第三节条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 问题 考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别 用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随 机变量，他们都有自己的分布. 现在如果限制Y 取值从1.5m到1.6m, 在这个限制下求X的 分布 2024年8月27日星期二 1 目录今上页（下页○ 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第三节 条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 问题 , . , , , 机变量 他们都有自己的分布 用 和 记此人的体重和身高 则 和 都是随 考虑一大群人 从其中随机挑选一个人 分别 X Y X Y . 1.5m 1.6m, 分布 在这个限制下求 的 取值从 到 现在如果限制 X Y
若(X,Y)是离散型随机变量，那么对一切使得P{Y=y,}>0 的为，我们把已知Y=y的条件下X的条件分布律定义为： 0-92 P(Y=y,p, 类似地，当P{X=x}>0时，已知X=x,的条件下Y的条件分 布律定义为： p-2 }p.3 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 若(X, Y)是离散型随机变量，那么对一切使得 0 P Y y = j 的 yj ,我们把已知Y=yj的条件下X的条件分布律定义为： , | , 1, 2, i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y i P Y y p = = = = = = = = , | , 1, 2, i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x j P X x p = = = = = = = = 类似地，当 时，已知X=xi的条件下Y的条件分 布律定义为： 0 P X x = i
例：己知X,)的分布律如下： 求：(1).己知Y=1的条件下X的 条件分布律。 0.40.1 0.5 1 0.20.3 0.5 (2).已知X=1的条件下Y的条 0.60.4 件分布律。 解： PX=01Y=1片=P{x=0,y=I_02 2 P{Y=1} 0.55 P(X=1Y-1-P(X=LY=1 0.33 PY=1 0.5 5 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 例：已知(X, Y)的分布律如下: X Y 0 1 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 j i p p 求:(1).已知 Y=1的条件下X的 条件分布律。 (2).已知 X=1的条件下Y的条 件分布律。 解： P X Y = = 0 | 1 0, 1 1 P X Y P Y = = = = 0.2 2 0.5 5 = = P X Y = = 1| 1 1, 1 1 P X Y P Y = = = = 0.3 3 0.5 5 = =
或用表格表示为 X=k 01 P{x=klY=1 5 同理，己知X=1的条件下Y的条件分布律为： Y=k 0 P==寻 2024年8月27日星期二 4 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 或用表格表示为 0 1 2 3 | 1 5 5 X k P X k Y = = = 同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为： 0 1 1 3 | 1 4 4 Y k P Y k X = = =
二、连续型随机变量的条件分布 定义：对任意给定的正数&，若P{x-s0 且对任意实数y,极限 limP{Y≤ylx-s<X≤x+e}=lim P{x-e<X≤x+,Y≤y} 0 0 P{x-E<X≤x+E} 存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函 数。记为Fx(y川x) 由于FxO川x)=mPY≤川x-E<X≤x+8到 P{x-8<X≤x+6,Y≤y} lim 8→0+ P{x-E<X≤x+8} 2024年8月27日星期二 5 目录( 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的条件分布 定义:对任意给定的正数 ，若 P x X x − + 0， 且对任意实数 y ，极限 0 0 , lim | lim P x X x Y y P Y y x X x P x X x → + → + − + − + = − + 存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函 数。记为 | ( | ) F y x Y X 由于 | ( | ) F y x Y X 0 , lim P x X x Y y P x X x → + − + = − + 0 lim | P Y y x X x → + = − +
∫二[fx灿'fcxw lim 8→0+ f(x)dx f(x) -器 称人为条件K的条件下Y的条件概率密变记 xoy川x)=fx》 fr(x) 同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为 For(xly)=f(x.) 2024年8月27日星期二 ) 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 0 ( , )d d lim ( )d y x x x X x f x y x y f x x + − − → + + − = ( , )d ( ) y X f x y y f x − = ( , ) d ( ) y X f x y y f x − = 称 为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。 ( , ) ( ) X f x y f x 记为: | ( , ) ( | ) ( ) Y X X f x y f y x f x = 同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为 ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y f x y f y =
例：己知(X,)的概率密度为 f(x,y)= ,2+y2≤1 0, 其它 求∫xy(xy). 解：山f)=fx,)dx可得： 当-1或y>1时，由于x)=0.故f,(y)=fx,ydr=0 当-1≤y≤1时，f0y)=f(x,y)d 小2-可 2024年8月27日星期二 7 目录 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 例：已知(X, Y)的概率密度为 1 2 2 , 1, ( , ) π 0, x y f x y + = 其它. 求 ( | ) . X Y f x y 解： 由 ( ) ( , )d Y f y f x y x + − = 可得： 当y1时，由于f(x,y)=0.故 ( ) ( , )d 0 Y f y f x y x + − = = 当-1 ≤ y ≤ 1时， ( ) ( , )d Y f y f x y x + − = 2 2 1 1 1 d π y y x − − − = 2 2 1 π = − y
因此 、2-y,-1≤y≤1 0, 其它. 于是，当-1≤y≤1时， fr(x)=x》 (y) 1 =,-V-y2≤x≤V1-y, 0, 其它. 2024年8月27日星期二 8 、目录 (上页 下页 返回○
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 因此 2 2 1 , 1 1, ( ) π 0, Y y y f y − − = 其它. 于是，当-1 ≤ y ≤ 1时， ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y f x y f y = 2 2 2 1 π , 1 1 , 2 1 π 0, y x y y − − − = − 其它
o5:i 即 0. 其它. 2024年8月27日星期二 9 目录今上页下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 2 2 2 1 , 1 1 , ( | ) 2 1 0, X Y y x y f x y y − − − = − 其它. 即
例：己知(X,)的概率密度为 x e r.e-x x>0,y>0, y 0, 其它. 求PX>1川Y=y},其中y>0. 解： e x.e- y Fo(x)=. —,x>0,y>0, f(y) S入ee dx y 0, 其它 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例：已知(X, Y)的概率密度为 e e , 0, 0, ( , ) 0, x y y x y f x y y − − = 其它. 求P{X>1|Y=y}，其中y>0. 解： ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y f x y f y = 0 e e , 0, 0, e e d 0, x y y x y y y x y x y − − − − + = 其它