习题课 教学目的与要求： 1.通过本次习题课，进一步熟练掌握数学期望的性质及求法。 2.掌握方差的性质及求法。 3会计算协方差及相关系数。 Ⅱ典型方法与例题： 例1设随机变量X在[-1,2]上服从均匀分布，当X小于、等于和大于0时，随机 变量y分别取-1,0和1为值，求y的方差。 解由于随机变量X在[-1,2]上服从均匀分布，可见 PY=-=P(Xo吵-号 EY2)=1 D0=B)-6)-8 例2离散型随机变量X的分布函数F(x)为 [0x<-1 0.2 -1≤x<0 F(x)={0.50≤x<1,计算E(X)与D(X). 0.81≤x<2 1X之2 解求出随机变量X的概率函数为 X -1012 PX=x)0.20.30.30.2 E0=ZP=-1x02+0x03+1x0.3+2x0.2=0.5 EX)=∑x,P=(-)2×0.2+02×0.3+1P×0.3+22×02=1.3 D(X)=E(X2)-E2(X)=1.3-0.52=1.05 例3 已知离散型随机变量X的概率函数由下表 -2-101 P(X=x) 1 6 3 3 6
习题课 Ⅰ 教学目的与要求： 1.通过本次习题课，进一步熟练掌握数学期望的性质及求法。 2.掌握方差的性质及求法。 3 会计算协方差及相关系数。 Ⅱ 典型方法与例题： 例 1 设随机变量 X 在[-1,2]上服从均匀分布，当 X 小于、等于和大于 0 时，随机 变量 Y 分别取－1，0 和 1 为值，求 Y 的方差。 解 由于随机变量 X 在[-1,2]上服从均匀分布，可见 1 1 0 3 P Y P X = − = = P Y P X = = = = 0 0 0 2 1 0 3 P Y P X = = = 2 E Y( ) 1 = 1 ( ) 3 E Y = 2 2 8 ( ) ( ) ( ) 9 D Y E Y E Y =−= 例2 离散型随机变量 X 的分布函数 F x( ) 为 F x( ) 0 1 0.2 1 0 0.5 0 1 0.8 1 2 1 2 x x x x x − − = ，计算 E X( ) 与 D X( ) 。 解 求出随机变量 X 的概率函数为 X －1 0 1 2 ( ) P X x = i 0．2 0．3 0．3 0．2 1 ( ) 1 0.2 0 0.3 1 0.3 2 0.2 0.5 i i i E X x p = = = − + + + = 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 1) 0.2 0 0.3 1 0.3 2 0.2 1.3 i i i E X x p = = = − + + + = 2 2 2 D X E X E X ( ) ( ) ( ) 1.3 0.5 1.05 = − = − = 例3 已知离散型随机变量 X 的概率函数由下表 X －2 -1 0 1 ( ) P X x = i 1 6 1 3 1 3 1 6
给出，计算： (1)EX),(2)E(X2),(3)EX-),(4)EX-。 解D0=-2x+-x写0x1月 (2)应用随机变量函数的期望公式Lg(x】=∑g(x)P(x) 0=2r*4r×写0×写pxg-2 66 3》0x-)=E-12合*号+*号+名1= 6 ④0x-p-2-*g+1-写+n-*写l-名 例4进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知E(X)=12.8, D(X)=2.56,计算： (1)每次试验的成功率； (2)在第n次试验之前已经失败两次的概率。 解X服从二项分布B(m,P),参数P就是试验的成功率。解决这个题目的关键是确 定参数n与p的值。 (1)12.8=E(X)=p 2.56=D(X)=npg 解得n=16p=0.8 (2)设事件A=“在第n次试验之前已经失败两次”， 由于=16，因此A相当于试验了十五次，恰有十三次成功、两次失败，其概率为 P(4)=C(0.8)×(0.2)2≈0.231 例5随机变量X1、X2、X,相互独立，且X~U(0,6),X2~N(0,22), X3~P3),若Y=X1-2X2+3X3,求DY). 解由X-U0,6,知D(X)=6-0=3 12 由X2~N(0,22),知D(X2)=22=4 由X,-P3),知DX)=3 因为X、X2、X,相互独立，所以 DY)=DX1-2X2+3X)=D(X)+4DX2)+9D(X,)=46 例6设随机变量X-N(2,o),且2P(2<X<4)=0.3,求P(X<0)。 解由X-N2,g),可知X-2-N0,) 因而P2<X<4=P0<X-2<名=2-0)=白-05=03
给出，计算： （1） E X( ) ,（2） 2 E X( ) ,（3） E X( 1) − ,（4） E X( 1) − 。 解 （1） E X( ) 1 1 1 1 1 ( 2) ( 1) 0 1 6 3 3 6 2 = − + − + + = − （2）应用随机变量函数的期望公式 1 [ ( )] ( ) ( ) n i i i E g x g x p x = = 2 E X( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 7 ( 2) ( 1) 0 1 6 3 3 6 6 = − + − + + = （3） E X( 1) − 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 6 3 3 6 6 = − = − + − + + − = − E X (4) E X( 1) − 1 1 1 1 3 2 1 1 1 0 1 1 1 6 3 3 6 2 = − − + − − + − + − = 例4 进行 n 重伯努利试验， X 为 n 次试验中成功的次数，若已知 E X( ) 12.8 = ， D X( ) 2.56 = ,计算: (1)每次试验的成功率； (2)在第 n 次试验之前已经失败两次的概率。 解 X 服从二项分布 B n p ( , ) ，参数 p 就是试验的成功率。解决这个题目的关键是确 定参数 n 与 p 的值。 （1） 12.8 ( ) = = E X np 2.56 ( ) = = D X npq 解得 n =16 p = 0.8 （2）设事件 A = “在第 n 次试验之前已经失败两次”， 由于 n =16 ，因此 A 相当于试验了十五次，恰有十三次成功、两次失败，其概率为 13 13 2 15 P A C ( ) (0.8) (0.2) 0.231 = 例5 随机变量 X1、 X2 、 X3 相互独立，且 1 X U(0,6) ， 2 2 X N(0, 2 ) ， 3 X P(3) ，若 1 2 3 Y X X X = − + 2 3 ,求 D Y( ) 。 解 由 1 X U(0,6) ，知 2 1 (6 0) ( ) 3 12 D X − = = 由 2 2 X N(0, 2 ) ，知 2 2 D X( ) 2 4 = = 由 3 X P(3) ，知 3 D X( ) 3 = 因为 X1、 X2、 X3 相互独立，所以 1 2 3 1 2 3 D Y D X X X D X D X D X ( ) ( 2 3 ) ( ) 4 ( ) 9 ( ) 46 = − + = + + = 例6 设随机变量 2 X N(2, ) ，且 2 P X (2 4) 0.3 = ，求 P X( 0) 。 解 由 2 X N(2, ) ，可知 2 (0,1) X N − 因而 2 2 (2 4) (0 ) X P X P − = 2 2 ( ) (0) ( ) 0.5 0.3 = − = − =
所以启=08 所rx<0=m。2子-子=-o日1-08=02 例7某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现从中随 1抽到i等品 机抽取1件，记X,=0其它 i=1,2,3),试求 (1)随机变量X与X,的联合分布： (2)随机变量X与X2的相关系数。 解(1)以A表示抽到i等品(1=1,2,3)， 于是P(A)=0.8P(4)=0.1P(4)=0.1 联合分布为： P{X=0,X2=0}=P(4)=0.1P{X=0,X2=1=P4)=0.1 P{X=l,X2=0}=P(4)=0.8P{X=1,X2=1}=P)=0 (2)E(X)=0.8E(X2)=0.1 DX)=E(X)-E2(X)=0.8-0.82=0.16 D(X2)=E(X22)-E2(X2)=0.1-0.12=0.09 E(X,X2)=0×0×0.1+0×1×0.1+1×0×0.8+1×1×0=0 Co(XX2)=E(XX2)-E(X)E(X2)=0-0.8×0.1=-0.08 Cov(X X2) -0.08 2 p-0160网-月 例8点(X,)在以(0,0)，(1,0)和(0,1)为顶点的三角形内服从均匀分布，试求：X 与Y的相关系数。 解由于三角形的面积为)，所以(X,)的联合密度函数为： 2(x,y)∈D f(x,y)= 0 其它 下面求边缘密度函数∫(x): fx)=f0x,=2=21-x) 即)=0 ∫21-x)0<x<1 其它 由对称性可知，Y的边缘密度函数同X是相同的，又由于 0=2可0-x=号
所以 2 ( ) 0.8 = 所以 P X( 0) 2 2 ( ) X P − − = 2 2 ( ) 1 ( ) 1 0.8 0.2 = − = − = − = 例7 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现从中随 机抽取 1 件，记 1 ( 1, 2,3) 0 X i i = = 抽到i等品 其它 ，试求： （1）随机变量 X1 与 X2 的联合分布； （2）随机变量 X1 与 X2 的相关系数。 解 （1）以 Ai 表示抽到 i 等品（ i =1, 2,3 ）， 于是 1 P A( ) 0.8 = 2 P A( ) 0.1 = 3 P A( ) 0.1 = 联合分布为： P X X P A 1 2 3 = = = = 0, 0 ( ) 0.1 P X X P A 1 2 2 = = = = 0, 1 ( ) 0.1 P X X P A 1 2 1 = = = = 1, 0 ( ) 0.8 P X X P 1 2 = = = = 1, 1 ( ) 0 (2) 1 E X( ) 0.8 = 2 E X( ) 0.1 = 2 2 2 1 1 1 D X E X E X ( ) ( ) ( ) 0.8 0.8 0.16 = − = − = 2 2 2 2 2 2 D X E X E X ( ) ( ) ( ) 0.1 0.1 0.09 = − = − = 1 2 E X X ( ) 0 0 0.1 0 1 0.1 1 0 0.8 1 1 0 0 = + + + = 1 2 1 2 1 2 Cov X X E X X E X E X ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0.8 0.1 0.08 = − = − = − 1 2 1 2 ( ) 0.08 2 ( ) ( ) 0.16 0.09 3 Cov X X D X D X − = = = − 例8 点 ( , ) X Y 在以 (0, 0) , (1, 0) 和 (0,1) 为顶点的三角形内服从均匀分布，试求: X 与 Y 的相关系数。 解 由于三角形的面积为 1 2 ，所以 ( , ) X Y 的联合密度函数为： 2 ( , ) ( , ) 0 x y D f x y = 其它 下面求边缘密度函数 ( ) x f x ： 1 1 0 0 ( ) ( , ) 2 2(1 ) x x x f x f x y dy dy x − − = = = − 即 2(1 ) 0 1 ( ) 0 x x x f x − = 其它 由对称性可知， Y 的边缘密度函数同 X 是相同的,又由于 1 0 1 ( ) 2 (1 ) 3 E X x x dx = − =
所以E)=月 面且De0=E0r)-8Xr=2x0-d-g8 同样D)=话 2,-mnm.2aw- √D(X)NDY) 1 18 11 1 18
所以 1 ( ) 3 E Y = 而且 1 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) [ ( )] 2 (1 ) 9 18 D X E X E X x x dx = − = − − = 同样 1 ( ) 18 D Y = 1 1 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 1 18 x xy dx xydy E XY E X E Y D X D Y − − − = = 1 1 12 9 1 1 2 18 − = = −