第三讲几个重要公式事件的独立性 I授课题目 §1.5条件概率，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式 §1.6事件的独立性 Ⅱ教学目的与要求 1、理解和掌握条件概率，乘法公式、全概率公式、独立性 2、 了解贝叶斯公式 Ⅲ教学重点与难点 重点：用有关性质、定理、公式计算概率、独立性 难点：全概率公式，贝叶斯公式 V讲授内容： §】5条件概率，乘法公式 全概公式，贝叶斯公式 一条件概率 直到现在，我们对P(A)的讨论都是相对于某组确定的条件S而言的，P(A)就 是在条件组S实现之下，事件A发生的概率（为简略起，“条件组S”通常不再提及）， 除了这组基本条件“S”之外，有时我们还要提出附加的限制条件，也就是要求“在 事件B已经发生的前提下”事件A发生的概率。这就是条件概率问题。为此，先考虑 下述问题。 例1 某班有30名学生，其中20名男生，10名女生，身高1.70米以上 的有15名，其中12名男生，3名女生。 (1)任选一名学生，问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？ (2) 任选一名学生，选出来后发现是个男生，问该同学的身高在1.70 米以上的概率是多少？ 答案是很容易求出的：(1)的答案是15/30=0.5 (2)的答案是12/20=-0.6 但是，这两个问题的提法是有区别的，第二个问题是一种新的提法。“是 男生”本身也是一个随机事件，记作A,把在事件A发生（即发生是男生） 的条件下，事件B(身高1.70米以上)发生的概率是多少？我们把这种 概率叫做在事件A发生的条件下事件B的条件概率，记作P(BA),即不 同于P(AB)。 注意到P(A)=20/30,P(AB)=12/30,从而有 P(BlAD=12/20-I2/30.P4B) 20/30P(4A0
第三讲几个重要公式 事件的独立性 Ⅰ 授课题目 §1.5 条件概率，乘法公式、 全概率公式，贝叶斯公式 §1.6 事件的独立性 Ⅱ 教学目的与要求 1、 理解和掌握条件概率，乘法公式、 全概率公式、独立性 2、 了解贝叶斯公式 Ⅲ 教学重点与难点 重点：用有关性质、定理、公式计算概率、独立性 难点：全概率公式，贝叶斯公式 Ⅳ 讲授内容： §1.5 条件概率，乘法公式 全概公式，贝叶斯公式 一 条件概率 直到现在，我们对 P（A）的讨论都是相对于某组确定的条件 S 而言的，P（A）就 是在条件组 S 实现之下，事件 A 发生的概率（为简略起，“条件组 S”通常不再提及）， 除了这组基本条件“S”之外，有时我们还要提出附加的限制条件，也就是要求“在 事件 B 已经发生的前提下”事件 A 发生的概率。这就是条件概率问题。为此，先考虑 下述问题。 例1 某班有 30 名学生，其中 20 名男生，10 名女生，身高 1.70 米以上 的有 15 名，其中 12 名男生，3 名女生。 （1） 任选一名学生，问该学生的身高在 1.70 米以上的概率是多少？ （2） 任选一名学生，选出来后发现是个男生，问该同学的身高在 1.70 米以上的概率是多少？ 答案是很容易求出的；（1）的答案是 15/30=0.5 （2）的答案是 12/20=0.6 但是，这两个问题的提法是有区别的，第二个问题是一种新的提法。“是 男生”本身也是一个随机事件，记作 A，把在事件 A 发生（即发生是男生） 的条件下，事件 B（身高 1.70 米以上）发生的概率是多少？我们把这种 概率叫做在事件 A 发生的条件下事件 B 的条件概率，记作 P（B|A），即不 同于 P（AB）。 注意到 P（A）=20/30，P（AB）=12/30，从而有 P（B|A）=12/20= 20 / 30 12 / 30 = ( ) ( ) P A P AB
