第一章随机事件和糯年 §1.1 随机事件 §1.2 概率的定义 §1.3 条件概率、全概率公式和 贝叶斯公式 §1.4 事件的独立性 §1.5 伯努利(Bernoulli)概型 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 第一章 随机事件和概率 §1.1 随机事件 §1.2 概率的定义 §1.3 条件概率、全概率公式和 贝叶斯公式 §1.4 事件的独立性 §1.5 伯努利（Bernoulli）概型
§1,3条件橇車、金橇年公 式和贝叶斯公式 一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式 2024年8月27日星期二 3 目录 上页下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 二、乘法公式 一、条件概率 三、全概率公式 §1.3 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式 四、贝叶斯公式
【引例】考虑有两个小孩的家庭.样本空间Ω={（男、 男)，（男、女），（女、男），（女、女）}.设事件A为{家 中至少有一个男孩}，事件B为{家中至少有一个女 孩}.求已知家中至少有一男孩的条件下至少有一女孩的 概率. 刘：使你-n →PB0=PL P(A) P(B) 2024年8月27日星期二 4 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 【引例】考虑有两个小孩的家庭．样本空间 = { (男 、 男)，(男、女)，(女、男)，(女、女)} . 设事件 A 为{家 中至少有一个男孩}，事件 B 为{家中至少有一个女 孩}．求已知家中至少有一男孩的条件下至少有一女孩的 概率． A ={ (男、男)，(男、女)，(女、男)} B ={ (男、女)，(女、男)，(女、女)} 2 ( | ) . 3 P B A = 3 ( ) ; 4 P A = 3 ( ) ; 4 P B = 1 2 ( ) ; 2 4 P AB = = ( ) ( | ) ( ) . P AB P B A P A =
事实上，设试验中样本点的总数为n,事件A所包 含的样本点的个数为m(m>O),AB所包含的样本点的个 数为k,则有 k k P(BIA)= -n P(AB) m m P(A) n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义， 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所 包 含的样本点的个数为 m m( 0) ，AB 所包含的样本点的个 数为k ，则有 ( ) ( | ) ( ) k k P AB n P B A m P A m n = = = ． 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
一、条件概率 定义6设A,B是两个事件，且P(A)>0,则事件A发生 的条件下事件B发生的条件概率(conditional probability)为 P(BIA)= P(AB) P(A) 类似地，当P(B)>0时，事件B发生的条件下事件A 发生的条件概率 P(AB)= P(AB) P(B) 2024年8月27日星期二 6 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 一、 条件概率 定义 6 设 A B, 是两个事件，且 P A( ) 0 ，则事件 A 发生 的 条 件 下 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 (conditional probability)为 ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A = ． 类似地，当 P B( ) 0 时，事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = ．
关于条件概率，作如下几点说明： (1)P(B|A)可认为是A,B同时发生的次数占A发生次 数的比例.一般地，P(B|A)≠P(B),P(B|A)≠P(A), P(B|A)≠P(BA). (2)条件概率P(1A)也满足概率公理化定义中的三条， 即：①P(B|A)≥0；②P(2|A)=1;③若B,B2,.是可 数个两两互不相容的事件，则PUB)= ∑P(B,①.因而也是一个概率. 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 关于条件概率，作如下几点说明： (1) P B A ( | ) 可认为是 A B, 同时发生的次数占 A 发生次 数的比例．一般地， P B A P B ( | ) ( ) ， P B A P A ( | ) ( ) ， P B A P BA ( | ) ( ) ． (2) 条件概率 P( | A) 也满足概率公理化定义中的三条， 即：① P B A ( | ) 0 ；② P A ( | ) 1 = ；③ 若 1 2 B B, , 是可 数 个 两两互不相容的事件，则 1 ( | ) i i P B A = = 1 ( | ) i i P B A = ．因而也是一个概率．
关于条件概率，作如下几点说明： (3)计算条件概率可选择如下两种方法之一：①在原 样本空间2中，先计算P(AB),P(A),再按公式 P(B1A0=PCAB)计算：②由于事件A已经出现，它可以 P(4) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间A中 计算事件B发生的概率P(B|A). (4)一般地，P(B|A)≠P(AB). 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页 下页) 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 关于条件概率，作如下几点说明： (3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在 原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P AB P A ( ), ( ) ， 再 按 公 式 ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A = 计算；②由于事件 A 已经出现，它可以 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P B A ( | ) ． (4) 一般地， P B A P A B ( | ) ( | ) ．
【例11】某疾病D的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 (-),其概率如下： D D 0.009 0.099 0.001 0.891 由条件概率的定义可得 P(+|D)= P(+∩D) 0.009 =0.9, P(D) 0.009+0.001 P(-|D)= P(-∩D) 0.891 =0.9, 不要轻易相信你的直党 P(D) 0.891+0.099 0.009 P(D|+)= P(+∩D) ≈0.08 P(+) 0.009+0.099 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回
2024 年 8 月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 【例 11 】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( −)，其概率如下： D D + 0.009 0.099 − 0.001 0.891 由条件概率的定义可得 ( ) 0.009 ( | ) 0.9, ( ) 0.009 0.001 P D P D P D+ + = = = + ( ) 0.891 ( | ) 0.9, ( ) 0.891 0.099 P D P D P D− − = = = + ( ) 0.009 ( | ) 0.08. ( ) 0.009 0.099 P D P D P+ + = = + + 不要轻易相信你的直觉
【例12】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为0.8， 活25岁以上的概率为0.5.求 (1)如果现在有一个20岁的这种动物，它能活25岁 以上的概率？ (2)如果现在有一个20岁的这种动物，它活不到25 岁的概率？ 解(1)设事件A={能活20岁以上}；事件B={能活25岁 以上}，则 P(B1A)=P(AB)0.5 =0.625 P(A4) 0.8 (2)P(B1A)=1-P(BA)=1-0.625=0.375 【注】该例说明P(B|A)=1-P(B|A). 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 【例 12】 设某种动物从出生起活 20 岁以上的概率为 0.8， 活 25 岁以上的概率为 0.5．求 (1) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它能活 25 岁 以上的概率？ (2) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它活不到 25 岁的概率？ 解 (1)设事件 A ={能活 20 岁以上}；事件 B ={能活 25 岁 以上}，则 ( ) 0.5 ( | ) 0.625. ( ) 0.8 P AB P B A P A = = = (2) P B A P B A ( | ) 1 ( | ) 1 0.625 0.375 = − = − = ． 【注】该例说明 P B A P B A ( | ) 1 ( | ) = − ．
二、乘法公式 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(mulp lication formula): P(AB)=P(A)P(B A)=P(B)P(A B) 利用这个公式可以计算积事件的概率. 推广 P(A.An)=P(A)P(AA)P(AAA2).P(AnA.An1) 2024年8月27日星期二 11 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 二、 乘法公式 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(multip lication formula)： P AB P A P B A P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 利用这个公式可以计算积事件的概率． 推广 1 1 2 1 3 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A A P A P A A P A A A P A A A n n n = −