第二节方差 一、方差的定义及计算公式 二、离散型随机变量的方差 三、连续型随机变量的方差 四、方差的性质 2024年8月27日星期二 1 目录今（上页>下页返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第二节 方差 二、离散型随机变量的方差 三、连续型随机变量的方差 四、方差的性质 一、方差的定义及计算公式
一、方差的定义及计算公式 引例：设X,Y,Z的分布律分别为 P{X=0}=1 P=-=2P化==习 P(Z=-100}=2P{Z=100}=2 虽然X,Y,Z的数学期望（平均值）都为0，但Y分散程度 比X大，Z分散程度比Y大。 问题：如何定义随机变量的分散程度？ 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、方差的定义及计算公式 引例：设X，Y，Z的分布律分别为 P X = = 0 1 1 1 1 , 1 2 2 P Y P Y = − = = = 1 1 100 , 100 2 2 P Z P Z = − = = = 虽然X，Y，Z的数学期望（平均值）都为0，但Y分散程度 比X大，Z分散程度比Y大。 问题：如何定义随机变量的分散程度？
定义：设x是一个随机变量，若Ex-EX}存在， 则称ELx-E(X}为X的方差。记为D)或ar), 即 DX)=m(0=E{X-E(} 称√D(X)为X的均方差或标准差.记为σ() 可见 (x)= x-E(XPX=},离散型情形 k C[x-E(Xf(x)ak,连续型情形 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 定义：设X是一个随机变量，若 2 E X E X − ( ) 存在， 则称 为X的方差。 2 E X E X − ( ) 记为 D (X) 或 Var (X). 2 D X Var X E X E X ( ) ( ) ( ) = = − 即 称 D X( ) 为X的均方差或标准差。记为 σ (X). 可见 − − = = − = 连续型情形 离散型情形 [ ( )] ( ) , [ ( )] { } , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X P X x D X k k k
方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X取值分 散程度的量.如果D()值大，表示X取值分 散程度大，E()的代表性差；而如果D()值 小，则表示X的取值比较集中，以E()作为 随机变量的代表性好. 2024年8月27日星期二 4 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分 散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值 小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为 随机变量的代表性好. 方差的意义
推论 D(X)=E(X-E(X)P 证明： D(X)-EIX-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)] =E(X2)-[E(X)]2 例：设X是掷一颗均匀的骰子所得的点数，求D)。 解：由上一节的内容，可知E()=7/2 E(X)=1x2+2x2+32x+4x+5× +62×191 6 66 因此 DX灯)=Bx)-EXT- 7 35 6 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 推论 D(X)=E(X2 )―[E(X)]2 证明: D(X)=E[X―E(X)] 2 { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 = E X − XE X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X)E(X) +[E(X)] 2 2 = E(X ) −[E(X)] 例：设X是掷一颗均匀的骰子所得的点数，求D(X)。 解：由上一节的内容，可知E(X)=7/2. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 91 ( ) 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 E X = + + + + + = 因此 2 2 2 91 7 35 ( ) ( ) [ ( )] 6 2 12 D X E X E X = − = − =
例：设的概率密度为 :-1<x<0 1-x0≤x<1 求DM,DX). 解：E(X=xI+x)k+xI-)d=0 x)-可++r0-d-6 D(X2)=E(X4)-[E(X2)]P Ex∫0++a-版-吉 Dx=1》 7 2024年8月275星期6 180 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 例：设X的概率密度为 解： 求D(X), D(X2 ). − + − = 1 0 1 1 1 0 ( ) x x x x f x 0 1 1 0 E X x x dx x x dx ( ) (1 ) (1 ) 0 − = + + − = 0 1 2 2 2 1 0 1 ( ) (1 ) (1 ) 6 E X x x dx x x dx − = + + − = 1 ( ) 6 = D X 0 1 4 4 4 1 0 E X x x dx x x dx ( ) (1 ) (1 ) − = + + − 15 1 = 2 D X( ) 2 2 1 1 ( ) 15 6 D X = − 7 180 = 4 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )]