这个式子的直观含义是明显的，在A发生的条件下B发生当然是A发生且B发 生，即AB发生，但是，现在A发生成了前提条件，因此应该以A做为整个样本空间， 而排除A以外的样本点，因此P(BA)是P(AB)与P(A)之比。 对于古典概型，设样本空间2含有n个样本点(n个可能的试验结果)，事件A 含m个样本点(m>0),AB含r个样本点(r≤m),而事件A发生的条件下事件B发生， 即已知试验结果属于A中的m个结果的条件下，属于B中的r个结果，因而 P (BIA)-r/m r/n=P(AB) mln P(A) 下面再看一例： 例2 盒中装有16个球。其中6个是玻璃球，另外10个是木质球。而玻 璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的：，木质球中有3个是红色的 7个是蓝色的，现从中任取一个（这些就是所谓“条件组S”) 记A={取到蓝球}，B取到玻璃球}那么P(A),P(B)都是容易求得的，但 是如果已知取到的是蓝球，那么该球是玻璃球的概率是多少呢？也就是求在 事件A已发生的前提下事件B发生的概率（此概率记为P(BA)。将盒中球 的分配情况列表如下： 由古典概型的公式 玻璃 木质 (1-1)知 红 2 3 5 P(A)=11/16 蓝 4 7 11 P(B)=6/16 6 1016 P(AB)=4/16 至于P(BA),也可以用古典概型来计算，因取到的是蓝球，我们知道 蓝球共有11个而其中有4个是玻璃球，所以 P(BlA)=4/11=4/16-PAB) 11/16P(A) 定义6设A,B为随机试验E的两个事件，且P(A)>0,则称P (BIA)=P(AB) PCA 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 注意P(BA)还是在一定条件下，事件B发生的概率：只是它的条件 除原条件S外，又附加了一个条件（已发生），为区别这两者，后者就称为 条件概率。 计算条件概率P(BA)有两种方法： 方法一在样本空间2的缩减样本空间2，中计算B发生的概率，就得 P(BA)
这个式子的直观含义是明显的，在 A 发生的条件下 B 发生当然是 A 发生且 B 发 生，即 AB 发生，但是，现在 A 发生成了前提条件，因此应该以 A 做为整个样本空间， 而排除 A 以外的样本点，因此 P（B|A）是 P（AB）与 P（A）之比。 对于古典概型，设样本空间 含有 n 个样本点（n 个可能的试验结果），事件 A 含 m 个样本点（m>0），AB 含 r 个样本点（r m）,而事件 A 发生的条件下事件 B 发生， 即已知试验结果属于 A 中的 m 个结果的条件下，属于 B 中的 r 个结果，因而 P（B|A）=r/m= m n r n / / = ( ) ( ) P A P AB 下面再看一例： 例2 盒中装有 16 个球。其中 6 个是玻璃球，另外 10 个是木质球。而玻 璃球中有 2 个是红色的，4 个是蓝色的；，木质球中有 3 个是红色的， 7 个是蓝色的，现从中任取一个（这些就是所谓“条件组 S”） 记 A={取到蓝球}，B={取到玻璃球}那么 P（A），P（B）都是容易求得的，但 是如果已知取到的是蓝球，那么该球是玻璃球的概率是多少呢？也就是求在 事件 A 已发生的前提下事件 B 发生的概率（此概率记为 P（B|A））。将盒中球 的分配情况列表如下： 由古典概型的公式 （1-1）知 P（A）=11/16 P（B）=6/16 P（AB）=4/16 至于 P（B|A），也可以用古典概型来计算，因取到的是蓝球，我们知道 蓝球共有 11 个而其中有 4 个是玻璃球，所以 P（B|A）=4/11= 11/16 4 /16 = ( ) ( ) P A P AB 定义 6 设 A，B 为随机试验 E 的两个事件，且 P（A）>0，则称 P （B|A）= ( ) ( ) P A P AB 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。 注意 P（B|A）还是在一定条件下，事件 B 发生的概率：只是它的条件 除原条件 S 外，又附加了一个条件（A 已发生），为区别这两者，后者就称为 条件概率。 计算条件概率 P（B|A）有两种方法： 方法一 在样本空间 的缩减样本空间 A 中计算 B 发生的概率，就得 P（B|A）。 玻璃 木质 红 2 3 5 蓝 4 7 11 6 10 16
