第三讲相互独立的随机变量 I授课题目（章节）： §3.3相互独立的随机变量 Ⅱ教学目的与要求：掌握随机变量相互独立的概念及方法 Ⅲ教学重点与难点：相互独立性 Ⅳ讲授内容： 随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，它是由随机事件的相 互独立性引伸而来的。我们知道，两个事件A、B是相互独立的当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B)。由此，可引出两个随机变量的相互独立性来。 设X、Y为两个随机事件，“X≤x”“Y≤y”为两个事件，则两事件“X≤x”、“Y≤y 相互独立，相当于下式成立： PX≤x,Y≤y=PX≤x}PY≤y以 或写成F(x,y)=Fx(x)F(Oy) 则称X和Y相互独立。 具体地对离散型与连续型随机变量的独立性，可分别用概率分布与概率密度描述。 离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是： 对于(X,Y)的所有可能取的值(x,y,)有 px=x.Y=y,J=P(X=x)Py=y,) 连续型随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是： f(x,y)=fx(x(y)几乎处处成立。 例1设(X,Y)的分布律及边缘分布律如下表： 、X 0 1 1/6 216 12 2 1/16 2/6 1/2 Pi. 1/3 23 证明X与Y相互独立。 例2设随机变量X与Y相互独立。表中列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关
第三讲相互独立的随机变量 Ⅰ 授课题目（章节）： §3.3 相互独立的随机变量 Ⅱ 教学目的与要求：掌握随机变量相互独立的概念及方法 Ⅲ 教学重点与难点：相互独立性 Ⅳ 讲授内容： 随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，它是由随机事件的相 互独立性引伸而来的。我们知道，两个事件 A 、 B 是相互独立的当且仅当它们满足条件 P(AB) = P(A)P(B) 。由此，可引出两个随机变量的相互独立性来。 设 X 、Y 为两个随机事件，“ X x ”、“ Y y ”为两个事件，则两事件“ X x ”、“ Y y ” 相互独立，相当于下式成立： PX x,Y y= PX xPY y 或写成 F(x, y) F (x) F (y) X Y = 则称 X 和 Y 相互独立。 具体地对离散型与连续型随机变量的独立性，可分别用概率分布与概率密度描述。 离散型随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是： 对于 (X,Y) 的所有可能取的值 ( , ) i j x y 有 PX = xi ,Y = y j= PX = xiPY = y j 连续型随机变量 (X,Y) ， X 和 Y 相互独立的充要条件是： f (x, y) f (x) f (y) X Y = 几乎处处成立。 例 1 设 (X,Y) 的分布律及边缘分布律如下表： X Y 0 1 p.j 1 1/6 2/6 1/2 2 1/6 2/6 1/2 pi. 1/3 2/3 1 证明 X 与 Y 相互独立。 例 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立。表中列出了二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律及关
于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 X 2 33 18 1/8 1/6 2/3 例3设(X,Y)是二维正态随机变量，它的概率密度为 f(x.y)=- 1-4-2pK-4X-2,0-4 g0,-p)i 02 试记X与Y相互独立的充要条件是p=0。 例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分 布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过5 分钟的概率。 随机变量的独立性往往由实际问题给出。在独立的情况下，边缘分布唯一确定联合分布， 这样就将多维随机变量的问题化为了一维随机变量的问题。所以独立性是非常值得重视 的概念之一。至于不独立的变量，则当我们具备充分的数学信息，足以直接决定或通过 分析推演来决定联合概率时，才能导出它们的联合分布：如果没有这种信息，就必须依 据复合事件的相对频率去作经验估计了。 关于多个随机变量的独立性，可由两个直接推得。 定义：若对于所有x,x2,.,xn有 F(x,x2,.,xn)=F(x)Fx,(x2).Fx(x) 则称X,X,.,Xn是相互独立的。 定义：若对于所有的x,x2,.,xm:,乃2，.，yn有 Fx,x2,.xm,2,.,yn)=F(x,x2,.,xmF(0y,2,.yn) 其中F、F3、F依次为随机变量(X,X2,.,Xm),(化，Y2,.Yn)和 (X,X2,.,Xm,Y,Y2,.,Yn)的分布函数，则称随机变量(X1,X2,.,Xm)和 (化，Y2,.,Yn)是相互独立的
于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 X Y y1 y2 y3 x1 1/8 x2 1/8 1/6 2/3 1 例 3 设 (X,Y) 是二维正态随机变量，它的概率密度为 − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) x x y y f x y 试记 X 与 Y 相互独立的充要条件是 = 0。 例 4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分 布在 7~9 时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率。 随机变量的独立性往往由实际问题给出。在独立的情况下，边缘分布唯一确定联合分布， 这样就将多维随机变量的问题化为了一维随机变量的问题。所以独立性是非常值得重视 的概念之一。至于不独立的变量，则当我们具备充分的数学信息，足以直接决定或通过 分析推演来决定联合概率时，才能导出它们的联合分布；如果没有这种信息，就必须依 据复合事件的相对频率去作经验估计了。 关于多个随机变量的独立性，可由两个直接推得。 定义：若对于所有 n x , x , , x 1 2 有 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n X1 1 X2 2 X n F x x x F x F x F x n = 则称 X1， X2 ，.， Xn 是相互独立的。 定义：若对于所有的 1 x ， 2 x ，.， m x ； 1 y ， 2 y ，.， n y 有 ( , , , , , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 m 1 2 n 1 1 2 m 2 1 2 n F x x x y y y = F x x x F y y y 其 中 F1 、 F2 、 F 依次为随机变量 ( , , , ) X1 X2 X m ， ( , , , ) Y1 Y2 Yn 和 ( , , , , , , , ) X1 X2 X m Y1 Y2 Yn 的 分 布 函 数 ， 则 称 随 机 变 量 ( , , , ) X1 X2 X m 和 ( , , , ) Y1 Y2 Yn 是相互独立的
以下定理在数理统计中很重要。 定理：设(X,X,X)和（化，Y,Y)相互独立，则X=L,2.,m)和 y0=1,2.,n)相互独立。 又若h,g是连续函数，则X1,X2,Xm)和g(化，乃2，Y)也相互独立。 注：若g1(X)与g2(Y)相互独立，但X与Y未必独立。 例4设(X,)的联合密度函数为/(x,)0+xX0+y可) C -0<x,y<t∞ 求①常数c:②P0<X<1,0≤Y≤1}：③fx(x)、fUy):④X、Y是否独立？ V.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1): (2): (3): (4)。 提问：1.？ 2.? I.课外作业：Pm14,19,21
以下定理在数理统计中很重要。 定 理 ： 设 ( , , , ) X1 X2 X m 和 ( , , , ) Y1 Y2 Yn 相 互 独 立 ， 则 X (i 1,2, ,m) i = 和 Y (i 1,2, ,n) i = 相互独立。 又若 h， g 是连续函数，则 ( , , , ) h X1 X2 X m 和 ( , , , ) g Y1 Y2 Yn 也相互独立。 注：若 ( ) g1 X 与 ( ) g2 Y 相互独立，但 X 与 Y 未必独立。 例 4 设 (X,Y) 的联合密度函数为 − + + + = x y x y c f x y , , (1 )(1 ) ( , ) 2 2 求① 常数 c ；② P0 X 1,0 Y 1 ；③ f (x) X 、 f (y) Y ；④ X 、Y 是否独立？ Ⅴ.小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1)； (2)； (3)； (4)。 提问：1.？ 2.？ Ⅵ. 课外作业：P106 14, 19， 21