置信水 平为 1− 的双侧置信区间的置信下限和置信上限， 1− 称为置信水平. 例 1.设总体设 X ～ N (  , 2  ), 2  为已知, 为未知,设 X1 , X Xn , , 2  是来 自 X 的样本,求  的置信水平为 1− 的置信区间. 解 X 是  的无偏估计, 且有 n X  / −  ～ N (0,1). n X  / −  所服从的分布 N (0 ,1)不依赖于任何未知参数,按标准正态分布的上  分位点的定义,有        − / 2 /    z n X P =1− , 即       −  / 2   +  / 2    z n z X n P X =1− . 这样,我们得到了  的一个置信水平为 1− 的置信区间