方法二在样本空间2中，计算P(B),P(A)然后按定义式求出P (BA)。 由条件概率的定义，易知下列性质成立。 性质1P(1A)=0 性质2P(BA)=1-P(BIA) 性质3P(B,UB2IA)=P(B,lA)P(B2IA)-P(B,B2IA) 性质4若B,CB2,则P(B,IA)≤P(B2IA) 例3盒中有五个球（三个新二个旧），每次取一个不放回地取两次，求： 第一次取到新球的概率；第一次取到新球的条件下第二次取到新球 的概率。 解设A={第一次取到新球}B={第二次取到新球) 显然P(A)=3/5 现在计算第二个问题，当事件A发生后，由于不放回抽取，故盒中只 有四个球（二新二旧），于是 P(B|A)=2/41/2 再让我们在原样本空间中计算P(AB),它可用古典概率来解，事件AB 表示第一次和第二次都抽到新球，由于抽取是不放回的，所以每次抽取一个 连抽两次与一次抽取二个是一样的，因而 P(AB)=C:/C:=3/10 于是P(B|A)=P(AB)/P(A)=(3/10)/(3/5)=1/2 例4设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活 到25岁以上的概率为0.4，如果一只动物现在已经20岁，问它能活到25岁的概率 为多少？ 解设A={活到20岁}，B={活到25岁}，则
方法二 在样本空间 中，计算 P（AB），P（A）然后按定义式求出 P （B|A）。 由条件概率的定义，易知下列性质成立。 性质 1 P（ | A ）=0 性质 2 P（B|A）=1-P（ − B |A） 性质 3 P（ B1 B2 |A）=P（ B1 |A）+P（ B2 |A）-P（ B1 B2 |A） 性质 4 若 B1 B2 ，则 P（ B1 |A） P（ B2 |A） 例3 盒中有五个球（三个新二个旧），每次取一个不放回地取两次，求： 第一次取到新球的概率；第一次取到新球的条件下第二次取到新球 的概率。 解 设 A={第一次取到新球} B={第二次取到新球} 显然 P（A）=3/5 现在计算第二个问题，当事件 A 发生后，由于不放回抽取，故盒中只 有四个球（二新二旧），于是 P（B|A）=2/4=1/2 再让我们在原样本空间中计算 P（AB），它可用古典概率来解，事件 AB 表示第一次和第二次都抽到新球，由于抽取是不放回的，所以每次抽取一个 连抽两次与 一次抽取二个是一样的，因而 P（AB）=C 2 3 / C 2 5 =3/10 于是 P（B|A）=P（AB）/P（A）=（3/10）/（3/5）=1/2 例4 设某种动物由出生算起活到 20 岁以上的概率为 0.8，活 到 25 岁以上的概率为 0.4，如果一只动物现在已经 20 岁，问它能活到 25 岁的概率 为多少？ 解 设 A={活到 20 岁}，B={活到 25 岁}，则
P(A)=0.8,P(B)=0.4 因为BcA,所以P(AB)=P(B)=0.4 由公式(1-5)，我们有 P(B/A)=P(AB)/P(A)=0.4/0.8=-0.5 二乘法公式 条件概率说明P(A),P(B),P(BA)三个量之间的关系，由条件概率的 定义(1-5)立即得到下述定理： 定理1（乘法公式）对于任意的事件A,B,若 P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(BA) (1-6) 同样，若P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(AB) (1-7) 上面两个式子都称为概率的乘法公式。 乘法公式可以推广到多(n)个事件的情形。 推论设A1,A2,.,An是n个事件，满足 P (A A2.An)=P (A)P (A2A P (A3 |AIA2 ) P(An|AA2.An-1) (1-8) 特别当n=3时，对于三个事件A,B,C,若P(AB)>0则有 P (ABC)=P (A)P (BA)P (C AB) 例5设50件产品中有5件为次品，每次抽一件，不放回地抽取3件，Ai表示第1 次抽到次品(i=1,2,3),求P(A,),P(A,A2) P(A,AA3)
