第三节 依方差和相关象数 如果两个随机变量是相互独立,则有 E{LX-(EX)][Y-E(Y)]}=0 如果两个随机变量是不相互独立,则有 E[X-(EX)[Y-E(Y)]}≠0 这说明它们存在一定的相关关系. 问题:如何描述两个随机变量之间相互关系。 2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第三节 协方差和相关系数 如果两个随机变量是相互独立,则有 E X EX Y E Y [ ( )][ ( )] 0 − − = 如果两个随机变量是不相互独立,则有 E X EX Y E Y [ ( )][ ( )] 0 − − 这说明它们存在一定的相关关系. 问题:如何描述两个随机变量之间相互关系
一、协方差的定义及计算公式 定义:随机变量X和Y的协方差Cov(X,)定义为 Cov(X,Y)=E[X-(EX)]Y-E(Y)] 当DX),D(>0时, Cov(X,Y) PW=DD西 称为随机变量X和Y的相关系数。 2024年8月27日星期二 2 目录○ (上页下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一 、协方差的定义及计算公式 定义:随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)定义为 Cov X Y E X EX Y E Y ( , ) [ ( )][ ( )] = − − 当D(X), D(Y)>0 时, ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y = 称为随机变量X和Y的相关系数
计算公式: Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 证明:Cov(X,Y)=E{X-(EX)I[Y-E(Y] =EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(XE(Y) 2024年8月27日星期二 3 目录上页下页○ 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 计算公式: Cov(X,Y)=E(XY)―E(X) E(Y) 证明: Cov X Y E X EX Y E Y ( , ) [ ( )][ ( )] = − − = − − + E XY XE Y YE X E X E Y ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + E XY E X E Y E Y E X E X E Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − E XY E X E Y ( ) ( ) ( )
性质: 1.Cov(Y,Y)=Cov(Y,X) 2.Cov(X,X)=D(X) 3.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 4.Cov(ax,bY)=abCov(X,Y) 5.Cov(X+X2,Y)=Cov(Xj,Y)+Cov(X2,Y) 6.若随机变量X和Y相互独立,则协方差为零。 但逆命题不成立,即协方差为零,X和Y不一定相互独立。 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 性质: 1. Cov X Y Cov Y X ( , ) ( , ) = 2. Cov X X D X ( , ) ( ) = 3. D X Y D X D Y Cov X Y ( ) ( ) ( ) 2 ( , ) + = + + 4. Cov aX bY abCov X Y ( , ) ( , ) = 5. 1 2 1 2 Cov X X Y Cov X Y Cov X Y ( , ) ( , ) ( , ) + = + 6. 若随机变量X和Y相互独立,则协方差为零。 但逆命题不成立,即协方差为零,X和Y不一定相互独立
例:设和Y的联合分布律为 解:由于 -1 0 PY=j) +1.}-0 1 2 E(X)=(-)5+0 3 3 0 3 3 3 且 E(XY=0 1 1 0 0 所以 3 3 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y 1 11 P{X=议 33 =0 3 但是,X和Y不相互独立 求:Cov(X,Y) 2024年8月27日星期二 5 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 X Y 1 0 1 { } 1 1 2 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 3 3 1 1 1 { } 3 3 3 P Y j P X i − = = 例:设X和Y的联合分布律为 求:Cov(X,Y). 解:由于 ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 0 3 3 3 E X = − + + = 且 E XY ( ) 0 = 所以 Cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) = − = 0 但是,X和Y不相互独立
