第一讲大数定理 I.授课题目（章节） S5.1大数定理 Ⅱ.教学目的与要求 Ⅲ.教学重点与难点： 热等营大大车软大定理 难点：(1)了解契比雪夫大数定理，伯努利大数定理（独立同分布随机变量的大数定 律)成立的条件及结论 (2)了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛一拉普拉斯定理（仁项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 V.讲授内容： 在前面学习概率的定义时，就知道了一个事实：概率是事件发生的频率所呈现的稳定 但仅从现实生活里的一些可观察的随机事件的表面作了说明，并未从根本上加以理论证明， 除此之外，我们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。所以我们有必要研究在这 种以“大量观测值”为背景下的随机事件的概率的规律。这就是本章内容的背景和所要探讨 学习的。 为了根本更好地理解和学习大数定理，结合契比雪夫不等式，先从概率论中最重要也最 基本的契比雪夫定理开始： 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量X,X2,X。,相互立，且具有相同的期望和方差： BX,)=么DX,)=0X=121作前n个随机变星的算术平均：下-之.· 则时于任意的e,有mp低-小水小-mP空-水1 (1.1) 该式表明：当n→o时这个事件的概奉趋于1，即对于任意的正数8，当n充分大时不等式 空-小水我限大 证明由于 2]-2(x)m-牙 n 由契比雪夫不等式知 P们之-水之一吾在上式中令加→并注意到概率不能大于1，即得：
第一讲大数定理 Ⅰ.授课题目（章节） §5.1 大数定理 Ⅱ.教学目的与要求 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：契比雪夫不等式，契比雪夫大数定理；伯努利大数定理，辛钦大数定理；独立 同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理。 难点：（1）了解契比雪夫大数定理，伯努利大数定理（独立同分布随机变量的大数定 律）成立的条件及结论 （2）了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 Ⅳ.讲授内容： 在前面学习概率的定义时，就知道了一个事实：概率是事件发生的频率所呈现的稳定 ， 但仅从现实生活里的一些可观察的随机事件的表面作了说明，并未从根本上加以理论证明。 除此之外，我们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。所以我们有必要研究在这 种以“大量观测值”为背景下的随机事件的概率的规律。这就是本章内容的背景和所要探讨 学习的。 为了根本更好地理解和学习大数定理，结合契比雪夫不等式，先从概率论中最重要也最 基本的契比雪夫定理开始： 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 1 2 , ,., ,. X X X n 相互立， 且具有相同的期望和方差： 2 ( ) , ( ) )( 1, 2,.). E X u D X k k k = = = 作前 n 个随机变量的算术平均： , 1 1 n k k X X n = = ， 则对于任意的 ，有 1 1 lim lim 1 n k n n k p X u p X u n → → = − = − = （ 1.1 ） 该式表明：当 n → 时这个事件的概率趋于 1，即对于任意的正数 ，当 n 充分大时不等式 1 1 n K k X u n = − 成立的概率很大。 证明 由于 ( ) 1 1 1 1 1 , n n k k k k E X E X nu u n n n = = = = • = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , n n k K k k D X D X n n n n n = = = = • = 由契比雪夫不等式知： 2 2 1 1 1 . , n k k n P X u n n = − − → 在上式中令 并注意到概率不能大于1，即得：
mP2x-水- 定理一表明，当n很大时，随机变量X,XX,的算术平均X-片之X,接近于 数学期望E(X)=E(X2)=.=E(X)=u.这种接近是在概率意义的接近。也即使说，在 定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增加时将几乎变成一个常数 于是有了下面的依概率收敛的定义： 设了，Y,X,是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数6，有 mp化.-a40，有 =P怡-小1aa =P-4小e-02或 证因为n4~bn,p),由第四章S2例6，有 n4=X1+X2+.+X。 其中，X,X2,.,Xn相互独立，且都服从以p为参数的(0-)分布。因而
1 1 lim 1 n k n k p X u n → = − = ， 定理一表明，当 n 很大时，随机变量 1 2 , ,., X X X n 的算术平均 1 1 n k k X X n = = • 接近于 数学期望 E X E X E X u ( 1 2 ) = = = = ( ) . . ( k ) 这种接近是在概率意义的接近。也即使说，在 定理的条件下， n 个随机变量的算术平均，当 n 无限增加时将几乎变成一个常数。 于是有了下面的依概率收敛的定义： 设 1 2 , ,., ,. Y Y Y n 是一个随机变量序列， 是一个常数，若对于任意正数 ，有 lim 1, n n p Y → − = 则称序列 1 2 , ,. ,. Y Y Y n 依概率收敛于 。 记为 . P Y n ⎯⎯→ 依概率收敛的序列还有以下性质： 设 X a p n ⎯→ ，Y b p n ⎯→ 又设函数 g x y ( , ) 在点 (a b, ) 连续，则 g(X ,Y ) g(a,b) p n n ⎯→ 这样，上述定理一又可叙述为： 定理一 设随机变量 X1， X2 ,., X n ,.,相互独立，且具有相同的数学期望和方差： E(Xk ) = ， ( ) ( 1,2, ) D Xk = 2 k = 则序列 = = n k X K n X 1 1 依概率收敛于 ， 即 ⎯→ p X 。 定理二（伯努利大数定理） 设 A n 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数。p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0 ，有 lim =1 − → p n n P A n (1.2) 或 lim = 0 − → p n n P A n ( ) 1.2 证 因为 n b(n p) A ~ ., ，由第四章§2 例 6，有 nA = X1 + X2 ++ Xn 其中， X1 ， X2 ,., X n 相互独立，且都服从以 p 为参数的 (0 1− ) 分布。因而