P（A）=0.8，P（B）=0.4 因为 B A，所以 P（AB）=P（B）=0.4 由公式（1-5），我们有 P（B/A）=P（AB）/P（A）=0.4/0.8=0.5 二 乘法公式 条件概率说明 P（A），P（AB），P（B|A）三个量之间的关系，由条件概率的 定义（1-5）立即得到下述定理： 定理 1 （乘法公式） 对于任意的事件 A，B，若 P（A）>0，则有 P（AB）=P（A）P（B|A） （1-6） 同样，若 P（B）>0,则有 P（AB）=P（B）P（A|B） （1-7） 上面两个式子都称为概率的乘法公式。 乘法公式可以推广到多（n）个事件的情形。 推论 设 A 1，A 2 ，.，A n 是 n 个事件，满足 P（A 1 A 2 .A n ）=P（A 1 ）P（A 2 |A 1 ）P（A 3 |A 1 A 2 ）. P（A n | A 1 A 2 .A n -1 ） (1-8) 特别当 n=3 时，对于三个事件 A，B，C，若 P（AB）>0 则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB） 例 5 设 50 件产品中有 5 件为次品，每次抽一件，不放回地抽取 3 件，A i 表示第 i 次抽到次品（i=1，2，3），求 P（A 1 ），P（A 1 A 2 ） P（A 1 −− A2 A 3 ）
解依题意及乘法公式得 P(A,)=5/50P(A,A2)=P(A,)P(A2|A)=(5/50)(4/49)=0.0082 P(A1A2A3)=P(A1)P(A,IA)P(A3|A1A,)=(5/50)(45/49)(4/48)=0.0077 例6今有3个布袋，2个红布袋，1个绿布袋，再个红布袋中个装60个 红球40个绿球，在绿布袋中装了30个红球和50个绿球，现在任取1袋，从中任取 1球，问是红布袋中红球的概率为多少？ 解设{取红袋，B={取红球)。我们要求的是A和B同时发生的概率，即P (AB)。显然P(A)=2/3,P(BlA)是在取红袋的条件下取到红球的概率，也就是在 红袋里取到红球的概率应为60/100=3/5，即P(BlA)=3/5,由乘法公式，得到 P(AB)=P(A)P(BlA)=(2/3)×(3/5)=2/5 例7今有一张电影票，5个人都想要，他们用抓阄的办法分这张票，试证明每 人得电影票的概率都是1/5。 证设第i次抓阄的人为第i个人，设 Ai={第i个人抓到‘有’}，i1,2,3,4,5. (1)显然P(A,)=1/5 (2)第二个人抓到‘有’的必要条件是第一个人抓到‘无'，所以A2= AA2 因而P(A2)=P(A,A2)=P(A)P(A2|A)=(4/5)(1/4)=1/5 其中P(A2|A)是在A发生的条件下A2的概率，即在第一个人没有抓到的条件 下第二个人抓到的概率，此时只剩峡个阉，其中有一个是有'，故P(A2|A)=1/4 (3)类似地，A3=AA2A3
解 依题意及乘法公式得 P（A 1 ）=5/50 P（A 1 A 2 ）=P（A 1 ）P（A 2 |A 1 ）=（5/50）（4/49）=0.0082 P（A 1 −− A2 A 3 ）=P（A 1 ）P（ −− A2 |A 1 ）P（A 3 | A 1 −− A2 ）=（5/50）（45/49）（4/48）=0.0077 例 6 今有 3 个布袋，2 个红布袋，1 个绿布袋，再个红布袋中个装 60 个 红球 40 个绿球，在绿布袋中装了 30 个红球和 50 个绿球，现在任取 1 袋，从中任取 1 球，问是红布袋中红球的概率为多少？ 解 设 A={取红袋}，B={取红球}。我们要求的是 A 和 B 同时发生的概率，即 P （AB）。显然 P（A）=2/3，P（B|A）是在取红袋的条件下取到红球的概率，也就是在 红袋里取到红球的概率应为 60/100=3/5，即 P（B|A）=3/5，由乘法公式，得到 P（AB）=P（A）P（B|A）=（2/3） （3/5）=2/5 例 7 今有一张电影票，5 个人都想要，他们用抓阄的办法分这张票，试证明每 人得电影票的概率都是 1/5。 