第五章大数定律和中心极限定理 §5.1大数定律 §5.2中心极限定理 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页> 下页 、返回
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§5,2中心极限定理 2024年8月27日星期二 3 目录○ 、上页 、下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 §5.2 中心极限定理
中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分 和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数 理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变 量近似服从正态分布的条件。 中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，有 广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象 受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素 所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从 正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一 现象。 2024年8月27日星期二 4 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 中心极限定理 是概率论中讨论随机变量序列部分 和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数 理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变 量近似服从正态分布的条件。 中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，有 广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象 受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素 所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从 正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一 现象
例如，自动机床加工零件时所产生的误差受温度、 湿度等等随机因素的影响，其中每个因素的影响都独立 地作用在零件上，引起均匀微小的误差，现在需要考虑 的是所有这些影响的总和，将对零件产生什么样的效 果.换句话说，如果假设各随机的影响为X,X2,.,X, 那么总的影响为Yn=X1+X2++Xn,问题是要研究当 →oo时，随机变量Y,的极限分布.一般而言，这种随 机变量往往服从或近似地服从正态分布，这就是中心极 限定理研究的实际背景. 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 例如，自动机床加工零件时所产生的误差受温度、 湿度等等随机因素的影响，其中每个因素的影响都独立 地作用在零件上，引起均匀微小的误差，现在需要考虑 的是所有这些影响的总和，将对零件产生什么样的效 果．换句话说，如果假设各随机的影响为 1 2 , , , X X X n ， 那么总的影响为Y X X X n n = + + + 1 2 ，问题是要研究当 n → 时，随机变量Y n 的极限分布．一般而言，这种随 机变量往往服从或近似地服从正态分布，这就是中心极 限定理研究的实际背景．
最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事 件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后， A.德莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概 率为1/2的情况进行了讨论，随后，卫.-S.拉普拉斯和 AM李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.列维在 1919~1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极 限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极 限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要 内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比 较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概 率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限 理论问题也在实际中不断产生。 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 最早 的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事 件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后， A.德莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概 率为1／2的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和 A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.列维在 1919～1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极 限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极 限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要 内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比 较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概 率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限 理论问题也在实际中不断产生
定理4[独立同分布的林德伯格一列维(Lindeberg-Levy 中心极限定理]设随机变量X,X2,.相互独立，且服从 同一分布，记 EX,=4,DX,=o2≠0，i=1,2,., 则对任意实数x有 lim P n→c 其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数. 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 定理 4 [独立同分布的林德伯格－列维(Lindeberg-Levy) 中心极限定理] 设随机变量 1 2 X X, , 相互独立，且服从 同一分布，记 2 , 0, 1,2, EX DX i i i = = = ， 则对任意实数 x有 2 1 2 1 lim e d ( ) 2π n i t x i n X n P x t x n − = → − − = = . 其中 ( ) x 是标准正态分布的分布函数．
【例1】（正态随机数的产生）在蒙特卡罗方法中经常需 要产生服从正态分布的随机数，但是一般计算机只备有 产生[0,1]均匀分布随机数（实际上是伪随机数）的程 序.怎样通过[0,1]均匀分布的随机数来产生正态随机 数呢？ 设X1,X2,.是相互独立、均服从[0,1]均匀分布的 随机变量，易验证定理2的条件满足，故X,+X2+.+X, 渐近于正态变量，一般地n取不太大的值就可满足实际 要求.在蒙特卡罗方法中，一般取n=12,并用下式得 到新的随机数序列 y=】 a m2. 2024年8月27日星期二 8 目录 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 【例 1】(正态随机数的产生) 在蒙特卡罗方法中经常需 要产生服从正态分布的随机数，但是一般计算机只备有 产 生[0，1]均匀分布随机数(实际上是伪随机数)的 程 序．怎样通过[0，1]均匀分布的随机数来产生正态随机 数呢？ 设 1 2 X X, , 是相互独立、均服从[0，1]均匀分布的 随机变量，易验证定理 2 的条件满足，故 X X X 1 2 + + + n 渐近于正态变量，一般地 n取不太大的值就可满足实际 要 求．在蒙特卡罗方 法中，一般取 n =12 ，并用下式得 到新的随机数序列 12 12( 1) 1 6, 1,2, k k i i Y X k − + = = − =
【例2】某计算器进行加法时，将每个数舍入至其邻近 的整数.设所有的舍入是独立的，且舍入的误差值服从 [-0.5,0.5)上的均匀分布. (1)若将1000个数相加，求误差总和的绝对值超过10 的概率； (2)问最多可有几个数相加，可使得误差之和绝对值小于 20的概率不小于0.90？ 解设X,(i=1,2,)为每个加数的舍入误差，由题可知 X,(i=1,2,)独立且都服从[-0.5,0.5)上的均匀分布，因 此 EX,=0,Dx,=[0.5-0.5_1 ,i=1,2,., 12 12 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 【例 2】 某计算器进行加法时，将每个数舍入至其邻近 的整数．设所有的舍入是独立的，且舍入的误差值服从 −0.5,0.5)上的均匀分布． (1)若将 1000 个数相加，求误差总和的绝对值超过 10 的概率； (2)问最多可有几个数相加，可使得误差之和绝对值小于 20 的概率不小于 0.90？ 解 设 ( 1,2, ) X i i = 为每个加数的舍入误差，由题可知 ( 1,2, ) X i i = 独立且都服从−0.5,0.5)上的均匀分布，因 此 2 [0.5 ( 0.5)] 1 0, , 1,2, 12 12 EX DX i i i − − = = = =
①记r-2x,则1o000 近似地服从标准正态分 。 Vh000×12 布N(0,1),所以 P{X>10}=1-P{-10≤X≤10} =1-P-10-1000×0 X-1000×010-1000×0 V000 12 ≈1-[Φ(1.095)-Φ(-1.095)] =2-2Φ(1.095)=0.2758. 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 (1)记 1 n i i X X = = ，则 1000 0 1 1000 12 X − 近似地服从标准正态分 布 N(0,1) ，所以 P X P X = − − 10 1 10 10 10 1000 0 1000 0 10 1000 0 1 1 1 1 1000 1000 1000 12 12 12 X P − − − − = − 1 [ (1.095) ( 1.095)] 2 2 (1.095) 0.2758. − − − = − =
(2)依题意，记y=∑X,要使得P{Y<20≥0.90，根 据定理4， P{Y<20}=P{-20<Y<20} -P20 20 Vn/12√n/12 √n/12 -1≥0.90 即 20 20 ≥095=1645) ≥1.645.n≤1773.8. 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 (2)依题意，记 1 n i i Y X = = ，要使得 P Y 20 0.90 ，根 据定理 4， P Y P Y = − 20 20 20 20 20 /12 /12 /12 Y P nnn − = 20 20 20 2 1 0.90 n n n /12 /12 /12 − = − = − 即 ( ) 20 0.95 1.645 . n /12 = 20 1.645. n /12 n 1773.8