概華论与款醒硫外 一、问题的提出 从前一节可以看到,对于同一个参数,用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同,如第一 节的例4和例10.而且,很明显,原则上任何统计 量都可以作为未知参数的估计量。 问题 ()对于同一个参数究竞采用哪一个估计量好? 2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准
一、问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如第一 节的例4和例10. 而且, 很明显, 原则上任何统计 量都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准
概车纶与款理统外 二、无偏性 若X1,X2,Xn为总体X的一个样本, 0∈®是包含在总体X的分布中的待估参数 (®是B的取值范围) 若估计量0=(X1,X2,Xn)的数学期望 E()存在,且对于任意0∈⊙有E(0)=0,则称 0是0的无偏估计量 无偏估计的实际意义:无系统误差
二、无偏性 若X1 ,X2 , ,Xn为总体X的一个样本, 是包含在总体X的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存 在 且对于任意 有 则 称 若估计量 的数学期望 = = E E X X Xn 无偏估计的实际意义: 无系统误差
概率伦与款理统外「 例1设总体X的k阶矩4=E(X)(k≥1)存在 又设X1,X2,.,Xn是X的一个样本,试证明不论 总体服从什么分布,阶样本矩A,=1之X是k n i=1 阶总体矩的无偏估计. 证因为X1,X2,Xn与X同分布, 故有E(X)=E(X)=4k,i=1,2,.,n, 即E(4)=1∑E(X)=4: n i=1
. 1 , , , , ( ) ( 1) , 1 1 2 阶总体矩 的无偏估计 总体服从什么分布 阶样本矩 是 又设 是 的一个样本,试证明不论 设总体 的 阶矩 存在 k ni k k i n k k X k n k A X X X X X k E X k = = = 证 因为X1,X2 ,,Xn与 X同分布, ( ) ( ) k k 故有 E Xi = E X , i 1,2, ,n. = k = = = ni k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . = k 例 1
概车伦与散理统外「 故k阶样本矩A是k阶总体矩,的无偏估计. 特别的: 不论总体X服从什么分布, 只要它的数学期望存在, X总是总体X的数学期望4,=E(X)的无偏 估计量
故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k Ak k k 特别的: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望 = E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在
概華论与款程统外 例2对于均值4,方差o2>0都存在的总体,若 4,。2均为未知,则。2的估计量62=2(X,-X2 n i=1 是有偏的(即不是无偏估计), 证62=1∑x?-X2=4,-X2, n i=1 因为E(A2)=42=o2+2, 又因为E(x3)=D(X+[EXP= +2, n 所以E(62)=E(A,-X2)=E(A)-E(X2)
( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 = = − ni Xi X n 证 = = − ni Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2 = A 2 − X 2 2 因为 E(A ) = , 2 2 = + 2 2 又因为 E(X ) = D(X) +[E(X)] , 2 2 = + n ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E = E A − X ( ) ( ) 2 = E A2 − E X 例 2
概车纶与款理统外 =1-1.2≠02,所以62是有偏的. n 若以” 乘62,所得到的估计量就是无偏的. n-1 这种方法称为无偏化), 气n”n”69=o 因为”1=52x- n-1 即S2是σ2的无偏估计,故通常取S2作o的估计量
, 1 2 2 − = n n ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , . 1 若以 乘 2 所得到的估计量就是无偏的 n − n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2 = − = − E n n n n E 2 2 ˆ 1 S n n = − 因为 ( ), 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n , 即 S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量
概车纶与款程统外「 例3设X1,X2,.,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本,试求σ2的无偏估计量. 解由第大章第二节定理二知,一X-l, ,-“ x-1_1 2x2 dx 2r[8 U
. , , , ( , ) 2 2 1 2 的样本,试求 的无偏估计量 设 是来自正态总体 X X Xn N 解 ~ ( 1), 1 2 2 2 − − S n n 由第六章第二节定理二知 x x n x n S E x n n e d 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 2 1 + − − − − − = − x x n x n n e d 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 + − − − − = , 2 1 2 2 − = n n 例3
概车纶与款理统外 故S不是o的无偏估计量, a( S是σ的无偏估计量
, 2 1 2 1 2 ( ) − − = n n n E S 故 S 不是 的无偏估计量, . 2 2 1 2 1 是 的无偏估计量 S n n n − −
概车纶与款理统外「 例4设总体X在0,0上服从均匀分布,参数0>0, X1,X2,Xn是来自总体X的样本,试证明2X和 n+1 max(X1,X2,.,Xn)都是0的无偏估计. 证 因为E2X)=2E(X)=2E(X)=2×9=日, 所以2又是0的无偏估计量. 因为X=max(X1,X2,.,Xn)的概率密度为 nxa-1 0≤x≤0, f(x)= On, 0, 其他
max( , , , ) . 1, , , 2 [0, ] , 0, 1 2 1 2 都是 的无偏估计 是来自总体 的样本,试证明 和 设总体 在 上服从均匀分布 参数 n n X X X nnX X X X X X + 证 因为 E(2 X) = 2 E(X) = 2E(X) , 2 2 = = 所以 2X 是 的无偏估计量. 因为 Xh = max( X1, X2 ,, Xn )的概率密度为 = − 0, 其他 , 0 , ( ) 1 x nx f x nn 例 4