第二讲抽样分布 I授课题目： §6.2抽样分布 II散学目的与要求 理解常用统计量的分布 掌握正态总体样本均值与样本方差的分布 III教学重点与难点： 重点：正态总体样本均值与样本方差的分布 难点：统计量的分布 IV讲授内容 统计量的分布称为抽样分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然 而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的。介绍来自正态总体的几个常用统计 量的分布。 一、X分布 定义设X,X2,.,X,是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 X2=X2+X2+.+X 服从自由度为n的X分布，记为x2~x(n) 此处，自由度指式X2=X2+X2+.+X2包含的独立变量的个数。 x(n)分布的概率密度为 (y)(n 0,其它 x0分布即为r吲2)分布。X-N0由定义X-0.即 X2-写21=12.，n再由X,X,X,的独立性知X2X2,X,2相互独 立，从而由「分布的可加性知 x2-2x2-r92. 根据「分布的可加性得x分布的可加性
第二讲抽样分布 I 授课题目： §6.2 抽样分布 II 教学目的与要求： 理解常用统计量的分布 掌握正态总体样本均值与样本方差的分布 III 教学重点与难点： 重点：正态总体样本均值与样本方差的分布 难点：统计量的分布 IV 讲授内容 统计量的分布称为抽样分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然 而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的。介绍来自正态总体的几个常用统计 量的分布。 一、 2 分布 定义 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 N(0,1) 的样本，则称统计量 2 2 2 2 = + + + X X X 1 2 n 服从自由度为 n 的 2 分布，记为 2 2 ( ) n 此处，自由度指式 2 2 2 2 = + + + X X X 1 2 n 包含的独立变量的个数。 2 ( ) n 分布的概率密度为 / 2 1 / 2 / 2 1 , 0, ( ) 2 ( / 2) 0, n y n y e y f y n − − = 其它 2 (1) 分 布 即 为 1 ( , 2) 2 分 布 。 (0,1), X N i 由 定 义 2 2 (1), Xi 即 2 1 ( , 2), 1, 2, , 2 X i n i = 再由 1 2 , , , X X X n 的独立性知 2 2 2 1 2 , , , X X X n 相互独 立，从而由 分布的可加性知 2 2 1 ( ,2), 2 n i i n X = = 根据 分布的可加性得 2 分布的可加性
设名2~X(n,22-x2(n2),并且名2,22独立，则有 名2+2-x2(m+n2) X2分布的数学期望和方差 若X2-x2(n),则有 E(x2)=n,D(x)=2n 因X~N(0,),故 E(X2)=D(X)=1 D(X2)=E(X,)-[E(X2]=3-1=2,i=1,2,.,n E(x2)=E(∑X,2)=∑E(X,2)=n = Dx)=D(∑X2)=∑DX)=2n x分布的分位点 对于给定的正数心，0fda 的点xa(n)为X(nm)分布的上a分位点。 对于不同的a,n,上a分位点可查表得，当n充分大时，近似有 m。+2m- 二是标准正态分布的上α分位点的近似值。 二、1分布 定义设X~N(0,),Y~x(),且X,Y独立，则称随机变量
设 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ), ( ), n n 并且 2 2 1 2 , 独立，则有 2 2 2 1 2 1 2 + + ( ) n n 2 分布的数学期望和方差 若 2 2 ( ), n 则有 2 2 E n D n ( ) , ( ) 2 = = 因 (0,1) X N i ，故 2 ( ) ( ) 1 E X D X i i = = 2 4 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 3 1 2, 1,2, , D X E X E X i n i i i = − = − = = 222 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i E E X E X n = = === 222 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n n i i i i D D X D X n = = === 2 分布的分位点 对于给定的正数 ,0 1, 称满足条件 2 2 2 ( ) { ( )} ( ) n P n f y dy = = 的点 2 ( ) n 为 2 ( ) n 分布的上 分位点。 对于不同的 , , n 上 分位点可查表得，当 n 充分大时，近似有 2 2 1 ( ) ( 2 1) 2 n z n + − z 是标准正态分布的上 分位点的近似值。 二、 t 分布 定义 设 2 X N Y n (0,1), ( ) ，且 X Y, 独立，则称随机变量
1= X YIn 服从自由度为n的1分布，记为t~t(n) 1()分布的概率密度函数为 h0=a+/2+5oe,-n45时，对于常用的a的值，就用正态近似 1(n）≈2a 三、F分布 定义设U~x2(m),V~x2(n2)且U,V独立，则称随机变量 器 服从自由度为(n,n2)的F分布，记为F~F(%,n2) F(n,n2)分布的概率密度为 +n)/2]n/mn2y2 w0)-=ra/2r%121+a29*ny>0, 0,其它 F分布的分位点
