第三节 随机变量的分布高数 与途续型随机变量 >分布函数的定义及其性质 >连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 >几种重要的连续型随机变量 2024年8月27日星期二 目录 上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量 ➢分布函数的定义及其性质 ➢连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ➢几种重要的连续型随机变量
一、分布函数的定义及性质 由于P(x,<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x) 为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数。 从而 P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x)=F(x2)-F(x) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 个区间的概率。 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、分布函数的定义及性质 由于 1 2 2 1 P x X x P X x P X x ( ) ( ) ( ) = − 为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F x P X x ( ) ( ) = 称为随机变量X的分布函数。 从而 1 2 2 1 P x X x P X x P X x ( ) ( ) ( ) = − 2 1 = − F x F x ( ) ( ) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 一个区间的概率
不加证明地给出分布函数的一些性质： (1)(单调性)对于任意实数x1,x2,(x1<x2),有 F(x)≤F(x2) (2)(有界性)0≤F(x)≤1，limF(x)=0,limF(x)=1 F(-∞)=P{X≤-o}不可能事件 F(+o)=P{X≤+o}必然事件 (3)(右连续性)1imF(x)=F(x) x→x0 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 不加证明地给出分布函数的一些性质: (1)(单调性) 对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( ) ，有 1 2 F x F x ( ) ( ) (2)(有界性) 0 ( ) 1, lim ( ) 0, lim ( ) 1 →− →+ = = x x F x F x F x (3)(右连续性) 0 0 lim ( ) ( ) x x F x F x → + = F P X ( ) { } − = − 不可能事件 F P X ( ) { } + = + 必然事件
例：若随机变量X的分布律为 X|1234 1 11 288 则随机变量的分布函数为 0, x 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：若随机变量X的分布律为 1 2 3 4 1 1 1 1 4 2 8 8 k X p 则随机变量X的分布函数为 ( ) = F x 0, x 1 P X =1 , 1 2 x P X P X = + = 1 2 2 3 x P X P X P X = + = + = 1 2 3 3 4 x P X P X P X P X = + = + = + = 1 2 3 4 4 x
即 分布函数的图像如下： 0, x<1, F(x 14 1≤x<2, 7 3 F(x)= 2≤x<3, 4 8 3≤x<4, 4 1, 4≤x. 分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于取这个值的概率。例如 P(X=2) 311 2024年8月27日星期二 544 2日* 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 即 0, 1, 1 , 1 2, 4 3 ( ) , 2 3, 4 7 , 3 4, 8 1, 4 . x x F x x x x = 分布函数的图像如下： 分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如 。 。 1 。 4 7 8 3 4 1 1 2 3 4 F x( ) x 3 1 1 ( 2) 4 4 2 P X = = − =
二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设Fx)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数x),使得对任意实数x,有 F(x)=f()dr 称X为连续型随机变量，称x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有 ( ) ( )d x F x f t t − = 称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度
性质：1.f(x)≥0 2∫fx=l f(x) 从图形上来看，性质1表示X的概率密度f孔x)位于x轴上方， 性质2表示x)与x轴所围区域面积等于1. 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页>（下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 性质：1. f x( ) 0 2. ( )d 1 + − = f x x O x y 1 f x( ) 1 O x y 1 f x( ) 1 从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1
3.对于任意实数x,x2,(x<x2),有 P(x<X≤x)=F(x)-F(x)=∫fx)dx 从图形上来看，性质3表示 X落在区域(x,x2]的概率 等于相应的曲边梯形的面 0x2 x积。 4.若孔x)在点x处连续，则F'(x)=f(x) 对于连续型随机变量X来说，通过Fx)求导得x), 2024年湧减型分得Fx)。8 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 3.对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( ) ，有 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )d = − = x x P x X x F x F x f x x O x y 1 f x( ) 1 x 2 O x x y 1 f x( ) 1 x 2 x 从图形上来看，性质3表示 X落在区域 的概率 等于相应的曲边梯形的面 积。 1 2 ( , ] x x 4.若f(x)在点x处连续，则 F x f x ( ) ( ) = 对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ， 通过f(x)积分得F(x)
5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零. 即 P{X=x}=0 由性质5，易得： P(x 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零． 即 P X x = = 0 0 由性质5，易得： 1 2 1 2 1 2 P x X x P x X x P x X x ( ) ( ) ( ) = = 2 1 1 2 = = ( ) ( )d x x P x X x f x x 注：对离散型随机变量，上式不成立
例：若随机变量的概率密度为 f- C(4x-2x2),0<x<2, 10, 其它 (1)求C的值；(2)X的分布函数；(3)P{X1} 解：()油于fxr=1,有 C04x-2r2x=1 得 c= 3 8 2024年8月27日星期二 10 目录○ 、上页 下页 、返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例：若随机变量X的概率密度为 2 (4 2 ), 0 2, ( ) 0, C x x x f x − = 其它. (1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}. 解：(1)由于 ( )d 1 ，有 + − = f x x 2 2 0 C x x x (4 2 )d 1 − = 得 3 8 C =