第一讲数学期望 1授课题目： §4.1数学期望 Ⅱ教学目的与要求： 1.理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质，掌握数学期望的求法。 Ⅲ教学重点与难点： 重点：数学期望 难点：数学期望的求法 Ⅳ讲授内容： 数学期望的概念 引例：一批灯泡5万只，为了评估灯泡的使用寿命（设每只灯泡的寿命是一个随机变 量X(小时))。现从中随机抽取100只，测试结果如下： 寿命（小时）105011001150 12001250 灯泡数（频数） 6 20 32 26 16 频率 6 20 32 26 16 100 100 100 100 100 可求得该100只灯泡的平均寿命为： 1050×6+1100×20+1150×32+1200×26+1250×16 100 =1050x6 =1163(小时) 可由此估计出该批灯泡的平均使用寿命 1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=P,k=L,2,3. 若级数空D绝对收敛。则称级数空A为随机变量X的数学期塑，记为BC)。 即EX)=∑xP: 2.连续型随机变量的数学期望 定义设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若积分「xf(x):绝对收敛，则称 积分(x)的值为随机变量X的数学期望，记为EX)· 即E(X)=xf(x)dk。 数学期望简称期望，又称为均值。 例1甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废
第一讲 数学期望 Ⅰ 授课题目： §4.1 数学期望 Ⅱ 教学目的与要求： 1.理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质，掌握数学期望的求法。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：数学期望 难点：数学期望的求法 Ⅳ 讲授内容： 一、数学期望的概念 引例：一批灯泡 5 万只，为了评估灯泡的使用寿命（设每只灯泡的寿命是一个随机变 量 X（小时））。现从中随机抽取 100 只，测试结果如下: 寿命（小时） 1050 1100 1150 1200 1250 灯泡数（频数） 6 20 32 26 16 频率 6 100 20 100 32 100 26 100 16 100 可求得该 100 只灯泡的平均寿命为： 1050 6 1100 20 1150 32 1200 26 1250 16 100 20 32 26 16 1100 1150 1200 1250 100 100 100 100 1163 + + + + + + + + 6 ＝1050 100 ＝ （小时） 可由此估计出该批灯泡的平均使用寿命。 1．离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P X x p = = k k ，k =1,2,3 . 若级数 1 k k k x p = 绝对收敛，则称级数 1 k k k x p = 为随机变量 X 的数学期望，记为 E X( ) 。 即 E X( ) ＝ 1 k k k x p = 。 2．连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f x( ) ，若积分 xf x dx ( ) − 绝对收敛，则称 积分 xf x dx ( ) − 的值为随机变量 X 的数学期望，记为 E X( ) 。 即 E X( ) ＝ xf x dx ( ) − 。 数学期望简称期望，又称为均值。 例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产 100 件产品所出的废
品数分别用X、Y表示，它们的概率分布如下 X01 23 P0.70.10.10.1 Y0123■ P0.50.30.20 问这两个工人谁的技术好？ 解E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6 EV)=0×0.5+1×03+2×02+3×0=0.7 甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。 例2袋内有3个1号球，1个2号球与2个3号球，从中一次任取出三个球，X表 示取到三个球中的最大号数，计算E(X) 解欲计算E(X),需先求出X的分布，X是一个离散型随机变量，它可以取1、2、 3共三个值，应用古典概率公式计算可得 P(X=1)-9=1 c。-20 Px=-答-动 P(X=3)=CCi+CiCi_16 Γ20 或 PX=3)=1-PX=1)-PX=2=6 20 80-=+28-2为 例3已知，随机变量X的密度函数为)= 「Ax0≤x≤3 其它 求：(1)A: (2)E(X)。 解(D由达=得矿d=L所以4=号 e0=号-号6=-2 一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1.0一1分布 X01 P 1-pP E(X)=0×(I-P)+1×p=p 2.二项分布