E(X)=pD(X)=P1-PK=l2,.,m,由(1.1)式即得 =P化+x++小<小1▣▣p怡-4<小- 伯努利大数定理表明事件发生的频率”4依概率收敛于事件的概率P。这个定理以严格 的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的 可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频 率来代替事件的概常。 定理一中要求随机变量X,X2,.的方差存在。但在这些随机变量服从相同分布的场 合，并不需要这一要求，我们有以下的定理。 定理三（辛软定理）设随机变量X,X2,X。,.相互独立，服从同一分布，且具有数 学期望E(Xx)=4k=12,则对于任意正数6，有 (1.3) 证明略。 显然，伯努利大数定理是辛软定理的特殊情况。 例 设随机变量X的数学期望E(X)=4,方差D(X)=σ2，求P{X-4≥3o}的大小区间 解令6=30 对实比香夫不等就有：Px-9D.有0r-小刘写石-号 例2 设X,X,X.是独立同分布的随机变量，其分布函数为F()=a+号amcm方b≠0) 问其是否适用于辛钦大数定理？ 解软大数定理成立的条作是：随机变量X的数学塑存在，即，（国女收。 dx 由于F()6+从而有 斗器=心
E(X ) p,D(X ) P(1 P)(K 1,2, ,n) k = k = − = ，由(1.1)式即得 ( ) 1 1 lim 1 2 = + + + − → X X X p n p n n ,即 lim =1 − → p n n p A n . 伯努利大数定理表明事件发生的频率 n nA 依概率收敛于事件的概率 p 。这个定理以严格 的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当 n 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的 可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频 率来代替事件的概率。 定理一中要求随机变量 X1， X2 ,.的方差存在。但在这些随机变量服从相同分布的场 合，并不需要这一要求，我们有以下的定理。 定理三（辛钦定理）设随机变量 X1， X2 ,., X n ,.相互独立，服从同一分布，且具有数 学期望 E(X ) = (k =1,2, ) K ，则对于任意正数 ，有 1 1 lim 1 = − = → n k k n X n p . (1.3) 证明略。 显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况。 例 1 设随机变量 X 的数学期望 ( ) ( ) 2 E X u D X X u = = − , 3 方差 ，求P 的大小区间 解 令 = 3 则有契比雪夫不等式有： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 , 3 3 9 D X p X u p X u − − = 有 例 2 设 1 2 , ,., . X X X n 是独立同分布的随机变量，其分布函数为 ( ) 1 arctan ( 0) x F x a b b = + 问其是否适用于辛钦大数定理？ 解 辛钦大数定理成立的条件是：随机变量 X 的数学期望存在，即 dF x( ) x dx dx + − 收敛。 由于 ( ) 2 2 , ( ) d b F x dx b x = + 从而有 dF x( ) x dx dx + − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 lim ( ) A A b x b b x b d b x dx b x b x b x + + − →+ + = = = + + +
色m+)w 即辛钦大数定理不适用。 例3在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为P(亿=1,2，”) 试证明：A发生的频率稳定于概率的平均值。 1,0分别表示A 发生和不发生(i=1,2,),则X服从(0-1)分布，故 E(X)=p,D(X)=P,1-p)=p9,又因为 (B,-9,}=(B+g,}广-4p9,=1-4p420,所以：D(X)=p9,≤0=l2川） 由契北雪大大数定是，对ve>a有回P作2X-E(小 即▣P低之小水小 V.小结与提问： 大数定理给我们的实际推断原理（小概率原理）作了理论支撑：如p(A)=0.001,则 可理解为在1000次的试验中只能希望发生一次。而在概率很小的事件在一次试验中发生几 乎是不可能的.即小概率事件我们通常可以认为在一次试验中几乎不发生。但小到什么程度， 则要视其具体问题的要求而定。“万无一失”，“人无远虑，必有近忧”，“未雨缪绸”等，正 是文学上对小概率事件的描述。 I.课外作业： 4习题五