证 设第 i 次抓阄的人为第 i 个人，设 A i ={第 i 个人抓到‘有’}，i=1,2,3,4,5. （1） 显然 P（A 1 ）=1/5 （2） 第二个人抓到‘有’的必要条件是第一个人抓到‘无’，所以 A 2 = −− A1 A 2 因而 P（A 2 ）=P（ −− A1 A 2 ）=P（ −− A1 ）P（A 2 | −− A1 ）=（4/5）（1/4）=1/5 其中 P（A 2 | −− A1 ）是在 −− A1 发生的条件下 A 2 的概率，即在第一个人没有抓到的条件 下第二个人抓到的概率，此时只剩峡个阄，其中有一个是‘有’，故 P（A 2 | −− A1 ）=1/4 （3） 类似地，A 3= −− A1 −− A2 A 3
所以 P(A3)()P (A)P (A31)= (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 (4)同样地A4=AA2A,A4 所以P(A4)P(AA2A,A4) =P (A)P(44)P(A144)P(A4144) =(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)=1/5 (5)P(A5)=P(AAA,A4A5)=(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)=1/5 此例可推广到n个人抓阄分物的情况，n个阄，其中有一个‘有'，n-1个‘无'， n个人排队抓阉，每人抓到‘有‘的概率都是1m. 若n个阄中，有m(m<n)个‘有’，nm个‘无'，则每个人抓到‘有'的概率都 是m/n. 由此例说明：对于抽签（抓阉）问题，不分先后。概率都一样，不必争先恐 后。 例8设100件产品中有5件是不合格品，用下列两种方法抽取两件， 求两件都是合格品的概率： (1)不放回顺序抽取 (2)放回顺序抽取 解设A={第一次取得是合格品} B={第二次取得是合格品} 我们的问题是求P(AB) (1)由题设，不放回抽取时
所以 P（A 3 ）=P（ −− A1 ）P（ −− A2 | −− A1 ）P（A 3 | −− A1 −− A2 ）= （4/5）（3/4）（1/3）=1/5 （4） 同样地 A 4 = −− A1 −− A2 −− A3 A 4 所以 P（A 4 ）=P（ −− A1 −− A2 −− A3 A 4 ） =P（ −− A1 ）P（ −− A2 | −− A1 ）P（ −− A3 | −− A1 −− A2 ）P（A 4 | −− A1 −− A2 −− A3 ） =（4/5）（3/4）（2/3）（1/2）=1/5 （5） P（A 5 ）= P（ −− A1 −− A2 −− A3 −− A4 A 5 ）= （4/5）（3/4）（2/3）（1/2）=1/5 此例可推广到 n 个人抓阄分物的情况，n 个阄，其中有一个‘有’，n-1 个‘无’， n 个人排队抓阄，每人抓到‘有‘的概率都是 1/n. 若 n 个阄中，有 m(m<n)个‘有’，n-m 个‘无’，则每个人抓到‘有’的概率都 是 m/n. 由此例说明：对于抽签（抓阄）问题，不分先后。概率都一样，不必争先恐 后。 例8 设 100 件产品中有 5 件是不合格品，用下列两种方法抽取两件， 求两件都是合格品的概率： （1） 不放回顺序抽取 （2） 放回顺序抽取 解 设 A={第一次取得是合格品} B={第二次取得是合格品} 我们的问题是求 P（AB） （1） 由题设 ，不放回抽取时
P(A)=95/100,P(BlA)=94/99 由乘法公式算得 P(AB)=P(A)P(B1A)=(95/100)×(94/99)=0.9 (2)由题设用放回抽取时， P(A)=95/100,P(BlA)=95/100 由乘法公式算得 P(AB)=P(A)P(BlA)=(95/100)×(95/100)=0.9025 在(2)的假设下，我们可以求得P(B)=95/100,它等于P(BlA),即P(B) =P(BA)。它说明事件A发生与否不影响事件B发生的概率。这结论从(2)的假设 可以直接看到，因为此时第二次抽取时的条件与第一次抽取时完全相同，即第一次抽 取的结果，完全不影响第二次抽取。 一个事件的发生与否，不影响另一事件发生可能性的大小（即两个事件之间有 某种“独立性”)这一性质，在概率论里是需要进一步研究的，这一点我们将在§1。 4中讨论。 三全概公式 为了求比较复杂事件的概率，经常把它分解为若干个互不相容的简单事件之 和，通过分别计算这些简单事件的概率，再应用概率的加法公式与乘法公式求得所需 结果，这是概率论中颇为有用的一种方法，先看下面的例子。 例9设有产品一盒共10只，其中有3只次品，从中取二次，每次取一 只，作不放回抽取，求第二次取到的是次品的概率。 解设A={第一次取到次品} B={第二次取到次品} 因为B=BQB(AUA)=ABU A B又(AB)(AB)=P 所以P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)
P（A）=95/100，P（B|A）=94/99 由乘法公式算得 P（AB）=P（A）P（B|A）=（95/100） （94/99）=0.9 （2） 由题设 用放回抽取时， P（A）=95/100，P（B|A）=95/100 由乘法公式算得 P（AB）=P（A）P（B|A）=（95/100） （95/100）=0.9025 在（2）的假设下，我们可以求得 P（B）=95/100，它 等于 P（B|A），即 P（B） =P（B|A）。它说明事件 A 发生与否不影响事件 B 发生的概率。这结论从（2）的假设 可以直接看到，因为此时第二次抽取时的条件与第一次抽取时完全相同，即第一次抽 取的结果，完全不影响第二次抽取。 一个事件的发生与否，不影响另一事件发生可能性的大小（即两个事件之间有 某种“独立性”）这一性质，在概率论里是需要进一步研究的，这一点我们将在§1。 4 中讨论。 三 全概公式 为了求比较复杂事件的概率，经常把它分解为若干个互不相容的简单事件之 和，通过分别计算这些简单事件的概率，再应用概率的加法公式与乘法公式求得所需 结果，这是概率论中颇为有用的一种方法，先看下面的例子。 例9 设有产品一盒共 10 只，其中有 3 只次品，从中取二次，每次取一 只，作不放回抽取，求第二次取到的是次品的概率。 解 设 A={第一次取到次品} B={第二次取到次品} 因为 B=B =B（A −− A ）=AB −− A B 又 （AB）（ −− A B）= 所以 P（B）=P（AB）+P（ −− A B）=P（A）P（B|A）+P（ −− A ）P（B| −− A ）
由于P(A)=3/10,P(BA)=2/9,P(A)=7/10,P(B|A)=3/9 故P(B)=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10 从例9看出，它是将复杂事件B分解成两个互不相容的简单事件之和，而这两 个简单事件的概率利用乘法公式是能计算出来的。最后再利用加法公式就可得到所求 的结果，把这一想法一般化就得到全概率公式，为此，首先介绍样本空间的划分定义。 定义6设2为随机试验E的样本空间，B1,B2,·,B. 为E的一组事件，若 1B.UB,=p(i≠j) 2 BUB2 U.U B.= 则称B1,B,.,B。为样本空间2的一个划分。 若事件组B1,B2,.,Bn是2的一个划分，且P(B,)>0,事件组B1 B2,.,B。叫做完备事件组。 比如，E:掷一颗塞子，样本空间2={1,2,3,4,5,6}则B1={1,2}, B2=3},B,=4,5,6}就是2的一个划分，又如例9中的A和A也是Q的一个 划分。 若B，B2,.,B.是2的一个划分，那么，做一次试验E,事件B, B2,.,B。中必有一个且仅有一个发生。 定理2（全概公式)设试验E的样本空间为2，B,B2,Bn为2