品数分别用 X、Y 表示，它们的概率分布如下： X 0 1 2 3 PK 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 PK 0.5 0.3 0.2 0 问这两个工人谁的技术好? 解 E X( ) ＝0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1 0.6 + + + = E Y( )＝0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0 0.7 + + + = 甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。 例2 袋内有 3 个 1 号球，1 个 2 号球与 2 个 3 号球，从中一次任取出三个球，X 表 示取到三个球中的最大号数，计算 E X( ) 。 解 欲计算 E X( ) ,需先求出 X 的分布，X 是一个离散型随机变量，它可以取 1、2、 3 共三个值，应用古典概率公式计算可得： 3 3 3 6 1 ( 1) 20 C P X C = = = 2 1 3 1 3 6 3 ( 2) 20 C C P X C = = = 1 2 2 1 2 4 2 4 3 6 16 ( 3) 20 C C C C P X C + = = = 或 16 ( 3) 1 ( 1) ( 2) 20 P X P X P X = = − = − = = 3 1 1 3 16 ( ) 1 2 3 2.75 20 20 20 k k E X kp = = = + + = 例3 已知，随机变量 X 的密度函数为 0 3 ( ) 0 Ax x f x = 其它 ， 求：（1） A ； (2) E X( ) 。 解 （1）由 f x dx ( ) 1, + = － 得 3 1, a Axdx = 所以 2 9 A = （2） 3 3 3 0 0 2 2 ) ( ) | 2 9 27 E X xf x dx x xdx x + = = = － （ ＝ 二．一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1．0—1 分布 X 0 1 Pk 1－ p p E X p p p ( ) 0 (1 ) 1 = − + = 2．二项分布
X-bn,p)则E(X)=吧 3.泊松分布 X~π()，则E(X)=元 计算：E(X=K 合欣-e=5 (RI)e=ie'e=1 4.均匀分布 X~U[a,b],则EX)=a+b 5.指数分布 X服从参数为日的指数分布，则E(X)=0。计算如下： 00=广达=合 =-ed-白=-de =-xe+"eidx=0-ei) =0 6.正态分布 X~N(4,o2),则E(X)=4 这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 三、随机变量函数的数学期望 定理设Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g是连续函数) (1)X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=x}=Pa,k=1,2,3,若 三g,A绝对收敛。则有 EY)=ELg(x)=∑gxp: ★= (2)X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x),若 gx)fx)绝对收敛，则有 E(Y)=E[g(x)]=[g(x)f(x)dx 上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 给出如下结论： 设Z是二维随机变量(X,)的函数Z=g(X,Y),其中g是二元连续函数， (1)设(X,Y)是离散型，其分布律为P{X=xY=}=P4,1,j=1,2,3,., 则当级数2∑g,yp,绝对收敛时，有
X b n p E X np ( , ) ( ) 则 = 3．泊松分布 X ~ ( ) ，则 E X( ) = 计算： 1 0 1 1 ( ) ! ( 1)! ( 1)! K K K K K K E X K e e e e e K K K + + + − − − − − = = = = = = = − − ＝ 4．均匀分布 X～U[ a b, ]，则 ( ) 2 a b E X + = 5．指数分布 X 服从参数为 的指数分布，则 E X( ) = 。计算如下： 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) | ( ) | x x x x x x E X xf x dx x e dx x xe d xde xe e dx e + + − − + + − − − − − + + + = = = − − = − = − + = − = 6．正态分布 X～ 2 N E X ( , ), ( ) 则 = 这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 三、随机变量函数的数学期望 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数， Y g X = ( ) （ g 是连续函数） （1） X 是离散型随机变量，它的分布律为 { } P X x p = = k k ，k ＝1，2，3，.，若 1 ( ) k k k g X p = 绝对收敛，则有 E Y E g x ( ) [ ( )] = = 1 ( ) k k k g x p = （2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为 f x( ) ，若 g x f x dx ( ) ( ) + − 绝对收敛，则有 E Y E g x ( ) [ ( )] = = g x f x dx ( ) ( ) + − 上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 给出如下结论： 设 Z 是二维随机变量 ( , ) X Y 的函数 Z g X Y = ( , ) ,其中 g 是二元连续函数， （1）设 ( , ) X Y 是离散型，其分布律为 , { } P X x Y y p = = = i i ij ，i j , ＝1，2，3，.， 则当级数 1 1 ( , ) i i ij i j g x y p = = 绝对收敛时，有
E(Z)=Elg(.=g(p, (3)设(X,)是连续型，密度函数为fx,),则当积分∫g(x,fx, 绝对收敛时，有 E(Z)=EIg(x.g(x.y)/(x.y)dxdy 例4例3中求E(X2),E(e)。 Be-ee'2 例5设(X,Y)的联合分布律为 2 3 3 试求：E(X),E(Y),E(XY)· 解由X、Y的联合分布律，得X、Y的边缘分布律分别为 X 1 2 P 2 3 Y 1 2 P., 3 所以 E(=,.=1x+ 3-3 B-2加，=1x+2x2 33 1 例6随机变量的概率密度为f(x,)=2 其它 求：E(X)
E Z E g x y ( ) [ ( , )] = = 1 1 ( , ) i i ij i j g x y p = = （3） 设 ( , ) X Y 是连续型，密度函数为 f x y ( , ) ，则当积分 g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 绝对收敛时，有 E Z E g x y ( ) [ ( , )] = = g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 例4 例 3 中求 2 ( ), ( )x E X E e 。 解 2 E x( ) = 4 3 2 2 3 0 0 2 2 3 ( ) | 9 9 4 2 x x f x dx x xdx + = = = － ＝ ( )x E e = 3 3 3 3 0 0 0 2 2 2 ( ) ( | ) (2 1) 9 9 9 x x x x e f x dx e xdx xe e dx e + = = − = + － ＝ 例 5 设（X,Y）的联合分布律为 Y X 1 2 1 0 1 3 2 1 3 1 3 试求: E X E Y E XY ( ), ( ), ( ) 。 解 由 X 、Y 的联合分布律，得 X 、Y 的边缘分布律分别为 X 1 2 i p 1 3 2 3 Y 1 2 j p 1 3 2 3 所以 2 1 1 2 5 ( ) 1 2 3 3 3 i i E X ip = = = + = 2 1 1 2 5 ( ) 1 2 3 3 3 j j E Y jp = = = + = 2 2 1 1 1 1 1 8 ( ) ( ) 1 1 0 2 1 1 2 2 2 3 3 3 3 i i ij i j E XY x y p = = = = + + + = 例 6 随机变量的概率密度为 1 sin( ) 0 , 0 ( , ) 2 2 2 0 x y x y f x y + = 其它 ， 求： E X( )
解法一：（联合概率密度法） B0)=x,d=原xmx+h= 4 解法二：（边缘概率密度法）(X,Y)关于X的边缘概率密度为 L(x)-Jf(x.y)dy- B广nr+pM0sxs子血sx0sx号 2= 2 0 其它 0 其它 0)-ch-x.-月 2 4 但是求E(Y)只能用联合概率密度法： Em=xh-yx+0h=受-l 例7己知随机变量(X,Y)的概率密度为 fx,》=0 Ay 0≤x≤1,0≤y≤1 其它 求：(1)A:(2)E(X),E(Y):(3)E(X2):(4)EXY)。 解(1)由fx,yh=l得Axd=l所以，A=4 (2))=广fx,y= 40d=2x0≤x≤1 0 其它 所以0=2=号 同理以0)=号 (3) BX=r2=2 4m=rxnh=g4d=4rr=号 四数学期望的性质 1设C是常数，则有E(C)=C。 2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X) 3设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4设X、Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况
解法一：（联合概率密度法） E X( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 2 4 xf x y dxdy x x y dxdy + + − − = + = 解法二：（边缘概率密度法） ( , ) X Y 关于 X 的边缘概率密度为 2 0 1 sin cos sin( ) 0 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 0 0 x x x x y dy x x f x f x y dy + − + + = = ＝ 其它 其它 E X( ) = 2 0 1 sin cos ( , ) 2 2 4 x x x xf x y dx x dx + − + = = 但是求 E XY ( ) 只能用联合概率密度法： E XY ( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 1 2 2 xy f x y dxdy xy x y dxdy + + − − = + = − 例7 已知随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 0 1, 0 1 ( , ) 0 Axy x y f x y = 其它 ， 求：（1） A ； （2） E X( ) ， E Y( ) ；(3) 2 E X( ) ； (4) E XY ( ) 。 解 （1）由 f x y dxdy ( , ) 1, + + − = － 得 1 1 0 0 Axydxdy =1, 所以，A＝4 （2） ( ) x f x = 1 0 4 2 0 1 ( , ) 0 xydy x x f x y dy + = = － 其它 所以 E X( ) 1 0 2 2 3 x xdx = ＝ 同理 E Y( ) = 2 3 （3） 2 E X( ) 1 2 0 1 2 2 x xdx = ＝ （4） E XY ( ) = 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 4 ( , ) 4 4 9 xy f x y dxdy xy xydxdy x dx y dy + + − − = = = 四 数学期望的性质 1 设 C 是常数，则有 E C C ( ) = 。 2 设 X 是一个随机变量， C 是常数，则有 E CX CE X ( ) ( ) = 3 设 X 、Y 是两个随机变量，则有 E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4 设 X 、Y 是相互独立的随机变量，则有 E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) = 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况
