第二章随机变量及其分布 用集合语言表示随机事件 用随机变量及其分布描述随机事件 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 〔返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 第二章 随机变量及其分布 用集合语言表示随机事件 用随机变量及其分布描述随机事件
第一节 随机变量 一、为什么引入随机变量？ 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化.当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念. 2024年8月27日星期二 3 目录 (上页○下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念． 一、为什么引入随机变量? 第一节 随机变量
二、引例 在随机现象中，有很多随机试验的结果和实数存在着 某种客观的联系。例如：令 X=n重伯努利试验中4出现的次数 则“在n重伯努利试验中，事件A出现k次”这一事件 可简单记为：X=k 又如在掷骰子的试验中，X=1表示“点数为1”这一结果 因此，像这样的随机试验，其结果可直接用数值来表示， 我们就可令取相应的数值来表示相应的事件。 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 在随机现象中，有很多随机试验的结果和实数存在着 某种客观的联系。例如：令 X n重伯努利试验中A出现的次数 则“在n 重伯努利试验中，事件A 出现k 次”这一事件 可简单记为：X k. 又如在掷骰子的试验中，X=1表示“点数为1”这一结果 因此，像这样的随机试验，其结果可直接用数值来表示， 我们就可令X取相应的数值来表示相应的事件。 二、引例
另外，在有些随机试验中，虽然试验结果没有和实数 存在直接的联系，但是可以通过定义，使得它们建立一 一对应关系 例如：掷硬币试验，其结果为“正面”和“反面”。 可通过定义：用1表示“正面”， 0表示“反面” 则试验结果和数值便产生了联系。从而相应的随机事件 也可以用一个取值为实数的变量来表示。 综上：不管试验结果是否与实数值有关，我们都可以 引入一个法则，使得其与实数建立了对应关系。 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 另外，在有些随机试验中，虽然试验结果没有和实数 存在直接的联系，但是可以通过定义，使得它们建立一 一对应关系． 例如：掷硬币试验,其结果为“正面”和“反面” 。 可通过定义: 用1表示 “正面” ， 0 表示“反面” 。 则试验结果和数值便产生了联系。从而相应的随机事件 也可以用一个取值为实数的变量X来表示。 综上：不管试验结果是否与实数值有关，我们都可以 引入一个法则，使得其与实数建立了对应关系
三、随机变量的定义 定义：设随机试验的样本空间为2={o如果对于每 个样本点o∈2，有唯一的实数X(o)与之相对应，则 称X=X(o)为样本空间2上的随机变量。 注：1.随机变量是样本空间上的函数，随机变量的取值 随试验结果而定，在试验之前并不知道它取什么值。 2.随机变量所有可能取值是事先知道的，就像我们 事先知道所有的随机试验结果一样。 3随机变量是样本空间上的函数，是集合到实数的 映射，而普通函数是实数到实数的映射，这是随机变量 与普通函数的本质区别。 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 定义：设随机试验的样本空间为 ．如果对于每 个样本点 ，有唯一的实数X 与之相对应，则 称 X X 为样本空间 上的随机变量。 注：1.随机变量是样本空间上的函数，随机变量的取值 随试验结果而定，在试验之前并不知道它取什么值。 2.随机变量所有可能取值是事先知道的，就像我们 事先知道所有的随机试验结果一样。 3.随机变量是样本空间上的函数，是集合到实数的 映射，而普通函数是实数到实数的映射，这是随机变量 与普通函数的本质区别。 三、随机变量的定义
4.本书中，一般用大写的英文字母X,Y,Z,W,.来表示 随机变量。用小写的英文字母x,y,2,.表示实数。 例：在一个调查电视观众能否回忆起最近看到的一则 电视广告的信息的试验中，有两种可能的试验结果：观众 能回忆起广告的信息和观众不能回忆起广告的信息.定 义X为 观众能回忆起信息， 0, 观众不能回忆起信息. 则X为一个随机变量。 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 在一个调查电视观众能否回忆起最近看到的一则 电视广告的信息的试验中，有两种可能的试验结果:观众 能回忆起广告的信息和观众不能回忆起广告的信息．定 义X为 4.本书中,一般用大写的英文字母 来表示 随机变量。用小写的英文字母 表示实数。 X ,Y, Z,W , x, y,z, 例： 1, 0, X 观众能回忆起信息, 观众不能回忆起信息. 则X为一个随机变量
例：假定掷3枚均匀的硬币，H表示正面，T表示反面。 以Y表示正面出现的次数，那么Y是个随机变量。 它的所有可能取值为0,1,2,3。相应的概率分别为 Py=0g=P{(I,T,T)}-8 3 PY=1}=P{(T,T,H),(T,H,T),(H,T,T)}= PY=2y=P(T,H,0,(H,T,H),(H,H,7}= 3 P3(H,H.H) 类似地，有 P{Y≤1=P{(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(H,T,T)} 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 例：假定掷3枚均匀的硬币，H表示正面，T表示反面。 以Y表示正面出现的次数，那么Y是个随机变量。 它的所有可能取值为0，1，2，3。相应的概率分别为 P{Y 0} P{Y 1} P{Y 2} P{Y 3} 类似地，有 P{Y 1} P{(T,T,T )} 1 8 P{(T,T, H ),(T, H,T ),(H,T,T )} 3 8 P{(T, H, H ),(H,T, H ),(H, H,T )} 3 8 1 {( , , )} 8 P H H H P{(T,T,T),(T,T, H),(T, H,T),(H,T,T)} 1 2
实例在有两个孩子的家庭中，考虑 其性别，共有4个样本点： 0,=(男，男)，02=（男，女），03=（女，男），04=（女，女） 若用X表示该家女孩子的人数时，则有 X(0)=0,X(02)=1,X(03)=1,X(04)=2, 可得随机变量X(w), 0, 0=01) X(o)=1, 0=02)0=03, 2, 0=04· 2024年8月27日星期二 9 目录 上页下页 、返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 实例 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点: ( , ), ( , ), ( , ), ( , ). 1 男 男 2 男 女 3 女 男 4 女 女 若用 X 表示该家女孩子的人数时 , 则有 ( ) 0, X 1 ( ) 1, X 2 ( ) 1, X 3 ( ) 2, X 4 可得随机变量 X(w), 2, . 1, , , 0, , ( ) 4 2 3 1 X
实例设盒中有5个球(2白3黑)，从中任抽3个，则 X(o)=抽得的白球数， 是一个随机变量.且X(w)的所有可能取值为： 0,1,2. 实例6设某射手每次射击打中目标的概率是0.8， 现该射手射了30次，则 X(o)=射中目标的次数， 是一个随机变量.且X(w)的所有可能取值为： 0,1,2,3,.,30. 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 实例 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则 X() 抽得的白球数, 是一个随机变量. 实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则 X() 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(w) 的所有可能取值为: 0, 1, 2. 且 X(w) 的所有可能取值为: 0, 1, 2, 3, , 30
实例 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8， 现该射手不断向目标射击，直到击中目标为止，则 X(o)=所需射击次数， 是一个随机变量， 且X(w)的所有可能取值为： 1,2,3,. 2024年8月27日星期二 11 目录 、上页下页 (返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 实例 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 X() 所需射击次数 , 是一个随机变量. 且 X(w) 的所有可能取值为: 1, 2, 3,