第二讲条件分布 I授课题目： §3.2条件分布 Ⅱ教学目的与要求： 掌握二维离散型随机变量的条件分布律及连续型随机变量的条件分布函数。 Ⅲ教学重点与难点：条件分布 Ⅳ讲授内容： 考察二维随机变量(X,Y)时，常常需要考虑己知其中一个随机变量取得某值的条件下， 求另一个随机变量取值的概率。 一、离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是一个二维离散型的随机变量，其分布律为 PX=x,y=y}=p,j=1,2) (X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别为 PX=x}=p.-2p,j=2) pt=yA,-2时U=2 由事件的条件概率给出条件概率分布的概念：对于固定的j,若P-y,>0,则称 P收==，P收=2 P收=y,}p 为在Y=y,条件下随机变量X的条件分布律。 同样，在给定条件X=x,下，随机变量X的条件分布律为 p==yK==P/=2 PX =x)P 例1设某工厂每天工作时间X可分为6小时、8小时、10小时、2小时，他们的工作效 率y可以按50%、70%、90%分为三类。已知(X,Y)的概率分布律为
第二讲条件分布 Ⅰ 授课题目： §3.2 条件分布 Ⅱ 教学目的与要求： 掌握二维离散型随机变量的条件分布律及连续型随机变量的条件分布函数。 Ⅲ 教学重点与难点：条件分布 Ⅳ 讲授内容： 考察二维随机变量 (X,Y) 时，常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下， 求另一个随机变量取值的概率。 一、离散型随机变量的条件分布律 设 (X,Y) 是一个二维离散型的随机变量，其分布律为 PX = x , y = y = p , (i, j =1,2, ) i j ij (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为 ( , 1,2, ) 1 = = = = = • P X x p p i j j i i ij ( 1,2, ) 1 = = = = = • P Y y p pij j i j j 由事件的条件概率给出条件概率分布的概念：对于固定的 j ，若 PY = y j 0 ，则称 ( 1,2, ) , = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 为在 j Y = y 条件下随机变量 X 的条件分布律。 同样，在给定条件 i X = x 下，随机变量 X 的条件分布律为 ( , 1,2, ) , = = = = = = = = = • i j p p P X x P X x Y y P Y y X x i i j i i j j i 例 1 设某工厂每天工作时间 X 可分为 6 小时、8 小时、10 小时、12 小时，他们的工作效 率 Y 可以按 50%、70%、90%分为三类。已知 (X,Y) 的概率分布律为
X 6 10 12 0.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于70%的概率越大越好作为评判标准，问每天工作时间以几个小时 为最好？ 解先求(X,Y)的边缘分布 x6 810 12 y0.5 0.70.9 P0.1220.4320.3170.129 P0.180.4750.345 下面分别考虑X等于6、8、10、12时Y的条件分布，即 p-=3pxxr PX=x) (x,=6,8,10,12,y,=0.5,0.7,0.9) 可得 0.5 0.7 0.9 PY=yX=6) 0.115 0.295 0.590 P收=yK=8 0.083 0.500 0.417 P收=yK=Io 0.183 0.568 0.249 P收=y,K=12 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出P≥0.7X=x}的值中，当x=8时，概率为1-0.083=0.917最大，即 每天工作8小时，工作效率达到最优。 二、连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量，我们也想定义分布函数PX≤业=，但是，由于 P仅=y}=0,故不能象离散型随机变量那样简单地定义了。自然想到：设A为某一事 件，Y为随机变量，其分布函数为Fy),如果P0,则由条件概率 公式可知：