例8X~N10,2,Y-N(9,3),求E(3X+2Y)。 解E(3X+2Y)=3E(X)+2E(Y)=3×10+2×9=48 V小结与提问： 小结：数学期望E(X)描述随机变量X取值的平均大小，要掌握数学期望的 性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布的数学期望。 Ⅵ课外作业： 35.6.7.8
例 8 X N Y N (10,2), (9,3),求 E(3X+2Y)。 解 E X Y E X E Y (3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 10 2 9 48 + = + = + = Ⅴ 小结与提问： 小结：数学期望 E X( ) 描述随机变量 X 取值的平均大小，要掌握数学期望的 性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布的数学期望。 Ⅵ 课外作业： P139 5. 6. 7. 8
第二讲方差协方差及相关系数 I授课题目（章节）： §4.2方差§4.3协方差及相关系数 Ⅱ教学目的与要求： 1.理解方差的定义，掌握方差的性质，掌握方差的求法 2.知道协方差及相关系数的概念。 Ⅲ教学重点与难点： 重点：方差的概念及求法 难点：相关系数 W讲授内容： 方差 1.方差的定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)}存在，则称E{K-E(X)}为X的 方差，记为D(X)或Var(X)。即D(X)=amr(X)=E{[X-E(X}. 并称√DX灯为X的标准差或均方差。 随机变量X的方差表达了X的取值与其均值的偏离程度， 按此定义，若X是离散型随机变量，分布律为 P{X=x}=P,k=12, 则DX)=∑[x4-E(X)p 若X是连续型随机变量，密度函数为f(x),则 DX)=[x-E(Xfx)达 方差常用下面公式计算：D(X)=E(X2)-[E(X)] 事实上D(X)=E{X-E(X)}=E{X2-2XE(X)+E(X)} =E(X2)-2EX)E(X)+E2(X)=E(X2)-E2(X) 例1三人射击，随机变量X,Y,Z分别表示三人的命中环数，其分布律分别为： 甲 X8910 p40.10.80.1 y8910 P0.40.20.4 丙 z8910 P0.20.60.2 问三人谁的技术好？
第二讲 方差 协方差及相关系数 Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 Ⅱ 教学目的与要求： 1．理解方差的定义，掌握方差的性质，掌握方差的求法； 2．知道协方差及相关系数的概念。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：方差的概念及求法 难点：相关系数 Ⅳ 讲授内容： 一、方差 1.方差的定义 设 X 是一个随机变量，若 2 E X E X [ ( )] − 存在，则称 2 E X E X [ ( )] − 为 X 的 方差，记为 D X( ) 或 Var X( ) 。即 D X( ) = Var X( ) = 2 E X E X [ ( )] − 。 并称 D X( ) 为 X 的标准差或均方差。 随机变量 X 的方差表达了 X 的取值与其均值的偏离程度。 按此定义，若 X 是离散型随机变量，分布律为 , 1,2, P X x p k = = = k k . 则 2 1 ( ) [ ( )] k k K D X x E X p = = − 若 X 是连续型随机变量，密度函数为 f x( ) ，则 2 D X x E X f x dx ( ) [ ( )] ( ) + − = − 方差常用下面公式计算： 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 事实上 D X( ) = 2 E X E X [ ( )] − 2 2 = − + E X XE X E X 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 = − + = − E X E X E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例1 三人射击，随机变量 X Y Z , , 分别表示三人的命中环数，其分布律分别为： 甲 X 8 9 10 k p 0．1 0．8 0．1 乙 Y 8 9 10 k p 0．4 0．2 0．4 丙 Z 8 9 10 k p 0．2 0．6 0．2 问三人谁的技术好？