阿改X的度为)cos 0, 求D(X),D(cosX. 解：E(X)=xcosxd=0 E(X)-[cosxdx=ixcosxds -f'dsinx=[x'sinx-fxsinxdx 2+2-24owh 2-一 D(X)= 2 2024年8A27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 例：设X的概率密度为 求D(X), D(cosX). ( ) 1 cos , 2 2 0, x x p x = 解： ( ) 2 2 1 cos 0 2 E X x xdx − = = ( ) 2 2 2 2 2 0 2 1 cos cos 2 E X x xdx x xdx − = = 2 2 2 2 2 0 0 0 x d x x x x xdx sin sin 2 sin = = − 2 2 2 2 2 0 0 0 2 cos 2 cos 2 cos 4 4 xd x x x xdx = + = + − 2 2 2 0 2 sin 2 4 4 x = − = − ( ) 2 2 4 D X = −
剑：设简得率帝度为2)o0sxW -2 0, 求DX),D(cosX). 续解：E(cosX)=∫cos2xd -3j0*w2+m 4 E(cosx）=层cos'xdh ()dsins-sin.s 2 3 π1 2024年8月27日星期二 D(cosx)=2_ 3316目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 例：设X的概率密度为 求D(X), D(cosX). ( ) 1 cos , 2 2 0, x x p x = 续解： ( ) 2 2 2 1 cos cos 2 E X xdx − = ( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 cos 2 sin 2 2 2 2 4 x dx x x = + = + = ( ) 2 3 2 2 1 cos cos 2 E X xdx − = ( ) 2 2 2 3 0 0 1 2 1 sin sin sin sin 3 3 x d x x x = − = − = ( ) 2 2 cos 3 16 D X = −
二、几种常见的离散型随机变量的方差 1.0-1分布的方差 E(X)=p. E(X)=12×p+02×(1-p)=p D(X)=E(X2)-E(X)2=P-p2=pq 2.二项分布的方差 P(X=k)=Chp*(1-p)" k=0.1,.n E(X)=np.D(X)=npq. 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 二、几种常见的离散型随机变量的方差 1. 0-1分布的方差 P p − p X 1 1 0 E(X) =p. 2. 二项分布的方差 P X k C p p k n k k n k n { = } = (1− ) = 0.1,. − E(X) =np. D (X)= npq. E(X2 ) =1 2 ×p+ 0 2 ×（1-p）= p D(X)=E(X2 )―[E(X)]2= p-p 2 =pq
证明：0的宫0hnpr 名pu-广-含u-m 空aI-p广+空- (k-I)n! n! 台k-010n-p0-p)”- 多-m-为pu-m+2A-0npr0r n! nl -Smn-Cp-p j=0 =n(n-1)p2+p .DX)=E(X2)-[E(X]=n(n-1)p2+np-n2p2=np(1-p) 2024年8月27日星期二 10 目录上页>下页返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 = − − − = n k k n k p p k n k n E X k 1 2 2 (1 ) !( )! ! ( ) = − − − − = n k k n k p p k n k k n 1 (1 ) ( 1)!( )! ! = − − − − − + = n k k n k p p k n k k n 1 (1 ) ( 1)!( )! ( 1 1) ! 1 1 ( 1) ! ! (1 ) (1 ) ( 1)!( )! ( 1)!( )! n n k n k k n k k k k n n p p p p k n k k n k − − = = − = − + − − − − − 2 1 ! ! (1 ) (1 ) ( 2)!( )! ( 1)!( )! n n k n k k n k k k n n p p p p k n k k n k − − = = = − + − − − − − 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 ( 1) (1 ) (1 ) n n l l n l j j n j n n l j n n C p p nC p p − − + − − + − − − − = = = − − + − = n n − p + np 2 ( 1) 2 2 2 2 2 = − = − + − = − D X E X E X n n p np n p np p ( ) ( ) [ ( )] ( 1) (1 ) 证明: