第三讲连续型随机变量及其概率密度(2) 【授课题目： 第四节连续型随机变量及其概率密度(2) Ⅱ教学目的与要求： 1.熟练掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的概念 2.掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的计算 Ⅲ教学重点与难点： 重点：三个重要的连续型随机变量及其概率密度 难点：正态分布的概念和计算 W讲授内容： 一、常见的连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布 1、均匀分布 均匀分布(Uniform) 「1 若.X的概率密度为：)=6-a00 若r.vX具有概率密度f(x)= 0,其它 则称X服从参数为元的指数分布， 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. 3、正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 德莫佛(De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态 分布的首次露面：正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为 高斯分布 (1)、正态分布的定义 若r.X的概率密度为f闭=2xG -00则称X服从参数为μ和σ2的正态分布.记为 X~N(4,o)(Nora1).所确定的曲线叫作正态曲线. (2)、正态分布的图形特点
第三讲连续型随机变量及其概率密度（2） Ⅰ 授课题目： 第四节 连续型随机变量及其概率密度（2） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 熟练掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的概念 2. 掌握三个重要的连续型随机变量及其概率密度的计算 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：三个重要的连续型随机变量及其概率密度 难点：正态分布的概念和计算 Ⅳ 讲授内容： 一、常见的连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布 1、均匀分布 均匀分布(Uniform) 若 r.v. X 的概率密度为： f x( ) 1 , 0, a x b b a = − 其它 则称 X 服从区间( a, b)上的均匀分布，记作 X～U[a,b] 若 X～U[a,b]，则对于满足 a c d b 的 c,d, 总有 ( ) ( ) d c d c P c x d f x dx b a − = = − 均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位 小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从 （-0.5, 0.5）上的均匀分布 2、指数分布 若 r.v X 具有概率密度 f x( ) ＝ , 0 0, x e x − 其它 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. 3、正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态 分布的首次露面；正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为 高斯分布. （1）、正态分布的定义 若 r.v. X 的概率密度为 f x( ) ＝ 2 2 ( ) 2 1 2 x e − − ，− + x 其中 和 2 都是常数， 任意, >0 则称 X 服从参数为 和 2 的正态分布.记为 X ～ 2 N( , ) （Normal）．所确定的曲线叫作正态曲线. （2）、正态分布的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于“对称的钟形曲线特点是“两头小，中间大，左右 对称” 4决定了图形的中心位置，σ2决定了图形中峰的陡峭程度 故f(x)以1为对称轴，令x=4+c,x=4-c(c>0),分别代入f(x),可得f (μ+c)=f(u-c)且f(μ+c)≤f（μ)，f（μ-c)≤f(μ)并在x=u处达到最大 值：f(4)= 20当x→如时，心)→0.这说明曲线f因向左右伸展时， 1 越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线.用求导的方法可以证明，为f(x)的两 个拐点的横坐标。x=μ士·这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高 和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。除外， 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸：纤维的强度和张力：农作物的产 量：小麦的穗长、株高：测量误差：射击目标的水平或垂直偏差：信号噪声等等，都 服从或近似服从正态分布 (3)、设X~N(4,σ2)，X的分布函数是 F()= ，0时，Φ(x)的值.当x<0时(x)=1-(-x) 若X~N(4,σ2)， P(a<x<b)=P(a<x<b)=(b)-D(a) 若XN4.g,则Y=-少~NO
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右 对称”. 决定了图形的中心位置， 2 决定了图形中峰的陡峭程度 故 f(x)以 为对称轴，令 x= +c, x= -c (c>0), 分别代入 f (x), 可得 f ( +c)=f ( -c)且 f ( +c) ≤f ( ), f (μ-c)≤f ( )并在 x= 处达到最大 值: f ( ) = 1 2 ；当 x → 时， f x( ) 0 → .这说明曲线 f(x)向左右伸展时， 越来越贴近 x 轴。即 f (x)以 x 轴为渐近线. 用求导的方法可以证明，为 f (x)的两 个拐点的横坐标。 x = μ ± σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一 下 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高 和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。除外, 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产 量；小麦的穗长、株高；测量误差；射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都 服从或近似服从正态分布 （3）、设 X～ 2 N( , ) ,X 的分布函数是 F x( )＝ 2 2 ( ) 2 1 2 x x e dx − − − ，− + x （4）、标准正态分布 N(0,1) 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函 数常用 ( ) x 和 ( ) x 表示. ( ) x = 2 2 1 2 x e − , − + x ( ) x = 2 2 1 2 x x e dx − − , − + x 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布 它的依据是下面的定理： 定理 1 设 X ～ 2 N( , ) ,则 Y＝ x − ～ N(0,1) ． 根据定理 1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的 概率计算问题. （5）、正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计 算查表. 表中给的是 x 0 时, ( ) x 的值. 当 x 0 时 ( ) 1 ( ) x x = − − 若 X ～ 2 N( , ) ， P a x b ( ) ＝ P a x b ( ) ＝ − ( ) ( ) b a 若 X ～ 2 N( , ) ,则 Y＝ x − ～ N(0,1)
Pa175}的概盔为 P(x>175)=1-P(x≤175) =1-275-170)=1-00.6 1.69 =0.2578 (2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(《<h)≥0.99， 下面我们来求满足上式的最小的h. 因为X~N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得Φ(2.33)=0.99010.99所以 h-170 1.69 =2.33,即h=170+17.92=188(cm) 故设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01 V小结与提问： 小结：本次课我们介绍了均匀分布和指数分布、正态分布这三个常见的连续型随 机变量，其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道。后面第 五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布；还要给出德莫佛
P a x b ( ) ＝ ( ) a b P x − − ＝ ( ) ( ) b a − − − 3 准则：由标准正态分布的查表计算可以求得， 当 X ～ 2 N( , ) 时， P x( 1) ＝2 (1) ＝0.6826 P x( 2) = 2 (2) =0.9544 P x( 3) = 2 (3) =0.9974 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占 不到 0.3%. 上述结论推广到一般的正态分布 Y ～ 2 N( , ) 时， P y ( ) − ＝0.6826 P y ( 2 ) − =0.9544 P y ( 3 ) − =0.9974 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在区间 [ 3 , 3 ] − + 内. 这在统计学上称作“3 准则”(三倍标准差原则） 例 1 假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～ 2 N(170,7.69 ) (1)求该地区成年男性的身高超过 175cm 的概率。 (2)公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计 的，问车门高度应如何确定? 解 (1)根据假设 X～ 2 N(170,7.69 ) ，则 170 7.69 x − ～ N(0,1) 故事件{X>175}的概率为 P x( 175) =1 ( 175) − P x = 175 170 1 ( ) 1.69 − − =1 (0.65) − = 0.2578 (2) 设车门高度为 h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X0.99 所以 170 2.33 1.69 h − = , 即 h =170+17.92 =188 (cm) 故设计车门高度为 188 厘米时，可使男子与车门碰头 机会不超过 0.01. Ⅴ 小结与提问： 小结：本次课我们介绍了均匀分布和指数分布、正态分布这三个常见的连续型随 机变量，其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道。后面第 五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布;还要给出德莫佛
极限定理的证明。 Ⅵ课外作业： P221.23.24
极限定理的证明. Ⅵ 课外作业： 72 P 21.23.24