解E(X)=9E(Y)=9E(Z)=9 又E(X2)=82×0.1+92×0.8+102×0.1=81.2 所以D(X)=E(X2)-[E(X)=81.2-81=0.2 类似可得DY)=0.8D(Z)=0.4 从稳定性上说，甲技术最好。 例2设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)= :0<x<2,试求 0 其它 E(X),D(X)。 解因为二f达=达=4= 所以4 0<x<2 0 其它 0)=广x达=是=月 )=eh=爱-号 5 所0=-f-号-r-动 2.方差的性质 (1)D(C)=0(C是常数) (2)D(CX)=C2D(X)(C是常数) (3)D(X+C)=D(X)(C是常数) (4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E(X-E(X)(Y-E(Y)) 特别如随机变量X、Y相互独立，则D(X+)=D(X)+DY) 3.几种重要分布的方差 (1)0-1分布D(X)=pg (2)二项分布D(X)=pg (3)泊松分布DX)=1 4)均匀分布DX)=-a2 12 (5)指数分布D(X)=0 (6)正态分布D(X)=o 例3设随机变量X、Y相互独立，X~N10,),Y~N(7,2)
解 E X( ) 9 = E Y( ) 9 = E Z( ) 9 = 又 2 2 2 2 E X( ) 8 0.1 9 0.8 10 0.1 81.2 = + + = 所以 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − = − = 81.2 81 0.2 类似可得 D Y( ) 0.8 = D Z( ) 0.4 = 从稳定性上说，甲技术最好。 例2 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 2 0 2 ( ) 0 Ax x f x = 其它 ，试求 E X D X ( ), ( )。 解 因为 2 2 0 8 ( ) 1 3 f x dx Ax dx A + = = = － 所以 3 8 A = 3 2 0 2 ( ) 8 0 x x f x = 其它 E X( ) 2 3 0 3 3 ( ) 8 2 xf x dx x dx + = = － ＝ 2 E X( ) 2 2 4 0 3 12 ( ) 8 5 x f x dx x dx + = = － ＝ 所以 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 12 3 3 2 ( ) 5 2 20 = − = 2.方差的性质 （1） D C( ) 0 = ( C 是常数) （2） 2 D CX C D X ( ) ( ) = ( C 是常数) （3） D X C D X ( ) ( ) + = ( C 是常数) （4） D X Y D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) ( ) 2 [( ( ))( ( ))] + = + − − − 特别 如随机变量 X 、Y 相互独立，则 D X Y D X D Y ( ) ( ) ( ) + = + 3.几种重要分布的方差 （1）0——1 分布 D X pq ( ) = （2）二项分布 D X npq ( ) = （3）泊松分布 D X( ) = （4）均匀分布 2 ( ( ) 12 b a D X − = ） （5）指数分布 2 D X( ) = （6）正态分布 2 D X( ) = 例3 设随机变量 X 、Y 相互独立， 2 X N Y N ～ (10,1), ~ (7,2 )
求1)E写X+2Y-),E写X-2Y-) 2②Dx+2r-,Dx-2r-l 解X+2-)=0+2)-1=x10+2x7-1=16写 X-2-=0-2600-1x10-2x7-1=- 3 3 D5X+2Y-0=gDX0+4D)= +4x4=16 DX-2Y-)+4DY)+4x4-16 例4设随机变量X具有数学期望E(X)=4,方差D(X)=o2≠0， 记X=-业，则EX)=0.DX)=1 解EX)-号X-0=B(0-川=0 DX)=ECX)-EX)=E] 。X-]=g s、 称X为X的标准化变量。 注意：这里X不一定是正态随机变量。对正态随机变量，结论也成立。 例5设活塞的直径（以cm计）X~N(22.40,0.032)，气缸的直径 YN(22.50,0.042), X、Y相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。 解按题意需求P{X<Y}=P{X-Y<O} 由于X-Y-N(-0.10,0.0025) 故有P{X<Y}=P(X-y<0y=PK-)-(-0.100-0.10】 √0.0025 √0.0025 0.10 =003=2)=0972 结论设随机变量X~N(4,),1=12,.n,且它们相互独立，则它们的线性组合 GX+GX+.cX。~N(2c42c2a2) 4.切比雪夫不等式 定理设随机变量X具有数学期望E(X)=4,方差D(X)=o2,则对于任意正数8
求（1） 1 ( 2 1) 3 E X Y + − , 1 ( 2 1) 3 E X Y − − (2) 1 ( 2 1) 3 D X Y + − , 1 ( 2 1) 3 D X Y − − 解 1 ( 2 1) 3 E X Y + − 1 1 1 ( ) 2 ( ) 1 10 2 7 1 16 3 3 3 = + − = + − = E X E Y 1 ( 2 1) 3 E X Y − − 1 1 35 ( ) 2 ( ) 1 10 2 7 1 3 3 3 = − − = − − = − E X E Y 1 ( 2 1) 3 D X Y + − 1 1 1 ( ) 4 ( ) 4 4 16 9 9 9 = + = + = D X D Y 1 ( 2 1) 3 D X Y − − 1 1 1 ( ) 4 ( ) 4 4 16 9 9 9 = + = + = D X D Y 例4 设随机变量 X 具有数学期望 E X( ) = ，方差 2 D X( ) = 0， 记 x X − = ，则 E X D X ( ) 0, ( ) 1 = = 解 1 1 E X E X E X ( ) ( ) [ ( ) ] 0 = − = − = 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )] [( ] 1 [( ) ] 1 X D X E X E X E E X − = − = = − = = ） 称 X 为 X 的标准化变量。 