由于 P（A）=3/10，P（B|A）=2/9，P（ −− A ）=7/10，P（B| −− A ）=3/9 故 P（B）=（3/10）（2/9）+（7/10）（3/9）=3/10 从例 9 看出，它是将复杂事件 B 分解成两个互不相容的简单事件之和，而这两 个简单事件的概率利用乘法公式是能计算出来的。最后再利用加法公式就可得到所求 的结果，把这一想法一般化就得到全概率公式，为此，首先介绍样本空间的划分定义。 定义 6 设 为随机试验 E 的样本空间， B1，B2 ，.，Bn 为 E 的一组事件，若 1 Bi ∪ Bj = （i≠j） 2 B1 ∪ B2 ∪.∪ Bn = 则称 B1， B2 ，.， Bn 为样本空间 的一个划分。 若事件组 B1，B2 ，.， Bn 是 的一个划分，且 P（ B1 ）>0,事件组 B1 ， B2 ，.， Bn 叫做完备事件组。 比如，E：掷一颗塞子，样本空间 ={1，2，3，4，5，6}则 B1 ={1，2}， B2 ={3}，B3 ={4，5，6}就是 的一个划分，又如例 9 中的 A 和 −− A 也是 的一个 划分。 若 B1，B2 ，.， Bn 是 的一个划分，那么，做一次试验 E，事件 B1 ， B2 ，.， Bn 中必有一个且仅有一个发生。 定理 2 （全概公式）设试验 E 的样本空间为 ，B1 ，B2 ，.， Bn 为
的一个划分，且P(B)>(i=1,2,)则对E的任一事件A,有P(A)=P(B) P(AI B )+P(B:)P(Al B:)+(B )P (AI B)=P(B)P(1B (1-) 全概公式是计算概率的一个很有用的公式，它是把一些复杂的事件转化为一组 简单事件之和去求概率，能否转化的关键是找到B,B2,B。且有AcB,U B2UUB。,即 A=AB,UAB,UAB,U.UAB 然后用一次加法公式及乘法公式机可。如何找B,B2.,Bn要具体问题具体分 析。现提出点供参考： B,B,Bn可看成导致A发生的一组原因。如A是次品，必是n个车间生产 了次品：A是某种疾病，必是几种病因导致A发生：A表示被击中，必有几种方式或 几个人打中。下面再举一些例题，如何运用全概公式去计算概率。 例10设有一箱同类型的产品是三家工厂所生产的。已知其中有1/2的产品是 第一家工厂所生产的，其他二厂各生产1/4，又如第一、二厂生产的有2%是次品，第 三家工厂生产的有4%是次品。现从此箱中任取一个产品，问拿到的是次品的概率是 多少？ 解从此箱中任取一个产品，必然是这三个厂中某一个厂的产品，设 A={取到产品是次品} B,={取到产品属于第i家厂}(i=1,2,3) 由于B,B,(i≠j)且B,UB2UB,=2,所以B,B2,B,是2的一个划分。又 P(B,)=1/2,P(B2)=1/4P(B,)=1/4 P(A|B,)=2/100,P(A|B2)=2/100 P(A|B,)=4/100 由全概公式得： P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2)+P(B,)P(AB,)=(1/2)·(2/100)
的一个划分，且 P（ Bi ）>(i=1,2,.,n)则对 E 的任一事件 A，有 P（A）=P（ B1 ） P（A| B1 ）+P（ B2 ）P（A| B2 ）+.+P（ Bn ）P（A| Bn ）== n i P Bi P A Bi 1 ( ) ( | ) (1-9） 全概公式是计算概率的一个很有用的公式，它是把一些复杂的事件转化为一组 简单事件之和去求概率，能否转化的关键是找到 B1，B2 ，.，Bn 且有 A B1 ∪ B2 ∪.∪ Bn ，即 A=AB 1 AB 2 AB 3 . AB n 然后用一次加法公式及乘法公式机可。如何找 B 1，B 2 .，B n 要具体问题具体分 析。现提出点供参考： B 1，B 2 .，B n 可看成导致 A 发生的一组原因。如 A 是次品，必是 n 个车间生产 了次品；A 是某种疾病，必是几种病因导致 A 发生；A 表示被击中，必有几种方式或 几个人打中。下面再举一些例题，如何运用全概公式去计算概率。 例 10 设有一箱同类型的产品是三家工厂所生产的。已知其中有 1/2 的产品是 第一家工厂所生产的，其他二厂各生产 1/4，又如第一、二厂生产的有 2%是次品，第 三家工厂生产的有 4%是次品。现从此箱中任取一个产品，问拿到的是次品的概率是 多少？ 