概车纶与款理统外 第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数
概车纶与款理统外「 一、协方差与相关系数的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X+Y)=? D(X+Y)=E(X+Y-E(X+Y) D(X)+D(Y)+2E([X-E(X)IIY-E(Y) 协方差
1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? 2 2 D(X + Y ) = E(X + Y ) − [E(X + Y )] = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差
概率伦与散理统针」 2.定义 量EIX-E(X)IY-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E(X)JY-E(Y) 而 Cov(X,Y) Px灯= D(X)D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数
Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − 与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 定义 . ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 与 的相关系数 而 X Y D X D Y X Y ρXY =
概華论与款醒硫外 3.说明 (1①)X和Y的相关系数又称为标锄方差，它是一 个无量纲的量 (2)若随机变量X和Y相互独立 COv(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) =EIX-E(XJE[Y-E(Y) =0. (3)若随机变量X和Y相互独立 →D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2EX-E(]Y-E(Y) D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)
Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[X − E(X)]E[Y − E(Y )] = 0. (3) 若随机变量 X 和Y 相互独立 2 {[ ( )][ ( )]} ( ) ( ) ( ) E X E X Y E Y D X Y D X D Y + − − + = + = D(X) + D(Y ). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 3. 说明 . (1) , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一
概车纶与款理统外 4.协方差的计算公式 (1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y); (2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 证明(I)Cov(X,Y)=E{IX-E(X)IY-E(Y)} =E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y) =E(XY-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X +Y ) = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ). 证明 (1)Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )
概華论与款程统外 (2)D(X+Y)=E{I(X+Y)-E(X+Y)} =E(X-E(X)+(Y-E(Y) =EX-E(X+EY-E(Y) +2E{X-E(X)[Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
(2) ( ) {[( ) ( )] } 2 D X + Y = E X + Y − E X + Y {[( ( )) ( ( )] } 2 = E X − E X + Y − E Y + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} {[ ( )] } {[ ( )] } 2 2 = E X − E X + E Y − E Y = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y )
概车纶与款理统外 5.性质 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(X,bY)=bCov(X,Y),a,b为常数； (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
5. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a, b为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y
概车纶与款理统外「 例1设(X,Y)~N(41,42,G,o,p,试求X与Y的 相关系数. 解由f(x,)= 1 2πo1o2V1-p n-2-9, 0102 _(x-41)2 →fx(x)= 1 e2o,-o0<x<+o0, √2元0 1 _0y-4)2 fy(y)=2 -e 2o ,-o0<y<+0
. ( , ) ~ ( , , , , ), 22 2 1 2 1 相关系数设 X Y N μ μ σ σ ρ 试求 X 与Y 的 解 − + − − − − −− − = 22 2 2 1 2 1 2 21 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ σ σ ρ 由 f x y e , , 2π1 ( ) 21 2 1 2 ( ) 1 = − + − − x σ f x σ x μ X e , . 2π1 ( ) 22 2 2 2 ( ) 2 = − + − − y σ f y σ y μ Y 例 1
概车纶与散理统外「 →E(X)=41,E(Y)=42,D(X)=G1,D(Y)=o. 而 Cov(X,Y)(x-m)(y-mf(x.y)dxdy 2xg0:-py-) 1 令t= % 01
( ) , ( ) , ( ) , ( ) . 2 2 2 E X = μ1 E Y = μ2 D X = σ1 D Y = σ Cov(X,Y ) (x μ )( y μ )f (x, y)d xd y 1 2 + − + − = − − 而 e e d d . ( )( ) 2π 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2(1 ) 1 2 ( ) 2 1 2 1 2 y x x μ y μ σ σ ρ σ x μ ρ σ y μ σ ρ x μ − − − − − − − + − + − − − − = , 1 1 1 1 2 2 2 − − − − = σ x μ ρ σ y μ ρ 令 t , 1 1 σ x μ u − =
概華论与款醒统外 Cov(X,Y) 2t2 (-Pu+poroeididu ci 4回 =p0022元·W2元， 2元 故有Cov(X,Y)=po1o2·
+ − + − − − = σ σ − ρ tu + ρσ σ u t u X Y u t ( 1 )e d d 2π 1 Cov( , ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 = + − + − − − u u t ρσ σ u t e d e d 2π 1 2 2 2 2 2 2 − + + − + − − − u u t t σ σ ρ u t e d e d 2π 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 , 2 1 2 = ρσ σ Cov( , ) . 故有 X Y = ρσ1σ2