第四章随机变量的数字特征 问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数 外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。 例如： >在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量 >在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长 度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。 >考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。 2024年8月27日星期二 2 目录 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 第四章 随机变量的数字特征 问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数 外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。 ➢考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。 例如： ➢在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量 ➢在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长 度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度
第一节数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、数学期望的性质 2024年8月27日星期二 3 目录 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 第一节 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、数学期望的性质
引例射击问题 设某射击手在同样的条 件下，瞄准靶子相继射击90次， (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数k 0 2 3 4 5 命中次数n 2 13 1510 20 30 频率% 2 1315 10 20 30 n 90 9090 90 90 90 试问：该射手每次射击平均命中靶多少环？ 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 引例 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 0 1 2 3 4 5 2 13 15 10 20 30 90 15 90 13 90 2 90 20 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 频率 nk n nk
解 平均射中环数= 射中靶的总环数 射击次数 0×2+1×13+2×15+3×10+4×20+5×30 90 2 13 10 20 =0× +1× 15 +2× +3× +4× 90 90 90 90 90 30 +5x 90 k. =3.37. k=0 n 设射手命中的环数为随机变量Y. 2024年8月27日星期二 目录 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 + = + + + + = 3.37. = = 5 k 0 k n n k 设射手命中的环数为随机变量 Y
平均射中环数 k=0 n 随机波动 频率随机波动 “平均射中环数”的稳定值？ n→o ∑kPg k=0 k= 随机波动 稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 = = 5 k 0 k n n 平均射中环数 k 频率随机波动 随机波动 = 5 k 0 k n n k n → = 5 k 0 k pk 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 = ? “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p,i=1,2,. 若级数∑xP,绝对收敛，则称级数∑xP,为X的数学期望， 记为E(X).即 E()-2n 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y的数学期 望 E(Y)= 0×P0+1×P1+2×P2+3×P3+4×P4+5×p5 2024年8月27日星期二 7 目录>上页 下页 返回」
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 = = = , 1,2,. P X x p i i i 若级数 绝对收敛， 1 i i i x p = 则称级数 为X的数学期望， 1 i i i x p = 记为E(X). 即 1 ( ) i i i E X x p = = 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期 望 0 1 2 3 4 5 . ( ) p0 p1 p2 p3 p4 p5 E Y + + + + + =
关于定义的几点说明 (1)EX)是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现 了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称 均值. (2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变. (3)随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变
X 12 假设 0.02 0.98 随机变量X的算术平均值为 1+ 2 2=1.5, E(X)=1×0.02+2×0.98=1.98. 0 它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值 当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等. 2024年8月27日星期二 目录今 上页> 下页 。返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 x O • 随机变量 X 的算术平均值为 1.5, 2 1 2 = + 假设 E(X) = 1 0.02 + 2 0.98= 1.98. 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. • 1 • 2 • • X 1 2 p 0.02 0.98
例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：(1)每个人的血分别化验，须验次； (2)把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k十1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2)可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 解：设q=1-p,则k个人的混合血呈阳性的概率为1-gk。 对于方法(2)，每个人的血需化验的次数X是随机变 量，其分布律为： 1 k+1 X n9+4'X1-9 20240年637阳星期9 =1-g+ 10 目录 (上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次； （2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-q k 。 对于方法（2），每个人的血需化验的次数X是随机变 量，其分布律为： k q q k k q k E X k k k 1 1 )(1 ) 1 ( 1 ( ) = − + − + = + k k P q q k k k X − + 1 1 1
例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1)每个人的血分别化验，须验N次： (2)把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k十1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2)可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 因此，只要选择k,使1-q+<,则可减少验血次数。 关于最佳k的选择： 求：min1-+2 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 关于最佳k的选择： 因此，只要选择 ，使： 1，则可减少验血次数。 1 k 1− + k q k 1 min(1 ) k k q k 求： − + 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次； （2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当