第四讲随机变量函数的分布、第二章习题课 I 授课题目： 第五节随机变量函数的分布 第二章习题课 Ⅱ教学目的与要求： 掌握随机变量函数的分布 重点习题评讲 Ⅲ教学重点与难点： 重点：随机变量函数的分布 难点：随机变量函数的分布 V讲授内容： 随机变量函数的分布 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.例如，已知圆轴截面直径d的 分布，求载面面积卡4的分布。又如，已知=6时刻限声电压V的分布，求功 案 (R为电阻)的分布等 一般地，设随机变量X的分布已知，Y=g()(设g是连续函数)，如何由X的分布 求出Y的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. ·、离散型随机变量函数的分布 例1设X为 5 0.2 0.5 0.3 求V=2+3的概率函数 解：当X取值1,2， 5时 Y取对应值5,7,13，而且X取某值与Y取其对应值是两 个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 所以 Y 5 7 13 0.2 0.5 0.3 一般，若X是离散型工.VX的概率函数为X~ X2 P P Pa 则Y=g() Y g(x) . g(x) P2 . Pa 如果g(x)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可 如：X一 -1 0 1
第四讲随机变量函数的分布、第二章习题课 Ⅰ 授课题目： 第五节 随机变量函数的分布 第二章习题课 Ⅱ 教学目的与要求： 1. 掌握随机变量函数的分布 2. 重点习题评讲 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：随机变量函数的分布 难点：随机变量函数的分布 Ⅳ 讲授内容： 随机变量函数的分布 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的 分布,求截面面积 A= 2 4 d 的分布. 又如，已知 t= 0 t 时刻噪声电压 V 的分布， 求功 率 W= 2 V R (R 为电阻）的分布等. 一般地，设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设 g 是连续函数），如何由 X 的分布 求出 Y 的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 一、 离散型随机变量函数的分布 例 1 设 X 为 X 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，而且 X 取某值与 Y 取其对应值是两 个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 所以 Y 5 7 13 P 0.2 0.5 0.3 一般，若 X 是离散型 r.v X 的概率函数为 X ～ X 1 x 2 x . n x P 1 p 2 p . n p 则 Y=g(X) ～ Y 1 g x( ) 2 g x( ) . ( ) n g x P 1 p 2 p . n p 如果 g( k x )中有一些是相同的，把它们作适当并项即可. 如： X ～ X -1 0 1
P 0.3 0.50.2 则Y=X2的概率函数为Y~ 0 1 0.5 0.5 二、连续型随机变量函数的分布 ()=800,有 Fy)=P(Y≤y)=P(X2≤y) =P(-√y≤X≤√y) =Fx(N)-Fx(-√P) 求导可得 U,+/1y>0 f005022万 0, y≤0
P 0.3 0.5 0.2 则 Y= 2 X 的概率函数为 Y ～ Y 0 1 P 0.5 0.5 二、连续型随机变量函数的分布 例 2 设 X ～ ( ) X f x = , 0 4 8 0, x x 其他 , 求 Y=2X+8 的概率密度. 解 设 Y 的分布函数为 F～ ( ) F y Y ， ( ) F y Y = P Y y ( ) = P X y (2 8 ) + = 8 ( ) 2 y P X − = 8 ( ) 2 X y F − 于是 Y 的密度函数 ( ) Y f y = ( ) Y dF y dy = 8 1 ( ). 2 2 X y f − 注意到 0 4 x 时, ( ) 0 X f x 即 8 16 y 时, 8 1 ( ) ( ). 0 2 2 Y X y f y f − = . 所以 ( ) Y f y = 8 , 8 16 32 0, y y − 其他 例 3 设 X 具有概率密度 ( ) X f x ,求 2 Y X = 的概率密度 ( ) Y f y 解： 设 Y 和 X 的分布函数分别为 ( ) F x X 和 ( ) F y Y 注意到 2 Y X = 0,所以当 Y 0 时, ( ) Y f y =0 当 Y 0,有 ( ) F y Y = P Y y ( ) = 2 P X y ( ) = P y X y ( ) − = ( ) F y X - ( ) F y X − 求导可得 ( ) Y f y = ( ) Y dF y dy = 1 [ ( ) ( )], 0 2 0, 0 X X f y f y y y y + −
1 若fx(x)= ,-01,G(y)=1:对y<0,G(y)=0: 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数 其反函数下-1存在且严格递增