注意：这里 X 不一定是正态随机变量。对正态随机变量，结论也成立。 例5 设 活 塞 的 直 径 （ 以 cm 计 ） 2 X N ～ (22.40,0.03 ) ， 气 缸 的 直 径 2 Y～N(22.50,0.04 ) ， X 、Y 相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。 解 按题意需求 P X Y P X Y = − 0 由于 X Y N − −( 0.10,0.0025) 故有 P X Y P X Y = − 0 ( ) ( 0.10) 0 ( 0.10) 0.0025 0.0025 X Y P − − − − − ＝ 0.10 ( ) (2) 0.9772 0.05 = = = 结论 设随机变量 2 ( , ), 1,2, X N i i i i = .n ,且它们相互独立，则它们的线性组合 1 1 2 2 c X c X + + . n n c X ～ 2 2 1 1 ( , ) n n i i i i i i N c c = = 4．切比雪夫不等式 定理 设随机变量 X 具有数学期望 E X( ) = ，方差 2 D X( ) = ，则对于任意正数
不等式PK-小≥ssg 成立 或Px-4<e≥1-g 二协方差及相关系数 1定义称E[X-E(X)[Y-E(Y)]}为随机变量X与Y的协方差。记为 Cov(X,Y),Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)] 而Pg= Cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。 √DX)VDY) 2协方差的性质 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X) (2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 我们常用这一式子计算协方差。 (3)Cov(ax,by)=abCov(X,Y) (4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 3相关系数的性质 (1)P≤1 (2)P=1的充要条件是，存在常数a,b,使PY=a+bX)=1 P的大小表征着X与Y的线性相关程度。当P较大时，则X与Y的线性 相关程度较好：当Pg较小时，则X与Y的线性相关程度较差。 当P=0时，称X与Y不相关。 当X与Y相互独立时，X与Y不相关。反之，若X与Y不相关，X与Y却不 定相互独立。 例6箱子中有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子中取一件产品，共取两次。 定义随机变量X、Y如下： 「0若第一次取出正品 Y= 0若第二次取出正品 X=化若第一次取出次品 1若第二次取出次品 求下面两种情形下的协方差与相关系数： (1)放回轴样： (2)不放回抽样。 解 (1)写出联合分布律为： 1 P. 0 25 5 5 36 36 6 5 1 36 36 6
不等式 2 2 P X − 成立； 或 2 2 P X 1 − − 二 协方差及相关系数 1 定 义 称 E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 为 随 机 变量 X 与 Y 的 协方 差 。记 为 Cov X Y ( , ) ,即 Cov X Y ( , ) ＝ E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 而 ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y = 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数。 2 协方差的性质 （1） Cov X Y ( , ) ＝Cov Y X ( , ) ,Cov X X D X ( , ) ( ) = （2） Cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) = − 我们常用这一式子计算协方差。 （3） Cov aX bY abCov X Y ( , ) ( , ) = （4） Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z ( , ) ( , ) ( , ) + = + 3 相关系数的性质 （1） 1 XY （2） 1 XY = 的充要条件是，存在常数 a b, ，使 P Y a bX { } 1 = + = XY 的大小表征着 X 与 Y 的线性相关程度。当 XY 较大时，则 X 与 Y 的线性 相关程度较好；当 XY 较小时，则 X 与 Y 的线性相关程度较差。 当 0 XY = 时，称 X 与 Y 不相关。 当 X 与 Y 相互独立时， X 与 Y 不相关。反之，若 X 与 Y 不相关， X 与 Y 却不一 定相互独立。 例6 箱子中有 12 件产品，其中 2 件是次品，每次从箱子中取一件产品，共取两次。 定义随机变量 X 、Y 如下： 0 1 X = 若第一次取出正品 若第一次取出次品 0 1 Y = 若第二次取出正品 若第二次取出次品 求下面两种情形下的协方差与相关系数： （1） 放回抽样； （2）不放回抽样。 解 （1）写出联合分布律为： Y X 0 1 j p 0 25 36 5 36 5 6 1 5 36 1 36 1 6 i p 5 6 1 6