三、相关条数的性质 1.lP≤1 2.P=1的充分必要条件是存在a,b,使得 P(Y=aX+bj=1 证明:1. 0sD(XD)2Cov(X.Y2+15 0102 0102 0≤D( X_Y)=D()D()_2Cor(X.) 12 0102 综上,P≤1 2024年8月27日星期二 6 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 1. 1 XY 2. 1 XY = 的充分必要条件是存在a , b,使得 P Y aX b = + = 1 证明:1. 1 2 0 ( ) X Y D + 2 2 1 2 1 2 D X D Y Cov X Y ( ) ( ) 2 ( , ) = + + 2(1 ) = + XY 1 2 0 ( ) X Y D − 2 2 1 2 1 2 D X D Y Cov X Y ( ) ( ) 2 ( , ) = + − 2(1 ) = − XY 1 − XY 1 XY 综上, 1 XY 二、相关系数的性质
证明:2.(必要性)若P=1,则有 DX_Y)=0 0102 这意味着 X_Y 以概率1取值为一个常数, 0102 即意味着Y-aX+b,其中a- 若Pm=1,则有DX+X)=0 这意味着X+’ 以概率1取值为一个常数, 0102 即忘味若y-ob,其巾a及 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页> 下页 、返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 证明:2.(必要性) 若 XY =1 ,则有 1 2 ( ) 0 X Y D − = 这意味着 以概率1取值为一个常数, 1 2 X Y − 即意味着Y=aX+b,其中 . 2 1 a = 若 XY =1 ,则有 1 2 ( ) 0 X Y D + = 这意味着 以概率1取值为一个常数, 1 2 X Y + 即意味着Y=aX+b,其中 . 2 1 a = −
证明:2.(充分性)若P{Y=aX+b}=1,则有 Cov(X,Y)=Cov(Y,ax+b)=Cov(X,ax)+Cov(X,b)=aD(X) 又D(Y)=a2D(X) 因此 -{d Cov(X,Y) =6 a>0, 性质2说明:当Pw=1时,X和Y以概率1存在线性关系。 特别地,当P=1时,称为正相关关系。当P=-1时, 称为负相关关系。当P较大时,线性相关程度较强。 当Px较小时,线性相关程度较弱。当Pw=0时,不相关。 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 证明:2.(充分性) 若 P Y aX b = + = 1 ,则有 Cov X Y Cov X aX b Cov X aX Cov X b aD X ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) = + = + = 又 2 D Y a D X ( ) ( ) = 因此 ( , ) ( ) 1, 0, ( ) ( ) ( ) 1, 0. XY Cov X Y aD X a D X D Y a D X a = = = − 性质2说明:当 XY =1 时,X和Y以概率1存在线性关系。 特别地,当 XY =1 时, 称为正相关关系。当 XY = −1 时, 称为负相关关系。当 XY 较大时,线性相关程度较强。 当 XY 较小时,线性相关程度较弱。当 XY = 0 时,不相关
例:设(X,的概率密度为 1-4-2p-40-40- (-0<x<+o0,-0<y<+0) 求P. 解:由前面的知识,可以知道D(X)=o,DY)=σ Cov(X.Y)=(x-mXy-1)f(x.y)dxdy 1 1-4-2p-420-42+少- G=hw-2za62。 dydx 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 例:设 (X, Y)的概率密度为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 1 x x y y f x y e − − − − − − + − = − (− + − + x y , ) 求 XY . 解: 由前面的知识,可以知道 2 2 1 2 D X D Y ( ) , ( ) = = 1 2 Cov X Y x y f x y x y ( , ) ( )( ) ( , )d d + + − − = − − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 ( )( ) e d d 2π 1 x x y y x y y x − − − − − − + + + − − − = − − −
1(2-p4y-x-4 =(x-40y-4), e21-p2)2 01 2i dydx 2o,02V1-p 令1= t2+u2 coX,=2元J(aovl-pu+poaegddu eaid 2元 =P002.√2元√2元=p0,02因此 2元 Cov(X,Y) PwD-D西 po02=p 002 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2(1 ) 2 1 2 2 1 2 1 ( )( ) e d d 2π 1 y x x x y y x − − − − − − + + − − − = − − − 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ), 1 y x x t u − − − = − = − 令 ,则有 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( 1 )e d d 2π t u Cov X Y tu u t u + + + − − − = − + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 e d e d e d e d 2π 2π u t u t u u t u u t t + − + − + − + − − − − − − = + 1 2 1 2 2π 2π 2π = = 因此 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y = = =