解 从此箱中任取一个产品，必然是这三个厂中某一个厂的产品，设 A={取到产品是次品} B 1 ={取到产品属于第 i 家厂} (i=1，2，3) 由于 B I B J =¢（i≠j）且 B 1 B 2 B 3 = ，所以 B 1，B 2 ，B 3 ，是 的一个划分。又 P（B 1 ）=1/2， P(B 2 ) =1/4 P(B 3 )=1/4 P(A| B 1 )=2/100, P(A| B 2 )=2/100 P(A| B 3 )=4/100 由全概公式得： P（A）=P（B 1 ）P（A| B 1 ）+P（B 2 ）P（A| B 2 ）+P（B 3 ）P（A| B 3 ） =（1/2）·（2/100）
+(1/4)·(2/100)+(1/4)·(4/100)=0.025 例11某厂有甲乙丙三台机床进行生产，各自的次品率分别为5%，4%，2%：它们各 自的产品分别占总产量的25%，35%，40%。将它们的产品混在一起，求任取一个产品 是次品的概率。 解分析一一总产品由各机床产品组成，总次品也来自各机床。注意解题的设 法。 设B,B2,B,分别是三个机床的产品，A表示次品，则有 AC B,UB,UB 且B,B,=￠(1≠j,i,j问l,2,3)满足全概率公式，根据题意得 P(B)=0.25,P(B2)=0.35,P(B3)=-0.40 P(A|B,)=0.05,P(AB2)=0.04,P(B,)=0.02 A=A (B,UB,UB3 =AB,UAB,UAB 依全概率公式得 P(A)=P (B)P (AI B)+P (B2 P (A|B2 +P (B)P (Al B3) =0.25×0.05+0.04×0.35+0.02×0.40 =0.0345 例12甲箱中有5个正品和三个次品，乙箱中有4个正品和3个次品，从甲箱中任 取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取1个产品，求这个产品是正品的概率。 解设A={从乙箱中取得正品}，则关于事件A有四种不同假设： B,={从甲箱中取出的3个产品都是正品) B2={从甲箱中取出的是2个正品和1个次品} B,={从甲箱中取出的是1个正品和2个次品 B,={从甲箱中取出的3个产品都是次品) 易知 pB）-S=1001 C56
+（1/4）·（2/100）+（1/4）·（4/100）=0.025 例 11 某厂有甲乙丙三台机床进行生产，各自的次品率分别为 5%，4%，2%；它们各 自的产品分别占总产量的 25%，35%，40%。将它们的产品混在一起，求任取一个产品 是次品的概率。 解 分析——总产品由各机床产品组成，总次品也来自各机床。注意解题的设 法。 设 B 1，B 2 ，B 3 分别是三个机床的产品，A 表示次品，则有 A B 1 B 2 B 3 且 B i B j =¢（i≠j，i，j=1，2，3）满足全概率公式，根据题意得 P（B 1 ）=0.25，P（B 2 ）=0.35，P（B 3 ）=0.40 P（A|B 1 ）=0.05，P（A|B 2 ）=0.04，P（A|B 3 ）=0.02 故 A=A（B 1 B 2 B 3 ）=AB 1 AB 2 AB 3 依全概率公式得 P（A）= P（B 1 ）P（A| B 1 ）+P（B 2 ）P（A| B 2 ）+P（B 3 ）P（A| B 3 ） =0.25×0.05＋0.04×0.35＋0.02×0.40 =0.0345 例 12 甲箱中有 5 个正品和三个次品，乙箱中有 4 个正品和 3 个次品，从甲箱中任 取 3 个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取 1 个产品，求这个产品是正品的概率。 解 设 A={从乙箱中取得正品}，则关于事件 A 有四种不同假设： B 1 ={从甲箱中取出的 3 个产品都是正品} B 2 ={从甲箱中取出的是 2 个正品和 1 个次品} B 3 ={从甲箱中取出的是 1 个正品和 2 个次品} B 4 ={从甲箱中取出的 3 个产品都是次品} 易知 P（B 1 ）= C C 3 8 3 5 = 56 10 =0.1786