/ X t Y n = 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 t t n( ) t n( ) 分布的概率密度函数为 2 ( 1)/ 2 [( 1) / 2] ( ) (1 ) , ( / 2) n t n h t t n n n + − + = + − 2 1 / 2 lim ( ) 2 t n h t e − → = 当 n 足够大时 t 分布近似于 N(0,1) 分布。 t 分布的分位点 对于给定的 ,0 1, 称满足条件 ( ) { ( )} ( ) t n P t t n h t dt = = t 分布的上 分位点可查表得。在 n 45 时，对于常用的 的值，就用正态近似 t n z ( ) 三、 F 分布 定义 设 2 2 1 2 U n V n ( ), ( ) 且 U V, 独立，则称随机变量 1 2 / / U n F V n = 服从自由度为 1 2 ( , ) n n 的 F 分布，记为 1 2 F F n n ( , ) 1 2 F n n ( , ) 分布的概率密度为 1 1 1 2 / 2 ( / 2) 1 1 2 1 2 ( )/ 2 1 2 1 2 [( ) / 2]( / ) , 0, ( ) ( / 2) ( / 2)[1 ( / )] 0, n n n n n n n n y y y n n n y n − + + = + 其它 F 分布的分位点
对于给定的a,0Fa,%》=nw0=a 的点F(,n)为F(n,乃)分布的上a分位点。 F分布的上α分位点的性质 F(() 四、正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理一设X,X2,Xn是来自正态总体N(4,σ2)的样本，X是样本均值，则有 x-N(4,σ2/n) 对于正态总体N(4,σ2)的样本均值x与样本方差S2,有以下重要定理 定理二设X,X2,.,X,是总体N(山，σ)的样本，X,S2分别是样本均值与样本 方差，则有 (n-1)S2 -x2(n-1) 01 灭与S2独立 定理三设X,X2,.,Xn是总体N(4,o2)的样本，S2分别是样本均值与样本 方差，则有 X-4-n-0 SIn 两个正态总体的样本均值与样本方差有以下定理 设X,X2,.,Xm与Y,Y,.,Y分别是来自正态总体N(4,o2)与N(42,o22) 的样本，且此两个样本相互独立，设了-∑X,了=∑y分别是此两个样 n
对于给定的 ,0 1, 称满足条件 1 2 1 2 ( , ) { ( , )} ( ) F n n P F F n n y dy = = 的点 1 2 F n n ( , ) 为 1 2 F n n ( , ) 分布的上 分位点。 F 分布的上 分位点的性质 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) F n n F n n − = 四、正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理一 设 1 2 , , , X X X n 是来自正态总体 2 N( , ) 的样本， X 是样本均值，则有 2 X N n ( , / ) 对于正态总体 2 N( , ) 的样本均值 X 与样本方差 2 S ，有以下重要定理 定理二 设 1 2 , , , X X X n 是总体 2 N( , ) 的样本， 2 X S, 分别是样本均值与样本 方差，则有 2 2 2 ( 1) ( 1) n S n − − X 与 2 S 独立 定理三 设 1 2 , , , X X X n 是总体 2 N( , ) 的样本， 2 X S, 分别是样本均值与样本 方差，则有 ( 1) / X t n S n − − 两个正态总体的样本均值与样本方差有以下定理 设 1 1 2 , , , X X X n 与 2 1 2 , , , Y Y Y n 分别是来自正态总体 2 1 1 N( , ) 与 2 2 2 N( , ) 的样本，且此两个样本相互独立，设 1 2 1 1 1 2 1 1 , n n i i i i X X Y Y n n = = = = 分别是此两个样
本的的值.82（化-.22仪-行分别是此两个样体的 样本方差，则有 Si/S-F(m-1.ns-1) 021o2 当02=022=02时 (区-4=2-10m+%-2) s2=a=s+-s,8= %+八-2 例在总体N(52,6.32)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值灭落在50.8到 53.8之间的概率。 解 因为X-N(4,σ2/m 得X-N(52,6.32/36) X-52 -N(0,) 6.316 Pre08<9明=n2洛是：00是 -6.3/6 =538-52)-Φ508-52) 6.316 6.3/6 =0.8293 V小结与提问： 小结：常用统计量的分布：正态总体样本均值与样本方差的分布 提问：怎么样理解常用统计量的分布 VI课外作业： P1753
本的均值， 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) , ( ) 1 1 n n i i i i S X X S Y Y n n = = = − = − − − 分别是此两个样本的 样本方差，则有 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / ( 1, 1) / S S F n n − − 当 2 2 2 1 2 = = 时 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 2) 1 1 w X Y t n n S n n − − − + − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) , 2 w w w n S n S S S S n n − + − = = + − 例 在总体 2 N(52,6.3 ) 中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之间的概率。 解 因为 2 X N n ( , / ) 得 2 X N(52,6.3 / 36) 52 (0,1) 6.3/ 6 X N − 50.8 52 52 53.8 52 {50.8 53.8} { } 6.3/ 6 6.3/ 6 6.3/ 6 53.8 52 50.8 52 ( ) ( ) 6.3/ 6 6.3/ 6 0.8293 X P X P − − − = − − = − = V 小结与提问： 小结：常用统计量的分布；正态总体样本均值与样本方差的分布 提问：怎么样理解常用统计量的分布 VI 课外作业： P175 3