§1.4 事件的独立性 2024年8月27日星期二 2 目录 (上页 (下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 §1.4 事件的独立性
引例 盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回 地取两次.记 A=第一次抽取，取到绿球， B=第二次抽取，取到绿球， 则有 P(BA)=P(B), 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页> 下页 。返回」
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 , , , , . 5 (3 2 ), , 第二次抽取 取到绿球 第一次抽取 取到绿球 地取两次 记 盒中有 个球 绿 红 每次取出一个 有放回 = = B A 则有 P(B A) = P(B), 它表示 A的发生并不影响 B 发生的可能性大小. 引例
定义8若两个事件A,B满足P(B)=P(B|A),则称事 件A,B相互独立(mutual independence),简称A,B独 立 一方面，若A,B独立，则由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B A)=P(A)P(B) 同时，若P(AB)=P(A)P(B)成立，由条件概率有 (B)-P(B)((B-P(B) P(4) P(A) 这表明P(B)=P(B|A)与P(AB)=P(A)P(B)的表达是等 价的。 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P B P B A ( ) ( | ) = ，则称事 件 A ，B 相互独立(mutual independence)，简称 A B, 独 立． 一方面，若 A B, 独立，则由乘法公式有 P AB P A P B A P A P B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) = = 同时，若 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = 成立，由条件概率有 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P B A P B P A P A = = = 这表明 P B P B A ( ) ( | ) = 与 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = 的表达是等 价的
定义8若两个事件A,B满足P(B)=P(BA),则称事 件A,B相互独立(mutual independence),简称A,B独 立 定义9若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A,B相互独立，简称A,B独立. 说明 事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生 与事件B发生的概率无关. 2024年8月27日星期二 5 目录○ 、上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 定义 9 若两事件 A ， B 满足 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ，则称事 件 A ， B 相互独立，简称 A B, 独立． 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件A 的发生 与事件 B 发生的概率无关. 说明 定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P B P B A ( ) ( | ) = ，则称事 件 A ，B 相互独立(mutual independence)，简称 A B, 独 立．
请思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系。 两事件相互独立P(AB)=P(A)P(B) 二者之间没 两事件互斥 AB-0 有必然联系 例如 B 若PA=P®=2 AB 则P(AB)=P(A)P(B) 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 两事件相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 两事件互斥 AB = A B , 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = AB 则 P(AB) = P(A)P(B). 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请思考 二者之间没 有必然联系
若PA0号PB) 则P(AB)=0, B PPE)= 故P(AB)≠P(A)P(B). 由此可见两事件互斥但不独立： 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 A B 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A) = P B = 故 P(AB) P(A)P(B). 由此可见两事件互斥但不独立. 则 P(AB) = 0, , 4 1 P(A)P(B) =
定义10设A,B,C是三个事件，如果满足： P(AB)=P(A)P(B). P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C) 则称这三个事件A,B,C是两两独立的. 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 定义 10 设 A B C , , 是三个事件，如果满足： ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C = = = 则称这三个事件 A B C , , 是两两独立的．
定义11 设A,B,C是三个事件，如果满足： P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 则称这三个事件A,B,C是相互独立的. 注意 三个事件相互独立 二三个事件两两相互独立 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 定义 11 设 A B C , , 是三个事件，如果满足： ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C = = = = 则称这三个事件 A B C , , 是相互独立的． 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问A,B,C是否相互独立？ 解由于在四面体中红、白、黑分别出现两面， PA)=P(B)=P(C)=2 1 因此 意知PAB)=PBC)=P 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立? 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 因此 , 2 1 P(A) = P(B) = P(C) = 又由题意知 , 4 1 P(AB) = P(BC) = P(AC) =
故有 1 P(AB)=P(A)P(B)= 43 1 P(BC)=P(B)P(C)= 1 P(AC)=P(A)P(C)= 43 则三事件A,B,C两两独立 由于P(ABC)=+&=PA0PBP(C, 48 因此A,B,C不相互独立. 2024年8月27日星期二 11 目录今 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 故有 因此 A，B，C 不相互独立. = = = = = = , 4 1 ( ) ( ) ( ) , 4 1 ( ) ( ) ( ) , 4 1 ( ) ( ) ( ) P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B 则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 4 1 P(ABC) = ( ) ( ) ( ), 8 1 = P A P B P C