若 ( ) X f x = 2 2 1 2 x e − , − + x ,则 2 Y X = 的概率密度为 ( ) Y f y = 1 2 2 1 , 0 2 0, 0 y y e y y y − − 从上述两例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y } 中解出 X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的 X 的不等式 . 例如，用 8 2 y X − 代替 2 8 X y + 用 − y X y 代替 2 X y 这样做是为了利用已知的 X 的分 布，从而求出相应的概率.这是求 r.v 的函数的分布的一种常用方法. 例4 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) X f x = 2 2 , 0 0, x x 其他 求 Y=sinX 的概率密度. 解 注意到 0 x 时, 0 1 y 所以 y 0 时, ( ) Y f y =0 y 1 时, ( ) Y f y =1 当 0 1 y 时, ( ) F y Y = P Y y ( ) = P X y (sin ) = P X y (0 arcsin ) + P y x ( arcsin ) − = arcsin 2 0 y 2x dx + 2 arcsin 2 y x dx − = arcsin 2 ( ) y arcsin 2 1 ( ) y − + − 而 ( ) Y f y = ( ) Y dF y dy ,求导得 ( ) Y f y = 2 2 , 0 1 1 0, y y − 其他 例 5 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)是严格单调的连续函数,证明 Y=F(X)服从[0,1]上 的均匀分布 证明: 设 Y 的分布函数是 G(y), 由于 01, G(y)=1; 对 y<0 , G(y)=0; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增
对0≤y≤1，G(y)=P(N≤y)=P(F()≤y)=P(X≤F-(y)=F(F-(y)=y 0,y0或恒有g(x)0,y=-2<0于是y在区间(0,1) 上单调下降，有反函数 r=)=e为 由前述定理得 0<e片<1 dy 0, 其他 1,0<y<1 将X的概率密度∫x(x) 0,其他 代入，得 0, 其他 即Y服从参数为)的指数分布
对 0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ 1 F y( ) − ) =F( 1 F y( ) − )= y 即 Y 的分布函数是 0, 0 ( ) , 0 1 1, 1 y G y y y y = 求导得 Y 的密度函数 ( ) Y f y = 1, 0 1 0, y 其他 可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 定理 设 X 是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设 y=g(x)处 处可导，且 对于任意 x,恒有 g x ( ) 0 或恒有 g x ( ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型 r.v， 它的概率密度为 ( ) Y f y = [ ( )] ( ), 0, f h y h y y 其他 其中 x h y = ( ) 是 y g x = ( ) 的反函数， min ( ) a x b g x = , max ( ) a x b g x = 此定理的证明与前面的解题思路类似. 例6 设随机变量 X 在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX 的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数 lnx0, 2 y 0 x = − 于是 y 在区间(0,1) 上单调下降，有反函数 2 ( ) y x h y e − = = 由前述定理得 ( ) Y f y = 2 2 2 ( ) , 0 1 0, y y y X de f e e dy − − − 其他 将 X 的概率密度 ( ) X f x = 1, 0 1 0, y 其他 代入,得 ( ) Y f y = 2 2 1 , 0 1 2 0, y y e e − − 其他 即 Y 服从参数为 1 2 的指数分布
V小结与提问： 小结：本次课我们介绍了随机变量函数的分布.对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从 而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y} Ⅵ课外作业： P227.30.32
Ⅴ 小结与提问： 小结：本次课我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求 Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为 X 在一定范围内取值的形式，从 而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y } Ⅵ 课外作业： 72 P 27.30.32