2 2 lim ln 1 A b A →+ b = + = + 即辛钦大数定理不适用。 例 3 在 n 次独立试验中，设事件 A 在第 i 次试验中发生的概率为 p i n i ( =1, 2,. .) 试证明： A 发生的频率稳定于概率的平均值。 证明 设 X 表示 n 次试验中 A 发生的次数，引入新的随机变量 0 Xi = 1,• ， 10， 分别表示 A 发生和不发生 (i n =1 2,. ， ) ，则 X 服从 (0 1− ) 分布，故 E X p D X p p p q ( i i i i i i i ) = = − = , 1 ( ) ( ) ，又因为 ( ) ( ) 2 2 4 1 4 0 i i i i i i i i p q p q p q p q − = + − = − ，所以： ( ) ( ) 1 1, 2,. 4 D X p q i n i i i = = 由契比雪夫大数定理，对 o, 有 ( ) 1 1 lim 1 n i i n i p X E X n → = − = 即 1 1 lim 1 n i n i X p p n n → = − = Ⅴ. 小结与提问： 大数定理给我们的实际推断原理（小概率原理）作了理论支撑：如 p A( ) = 0.001 ，则 可理解为在 1000 次的试验中只能希望发生一次。而在概率很小的事件在一次试验中发生几 乎是不可能的。即小概率事件我们通常可以认为在一次试验中几乎不发生。但小到什么程度， 则要视其具体问题的要求而定。“万无一失”，“人无远虑，必有近忧”，“未雨缪绸”等，正 是文学上对小概率事件的描述。 Ⅵ.课外作业： P154 习题五
第二讲中心极限定理 I.授课题目（章节） S2”中心极限定理 Ⅱ.教学目的与要求： 字日极限定理求概率 Ⅲ.教学重点与难点 重点：独立同分布的中心极限定理，德莫佛一拉普拉斯定理。 难点：了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛一拉普拉斯定理（仁项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 V.讲授内容： 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成 定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X,X2,.,X。,.相互独立，服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(X:)=4,D(X)=σ2>0(k=1,2,),则随机变 量之和之X。的标准化变量 盈位含-m ② √nc 的分布函数F(x)对于任意x满足 imF.(x)im p √no 1ehh=).20 证明略。 这就是说，均值为4，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量X,X2,.,X。和 会X,的标准靴化变量。当加充分大时有 Ex. 似地=N(0,1). (2.2) 在一般情况下，很难求出n个随机变量之和∑X:的分布函数，(2.2)式表明，当n充
第二讲中心极限定理 Ⅰ.授课题目（章节） §5.2 中心极限定理 Ⅱ.教学目的与要求： 会用中心极限定理求概率 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：独立同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯定理。 难点：了解独立同分布的中心极限定理和德莫佛—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布 为极限分布)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 Ⅳ.讲授内容： 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成 的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服 从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。本节只介绍三个常用的中心极限定理。 定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量 X1， X2 ,., X n ,.相互独立，服从 同一分布，且具有数学期望和方差： ( ) , ( ) 0( 1,2, ) E Xk = D Xk = 2 k = ，则随机变 量之和 = n k X K 1 的标准化变量： n X n D X X E X Y n k k n k k n k n k k k n − = − = = = = = 1 1 1 1 的分布函数 F (x) n 对于任意 x 满足 ( ) 2 1 lim ( ) lim 1 2 2 x e dt x n X n F x p x t n k K n n n = = − = − − = → → . (2.1) 证明略。 这就是说，均值为 ，方差为 0 2 的独立同分布的随机变量 X1， X2 ,., X n 和 = n k X k 1 的标准化变量，当 n 充分大时，有 n X n k k =1 近似地=N（0，1）. （2.2） 在一般情况下，很难求出 n 个随机变量之和 = n k X k 1 的分布函数，（2.2）式表明，当 n 充
分大时，可以通过(x)给出其近似的分布。这样，就可以利用正态分布对∑X。作理论分 析或作实际计算，其好处是明显的。 将式(2.2)左端改写成”回 空。一“-，这样上送脑果可写便：当n充分大时 X二严近似地NO)或x近似地Nl.0》23) 这是独立同分布中心极限定结果的另一个形式。这就是说，均值为“，方差为σ2>0的 验立同分布的蓝机支量X,名一名.的第术平约了一之X,当川充分大时运地 服从均值为4，方差为口？的正态分布。这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。 定理二（李雅普诺夫(Liapunov)定理）设随机变量X,X2,X。,.相互独立，它 们具有数学期望和方差： EXx)=4g,DXx)=o2>0,k=1,2,., -2 者静在E数6，依得当na时产，-以0 则随机变量之和公X,的标准化变量 x-2x立x-24 Z= ②x 的分布函数F。=(x)对于任意x,满足 ==胆区g之业小-在=e0 B。 证明略。 定理二表明，在定理的条件下，随机变量
