第七章参数估计 §7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 正态总体均值和方差的区间估计 §7.5 0一1分布参数的区间估计 §7.6」 单侧置信区间 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 正态总体均值和方差的区间估计 §7.5 0－1分布参数的区间估计 §7.6 单侧置信区间
7.1点估计 一、矩估计法 二、极大似然估计法 2024年8月27日星期二 3 目录 、上页 下页返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 7.1 点估计 一、矩估计法 二、极大似然估计法
设总体X的分布函数为F(x,),其中O为未知参数， X,X2,.,Xn为总体X的一个样本，x,x2,.,xn是相应 的一个样本观测值，点估计问题就是要构造一个适当的 统计量(X,X2,.,Xn)作为未知参数0的估计量 (estimator),用它的观测值(x,x2,·,x,)作为未知参 数的近似值，我们称(X,X2,.,Xn)为0的估计量，称 (x,x,.,xn)为0的估计值(estimate).显然，估计量 是一个统计量，估计值是这个统计量的一次具体取值， 对不同的样本观测值，估计值一般是不同的.在不致引 起误解的情况下，估计量与估计值统称为估计 (estimation),简记为0，它们的具体含义可从上下文 进行区别. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 设总体 X 的分布函数为 F x( , ) ，其中 为未知参数， 1 2 , , , X X Xn 为总体 X 的一个样本， 1 2 , , , n x x x 是相应 的一个样本观测值，点估计问题就是要构造一个适当的 统计量 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n 作为未知参数 的 估计量 (estimator)，用它的观测值 1 2 ˆ ( , , , ) n x x x 作为未知参 数的近似值，我们称 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n 为 的估计量，称 1 2 ˆ ( , , , ) n x x x 为 的估计值(estimate)．显然，估计量 是一个统计量，估计值是这个统计量的一次具体取值， 对不同的样本观测值，估计值一般是不同的．在不致引 起 误 解 的 情 况 下 ， 估 计 量 与 估 计 值 统 称 为 估 计 (estimation)，简记为 ˆ ，它们的具体含义可从上下文 进行区别．
【例1】在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X 是一个随机变量，假设它服从参数为入>0的泊松分布， 其中入未知.现根据以下的样本观测值，试估计参数入. 着火次数k 0 2 3 5 6 发生k次着火的天数n 75 90 54 22 6 2 0 ∑=250 解由于X~P(2),故有入=EX.自然想到可用样本均值 来估计总体的均值EX.现由已知数据计算得到 ∑a x= k=0 1「0×75+1×90+2×54+ ∑n 2503×2+4x6+5×2+6×1 122 k= 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 1】 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数 X 是一个随机变量，假设它服从参数为 0的泊松分布， 其中 未知．现根据以下的样本观测值，试估计参数 ． 着火次数 k 0 1 2 3 4 5 6 ≥ 7 发生 k 次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 0 ∑＝250 解 由于 X P ~ ( ) ，故有 = EX ．自然想到可用样本均值 来估计总体的均值 EX ．现由已知数据计算得到 6 0 6 0 k k k k kn x n = = = 1 0 75 1 90 2 54 1.22. 250 3 22 4 6 5 2 6 1 + + + = = + + +
在例1中，我们用样本均值来估计总体均值.即 有估计量 充=Ex=1X,n=250, n k=0 估计值 充=X=1∑x=122. n k=0 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 在例 1 中，我们用样本均值来估计总体均值．即 有估计量 0 1 ˆ n k k EX X n = = = ，n = 250， 估计值 0 1 ˆ 1.22 n k k EX x n = = = = ．
一、矩估计法 矩估计法是一种经典的估计方法，它是由英国统计学 家K.Pearson在上世纪初提出.其基本思路是：用样本 矩及其函数估计相应的总体矩及其函数. 具体做法如下： 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x8,8,.,9),或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p(x;日，O2,.,0),其中0,02，.，0为待估参 数，Y,X2,.,Xn是来自总体X的样本. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 一、矩估计法 矩估计法是一种经典的估计方法，它是由英国统计学 家 K．Pearson 在上世纪初提出．其基本思路是：用样本 矩及其函数估计相应的总体矩及其函数． 具体做法如下： 设 X 为 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为 1 2 ( ; , , , ) k f x ，或 X 为离散型随机变量，其分布律为 P X x p x = = ( ; , , , 1 2 k )，其中 1 2 , , , k 为待估参 数， 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的样本．
假设总体X的前k阶矩 4=E(X')=xfx,0,0)d(X为连续型) 或4=E(X)=∑xp(x0,0,.,0)(X为离散型) x∈R (其中Rx是X可能取值的范围，1=1,2，.，k)存在，一 般来说，它们是0,0，.，0，的函数. 由于样本矩 4, 12x 依概率收敛于相应的总体矩4，（1=1,2，.，k),样本矩的 连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数。 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 假设总体 X 的前 k 阶矩 1 2 ( ) ( ; , , , )d l l l k E X x f x x − = = ( X 为连续型) 或 ( ) ; , , , ( 1 2 ) X l l l k x R E X x p x = = ( X 为离散型) (其 中 RX 是 X 可能取值的范围， l k =1,2, , )存在，一 般来说，它们是 1 2 , , , k 的函数． 由于样本矩 1 1 n l l i i A X n = = 依概率收敛于相应的总体矩 l (l k =1,2, , )，样本矩的 连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数
4(0,02,.,0)=A, 0=0(X1,X2,.,Xn) 4(8,8,.,0)=A, 02=0(X,X,.,Xn月 (0,02,.,0)=A 0=0(X,X2,.,Xn) 以 0=0,(X,X2,.,Xn),i=1,2,.k, 分别作为参数0，i=1,2,.k的估计量，这种估计量称 为矩估计量(moment estimator).矩估计量的观察值称 为矩估计值(moment estimates). 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k k k k k A A A = = = 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ). n n k k n X X X X X X X X X = = = 以 1 2 ˆ ( , , , ) i i n = X X X ，i k =1,2, , 分别作为参数i ，i k =1,2, 的估计量，这种估计量称 为矩估计量(moment estimator)．矩估计量的观察值称 为矩估计值(moment estimates)．
在作矩估计时，也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组，有时还可以混合使用原点矩和中心矩以建立 关于未知参数的方程组.例如，可以建立如下方程组 41(0,02,.,0)=A, 41(8,02,.,9e)=B, 42(0,02,.,0)=B2, 或 4(0,02,.,0)=A, ·: 41(0,02,.,0)=B+1, 4(0,O2,.,0)=Bx 44(01,02,.,0)=B 等.其中，B=2(X,-),k=2,3.为样本k阶中心 矩.可见矩估计量是不唯一的. 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 在作矩估计时，也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组，有时还可以混合使用原点矩和中心矩以建立 关于未知参数的方程组．例如， 可以建立如下方程组 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k k k k k B B B = = = 或 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k i k i i k i k k k A A B B + + = = = = 等．其中， ( ) 1 1 , 2,3, n k k i i B X X k n = = − = 为样本k 阶中心 矩． 可见矩估计量是不唯一的．
【例2】设总体X服从参数为几的泊松分布，求参数1 的矩估计量. 解由于入=EX=DX,易知 -或月=∑(X,-X)=B. 易见，同一个参数的矩估计量不唯一 2024年8月27日星期二 11 目录>Q上页 下页→返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 【例 2】 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，求参数 的矩估计量． 解 由于 = = EX DX ，易知 ˆ = X 或 2 2 1 1 ˆ ( ) n i i X X B n = = − = ． 易见， 同一个参数的矩估计量不唯一．