X Y 6 8 10 12 0.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于 70%的概率越大越好作为评判标准，问每天工作时间以几个小时 为最好？ 解 先求 (X,Y) 的边缘分布 X 6 8 10 12 Y 0.5 0.7 0.9 P 0.122 0.432 0.317 0.129 P 0.18 0.475 0.345 下面分别考虑 X 等于 6、8、10、12 时 Y 的条件分布，即 ( 6,8,10,12, 0.5,0.7,0.9) , = = = = = = = = = i j i i j j i x y P X x P X x Y y P Y y X x 可得 Y 0.5 0.7 0.9 PY = y j X = 6 0.115 0.295 0.590 PY = y j X =8 0.083 0.500 0.417 PY = y j X =10 0.183 0.568 0.249 PY = y j X =12 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出 PY 0.7 X = xi 的值中，当 xi = 8 时，概率为 1-0.083=0.917 最大，即 每天工作 8 小时，工作效率达到最优。 二、连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量，我们也想定义分布函数 PX xY = y ，但是，由于 PY = y= 0 ，故不能象离散型随机变量那样简单地定义了。自然想到：设 A 为某一事 件， Y 为随机变量，其分布函数为 F (y) Y ，如果 Py Y y + 0 ，则由条件概率 公式可知：
p(ay<rsy+e=play<ysy+s PU<Y≤y+e} 如果当￡→0时，上式极限存在，则称为事件A在条件Y=y之下的条件概率。即 P4p=y以=mP6<Y≤y+8} P{Ay<Y≤y+e} 设X为随机变量，而取事件A为{X≤x},则称 P化≤y=y}为随机变量X在条件Y=y之下的条件分布函数，记作Fw(xy。 设(X,Y)为二维连续型随机变量，分布函数为F(x,y),其概率密度函数为f(x,y)且连 续，则 6)-P收s中+小》 由中值定理，可知 F'(x,5).6 Exty()() (5,n都在y与y+之间) F2G.5)u.duh =m.Fm） F(y) ,(y) -Lfou.yyd (y) - 则上式就是在给定条件Y=y之下，随机变量X的条件分布函数。而区称为在给 ∫，Oy) 定条件y=y之下，X的条件概率密度，记为f()=卫 f(y) 同样，可定义xO)=广f0a ∫x(x) F)=I(z.) fx(x)
+ + + = P y Y y P A y Y y P A y Y y , 如果当 →0 时，上式极限存在，则称为事件 A 在条件 Y = y 之下的条件概率。即 + + = = → + P y Y y P A y Y y P AY y , lim 0 设 X 为随机变量，而取事件 A 为 X x ，则称 PX xY = y 为随机变量 X 在条件 Y = y 之下的条件分布函数，记作 F (x y) X Y 。 设 (X,Y) 为二维连续型随机变量，分布函数为 F(x, y) ，其概率密度函数为 f (x, y) 且连 续，则 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) lim lim 0 0 F y F y F y y F x y F x y P X x y y Y Y X Y + − + − = + = → + → + 由中值定理，可知 du f y f u y f y f u y du f y f u v dudv F y F x y F F x y y F F x F x y x Y Y x Y y x y Y y Y y Y y X Y − − − − → + → + = = = = = + = ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) lim ( , ) ( ) ( , ) ( ) lim 0 0 都在 与 之间 则上式就是在给定条件 Y = y 之下，随机变量 X 的条件分布函数。而 ( ) ( , ) f y f x y Y 称为在给 定条件 Y = y 之下， X 的条件概率密度，记为 ( ) ( , ) ( ) f y f x y f x y Y X Y = 。 同样，可定义 du f x f x u f y x y X Y X − = ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) f x f x y f y x X Y X =
例2设(X,Y)服从区域x2+y2≤1上的均匀分布。求条件概率密度fw(y)。 例3设数X在区间(O,)上随机地取值，当观察到X=x(0<x<)时，数Y在区间 (x,1)上随机地取值，求Y的概率密度fy)。 V.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： 1.离散型随机变量的条件分布律： 2.连续型随机变量的条件分布。 提问：1.？ 2.？ I.课外作业：Ps12
例 2 设 (X,Y) 服从区域 1 2 2 x + y 上的均匀分布。求条件概率密度 f (x y) X Y 。 例 3 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值，当观察到 X = x (0 x 1) 时，数 Y 在区间 (x,1) 上随机地取值，求 Y 的概率密度 f (y) Y 。 Ⅴ.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： 1.离散型随机变量的条件分布律； 2.连续型随机变量的条件分布。 提问：1.？ 2.？ Ⅵ. 课外作业：P107 12