分大时，可以通过 (x) 给出其近似的分布。这样，就可以利用正态分布对 = n k X k 1 作理论分 析或作实际计算，其好处是明显的。 将式（2.2）左端改写成 n X n X n n k k − = − =1 1 ，这样，上述结果可写成：当 n 充分大时， 近似地N(0，1) n X − 或 ( ) n X N 2 近似地 ， .（2.3） 这是独立同分布中心极限定结果的另一个形式。这就是说，均值为 ，方差为 0 2 的 独立同分布的随机变量 X1， X2 ,., X n 的算术平均 = = n k X k n X 1 1 ，当 n 充分大时近似地 服从均值为 ，方差为 n 2 的正态分布。这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。 定理二（李雅普诺夫（Liapunov）定理） 设随机变量 X1， X2 ,., X n ,.相互独立，它 们具有数学期望和方差： ( ) , ( ) 0, 1,2, , E X K = K D X K = K 2 k = 记 = = n k Bn k 1 2 2 若存在正数 ，使得当 n → 时， = + + − → n k k k n E X B 1 2 2 0, 1 则随机变量之和 = n k X k 1 的标准化变量： n n k k n k k n k k n k n k k k n B X D X X E X Z = = = = = − = − = 1 1 1 1 1 的分布函数 F (x) n = 对于任意 x，满足 ( ) ( ) − − = = → → = = − = x t n n k k n k k n n n x e dt x B X F x P . 2 1 lim lim 1 1 2 2 (2.4) 证明略。 定理二表明，在定理的条件下，随机变量
2x-24 t=l B。 当n很大时，近似地服从正态分布N(0,1),由此，当n很大时，∑X=B,乙。+2山， 近似地服从正态分布N之山，时这就是说，无论各个随机变量X。化=2)服从什 么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和∑X:当n很大时，就近似地服从正态分布。 k- 这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。在很多问题中，所考 虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和，例如，在任一指定时刻，一个城市的 耗电量是大量用户耗电量的总和：一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微 小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。 下面介绍另一个中心极限定理，它是定理一的特殊情况。 定理三（棣莫弗一拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）设随机变量n,(n=l2,）服从 参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意x,有 mP2-g 5x- Lekd=dx) (2.5) np(1-p) 证：由第四章§2例6知可以将刀，分解成为n个相互独立服从同一(0-)分布的诸随机变 量X,X2,.,Xn之和，即有 %-2x, 其中X(化-1,2，.，)的分布律为 Px=i}=p0-p,i=0,1 由于E(X)=p,D(X)=p1-pk=1,2.,n),由定理-得 7。-p 民斋小-应%0 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用(2.5) 式来计算二项分布的概率。下面举几个关于中心极限定理应用的例子。 例1设X,X2,X。为相互独立的随机变量序列，且x(i=1,2),服从参数为元的泊
n n k n k k k n B X Z = = − = 1 1 当 n 很大时，近似地服从正态分布 N (0,1) ，由此，当 n 很大时， = = = + n k n n k n k X k B Z 1 1 近似地服从正态分布 = 2 1 , n n k N k B 。这就是说，无论各个随机变量 X (k =1,2, ) K 服从什 么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和 = n k X k 1 当 n 很大时，就近似地服从正态分布。 这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。在很多问题中，所考 虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和，例如，在任一指定时刻，一个城市的 耗电量是大量用户耗电量的总和；一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微 小误差所合成的，它们往往近似地服从正态分布。 下面介绍另一个中心极限定理，它是定理一的特殊情况。 定理三（棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理）设随机变量 (n =1,2, ) n 服从 参数为 n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意 x，有 ( ) ( ) − − → = = − − x t n n x e dt x np p np P 2 2 2 1 1 lim (2.5) 证：由第四章§2 例 6 知可以将 n 分解成为 n 个相互独立服从同一 (0 1− ) 分布的诸随机变 量 X1， X2 ,., X n 之和，即有 = = n k n Xk 1 , 其中 X (k n) k =1,2, , 的分布律为 (1 ) , 0,1. 1 = = − = − P X i p p i i i k 由于 E(X ) p D(X ) p( p)(k n) k k = , = 1− =1,2, , ，由定理一得 ( ) ( ) x e dt (x) np p X np x P np p np P x t n k k n n n = = − − = − − − − = → → 1 2 2 2 1 1 lim 1 lim 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当 n 充分大时，我们可以利用（2.5） 式来计算二项分布的概率。下面举几个关于中心极限定理应用的例子。 例 1 设 1 2 , ,., . X X X n 为相互独立的随机变量序列，且 x i i ( =1, 2,. ,) 服从参数为 的泊
