§1.5伯党利（仔nmoulli糯型 2024年8月27日星期二 2 目录 上页>（下页○ 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 §1.5 伯努利(Bernoulli)概型
定义13设有两个试验E,和E,假如试验E,的任意一个 结果（事件）与试验E,的任意一个结果（事件）都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立.类似地，假如个 试验E,E2,.,En满足：E,的任意一个结果、E2的任意 一个结果.E的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验E,E2,.,En相互独立.如果这n个试验还是相同的， 则称其为n重独立重复试验.如果在n重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个：A或A,则称这种试 验为n重伯努利试验. 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如n个 试验 1 2 , , , E E E n 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果. E n 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 1 2 , , , E E E n 相互独立．如果这n个试验还是相同的， 则称其为n重独立重复试验．如果在n重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件A在第k次试验中首次“发生”的概率； (2)n次试验中事件A恰有k次“发生”的概率. 定理2在n重伯努利试验中，设P(A)=p, P(A)=1-p=q(其中0<p<1),则 (1)事件A在第k次试验中首次“发生”的概率为 Ps=p(1-p)-=pg-,(k=1,2,3.,n). (2)事件A恰好发生k次的概率为 P(k)=C0p(1-p)n-k=C☆pq"-,(k=0,l,2,.,n). 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件 A 在第k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n次试验中事件 A 恰有k 次“发生”的概率． 定 理 2 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P A p ( ) = ， P A p q ( ) 1 = − = (其中0 1 p )，则 (1)事件 A 在第k 次试验中首次“发生”的概率为 1 1 (1 ) , k k P p p pq k − − = − = ( 1,2,3 , ) k n = . (2)事件 A 恰好发生k 次的概率为 ( ) (1 ) , k k n k k k n k P k C p p C p q n n n − − = − = ( 0,1,2, , ) k n =
【例22】金工车间有10台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立 的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦 的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的 概率为多大？ 解设10台机床中正在开动着的机床台数为X,则 P(X=k)=Cko 0-1 Pxs5-x-0-c ≈0.994 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分 钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？ 解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则 10 10 1 4 ( ) 5 5 k k k P X k C − = = 10 5 5 10 0 0 1 4 ( 5) ( ) 0.994. 5 5 k k k k k P X P X k C − = = = = =
【例23】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1)双方各出3人： (2)双方各出5人： (3)双方各出7人. 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问： 对系队来说，哪一种方案有利？ 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
解设系队得胜人数为X,则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为 )P(X≥2)=∑C(0.4)(0.6)≈0.352 (2)P(X≥3)=∑C5(0.4)(0.6)-≈0.317 (3)P(X≥4)=∑C(0.4)(0.6)≈0.290 由此可知第一种方案对系队最为有利（此时，对校队 最为不利). 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 (1) 2 0.4 0.6 0.352. k k k k P X C − = = ( ) ( ) ( ) 5 5 5 3 (2) 3 0.4 0.6 0.317. k k k k P X C − = = ( ) ( ) ( ) 7 7 7 4 (3) 4 0.4 0.6 0.290. k k k k P X C − = = 由此可知第一种方案对系队最为有利(此时，对校队 最为不利)．
【例24】某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门.有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第k次才 把门打开的概率多大？ 解因为该人每次从把钥匙中任取一把（试用后不做记 号又放回)，所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰 被选中的概率为一，易知这是一个伯努利试验.第k次 才把门打开，意味着前面的k-1次都没有打开，由定理 2即得 P=pg1=11- 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从m把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？ 解 因为该人每次从 m 把钥匙中任取一把(试用后不做记 号又放回)，所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰 被选中的概率为 1 m ，易知这是一个伯努利试验．第k 次 才把门打开，意味着前面的k −1次都没有打开，由定理 2 即得 1 1 1 1 (1 ) . k k P pq k m m − − = = −
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作业 习题A 2024年8月27日星期二 10 目录 上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 习题A