x,-na 松分布，求1imP 的值 解将E(X,)=元，D(X)=入，(i=1,2)代入独立同分布的中心极限定理得 x,- 例2设在某中重复独立试验中，每次试验事件A发生的概率为}，问能以09997的概 率保证在1000次试验中A发生的频率与，相差多少？此时A发生的次数在哪个范围之 内？ 解设”，为n重贝努利试验中事件A发生的次数，p是在各次试验中事件A发生的概率。 则n,-b(n,p）,当n很大时，由棣莫弗一拉普拉斯定理，有n,近似服从N(p,p1-p》: 从而 B=p-小=p仰-ss+ mn器司-司 -nE ne -nE 从而由题设n=100,p=年B=0.997, 面要p-099冲的 n 查表得5p0-p P0-D-362×,025x0=00496 =362,故=3.62×m y1000 例3 一加法器同时收到20个噪声电压V(亿=1,2，.，20)，设它们是相互独立的随机变量
松分布，求 1 lim n i i n X n p x n = → − 的值。 解 将 E X D X i ( i i ) = = = , , 1, 2,. ( ) ( ) 代入独立同分布的中心极限定理得 2 1 2 1 lim 2 n i t x i n X n p x e dt n − = → − − = 例 2 设在某中重复独立试验中，每次试验事件 A 发生的概率为 1 4 ，问能以 0.9997 的概 率保证在 1000 次试验中 A 发生的频率与 1 4 相差多少？此时 A 发生的次数在哪个范围之 内？ 解 设 A n 为 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数， p 是在各次试验中事件 A 发生的概率。 则 n b n p A ( , ) ，当 n 很大时，由棣莫弗—拉普拉斯定理，有 A n 近似服从 N np np p ( , 1 , ( − )) 从而 A A n p p p np n n np n n = − = − + (111 ) ( ) ( ) A n n n np p np p np p np p − − = −−− ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 n n n np p np p p p − − = − − − − 从而由题设 1 1000, , 0.9997 4 n p = = = ， 而 要求 0.9997 . A n p p n − = 中的 由于 ( ) 2 1 0.9997 1 A n n p p n p p − = − = − ，故 ( ) 0.9999 1 n p p = − 查表得 ( ) (1 ) 0.25 0.75 3.62, 3.62 3.62 0.0496 1 1000 n p p p p n − = = = = − 故 。 例3 一加法器同时收到20个噪声电压 V (k =1,2, ,20) k ，设它们是相互独立的随机变量
且都在区间0,10)上服从均匀分布。记V=之，求P>105)的近似值. 解易知E)=5,D)=100/12(k=1,2,.20),由定理一，随机变量 2y-20x5 V-20×5 近似服从正态分布N(O,1),于是 √100/12V20V100/12√20 P{W>105}=P V-20×5 105-20×5 V-100 110/W2)N2o(10/W22o io@V2元>0.387 =1-P 00i而0381-左e为h1-10387-0348 V-100 即有 PV>105}≈0.348 例4一船帕在某海区航行，已知每造受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为， 若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500一30500次纵摇角度大于3°的概率是 多少？ 解我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90000 次波浪冲击中纵摇角度大于3°的次数记为X,则X是一个随机变量，且有X~b(9000,⅓)。 其分布律为 -自 ,k=0,1.,90000 所求的概率为 0叶-boq目旧 k-29500 要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗一拉普拉斯定理来求它的近似值。即有 P29500≤X≤3050y=P2950-里≤X-p530500-p m-pp-p√pI-p 其中n=90000,p=1/3。即有 P29500≤X≤30500}=62/2-(5V2/2)=0.9995
且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记 = = 20 k 1 V Vk ，求 P{V>105}的近似值。 解 易知 E(V ) = 5,D(V ) =100 12(k =1,2, ,20) k k ，由定理一，随机变量 100 12 20 20 5 100 12 20 20 5 20 1 − = − = = V V Z k k 近似服从正态分布 N(0,1)，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0387 2 20 5 105 20 5 100 105 0.387 10 12 20 10 12 20 10 12 20 100 1 1 0.387 1 1 0.387 0.348. 10 12 20 2 t V V P V P P V P e dt − − − − − = = − = − − = − = 即有 PV 105 0.348. 例 4 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 0 3 的概率为 1 3 p = ， 若船舶遭受了 90 000 次波浪冲击，问其中有 29 500～30 500 次纵摇角度大于 0 3 的概率是 多少？ 解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在 90 000 次波浪冲击中纵摇角度大于 0 3 的次数记为 X，则 X 是一个随机变量，且有 X～b(90 000, 3 1 )。 其分布律为 ( ) , 0,1, ,90000. 3 2 3 1 90000 90000 = = = − P X k k k k k 所求的概率为 ( ) . 3 2 3 1 29500 30500 90000 30500 29500 90000 = − = k k k k P X 要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 29500 1 30500 2 1 1 30500 1 1 29500 29500 30500 1 30500 1 29500 2 2 − − − − − = − − − − − − = − − − − − np p np np p np e dt np p np np p X np np p np P X P n p p n p n p p n p t 其中 n=90000,p=1/3。即有 P29500 X 30500 (5 2 2)−(− 5 2 / 2) = 0.9995
例5对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长， 1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议 的家长数相互独立 且服从同 布。(1)求参加会议的家长数X超过450的概率：(2)求 有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解(1)以X(k=1,2,.,400)记第k个学生来参加会议的家长数，则X的分布律为 0 12 P0.050.80.15 易知EX)=1.1DX)=0.19,k=12.40.而X=2X.由定理一，随机变量 A=l X-400×1.1 400√0.19 √4000.19 近似服从正态分布N(0,1),于是 PK>450=p-401L450-401a上A0009s147 √400√0.19 √4000.19 ≈1-1.147)=0.1357 (2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数，则Y~b(400,0.8),由定理三得 PY≤340} =Py-40x08 340-400×0.8 V400×0.8×0. ≤J400×0.8x02 =py-400x0.8 y40x08x02≤25 ≈(2.5)=0.9938. V.小结与提问： 中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布 趋于正态分布。这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么在实际应 用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。另一方面，它提供了独 立同分布随机变量之和了X。(其中X的方差存在)的近似分布，只要和式中加项的个数 充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在 应用上 有效和重要的 中心极限定理的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的。又由于它在统计中 的重要性，称它为中心极限定理，这是Polya在1920年取的名字
例 5 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长， 1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议 的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率；（2）求 有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率。 解 （1）以 X (k =1,2, ,400) k 记第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k 的分布律为 X k 0 1 2 Pk 0.05 0.8 0.15 易知 E(Xk ) =1.1,D(Xk ) = 0.19，k =1, 2,.400. 而 = = 400 k 1 X X k .由定理一，随机变量 400 0.19 400 1.1 400 0.19 400 1.1 400 1 − = − = X X k k 近似服从正态分布 N (0,1) ，于是 1 (1.147) 0.1357 1.147 400 0.19 400 1.1 1 400 0.19 450 400 1.1 400 0.19 400 1.1 450 − = − = − − − = X P X P X P （2）以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则 Y～b(400,0.8)，由定理三得 (2.5) 0.9938. 2.5 400 0.8 0.2 400 0.8 400 0.8 0.2 340 400 0.8 400 0.8 0.2 400 0.8 340 = − = − − = Y P Y P P Y Ⅴ. 小结与提问： 中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布 趋于正态分布。这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么在实际应 用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。另一方面，它提供了独 立同分布随机变量之和 = n k X k 1 （其中 X k 的方差存在）的近似分布，只要和式中加项的个数 充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在 应用上是有效和重要的。 中心极限定理 的内容包含极限，因而称它为极限定理是很自然的。又由于它在统计中 的重要性，称它为中心极限定理，这是 Polya 在 1920 年取的名字