第五节两个随机变量的品数的分布 一、Z=X+Y的分布 二、Z=max{X,乃，Z=min{X乃的分布 三、Z=Y/X的分布 2024年8月27日星期二 1 目录（上页（下页 返回>
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第五节 两个随机变量的函数的分布 一、Z=X+Y的分布 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 三、 Z=Y / X 的分布
一、Z=X+Y的分布 例：己知X和Y的联合分布律为 0 1 0 0.4 0.1 1 0.2 0.3 求Z=X+Y的分布律。 解：由题意知，Z=X+Y的分布律为 Z=X+Yy川012 P0.40.30.3 2024年8月27日星期二 2 目录) 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、Z=X+Y的分布 例：已知X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 0.4 0.1 1 0.2 0.3 求 Z=X+Y的分布律。 解：由题意知， Z=X+Y的分布律为 0 1 2 0.4 0.3 0.3 Z X Y P = +
例证明：如果X与Y相互独立，且X~B(np), Y~B(m,p),则X+Y~B(n+m,p)。 证明X+Y所有可能取值为0,1，.，m+n. P(X+y=)=∑P(X=i,y=k- =∑P{x=}PY=k-} =∑Cp'g.Cpg"-t4 证毕 i=0 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n, p）， Y~B（m, p），则X+Y~B（n+m , p）。 证明 X+Y所有可能取值为 0，1，.，m+n. 0 , k i P X Y k P X i Y k i = + = = = = − 0 k i P X i P Y k i = = = = − 0 k i i n i k i k i m k i n m i C p q C p q − − − − + = = 0 k i k i n m i k n k m p q C C = + − − = k k n k m m n C p q + + − = 证毕
以上讨论了两个离散型随机变量X,Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X,Y和的分布密度。 若(X,)是连续型随机变量，设f(x,y)为其概率密度。 则Z=X+Y的分布函数为 F(a)=P{Z≤z}=P{X+Y≤} x+y=z =df(x.y)dy dxf(x,u-x)du =∫dfx,u-xd 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 以上讨论了两个离散型随机变量X，Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X，Y和的分布密度。 若(X, Y)是连续型随机变量，设f (x,y)为其概率密度。 y x y z + = x o y x y z + = x o 则 Z=X+Y的分布函数为 F z P Z z P X Y z Z ( ) = = + d ( , )d z x x f x y y + − − − = d ( , )d y u x z x f x u x u = − + − − = − d ( , )d z u f x u x x + − − = −
或F(a)=P{Z≤z}=P{X+Y≤} dyf(d=dyf(u-y.y)du =J」Ldfu-y,ydy 因此Z=X+Y的概率密度为 f(=)=F(=)=[f(x.z-x)dx=[f(z-y.y)dy 特别地，当X和Y相互独立时，有 f(=)=fx(x)f(=-x)dx=[fr(=-y)f(v)dy 上面的等式称为fx和的卷积。记为f*f。 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 F z P Z z P X Y z Z ( ) = = + d ( , )d z y y f x y x + − − − = d ( , )d x u y z y f u y y u = − + − − = − d ( , )d z u f u y y y + − − = − 或 因此 Z=X+Y的概率密度为 ( ) ( ) Z Z f z F z = f x z x ( , )dx + − = − f z y y ( , )dy + − = − 特别地，当X和Y相互独立时，有 ( ) Z f z ( ) ( )d X Y f x f z x x + − = − ( ) ( )d X Y f z y f y y + − = − 上面的等式称为 fX 和 fY的卷积。记为fX * fY
例：已知X和Y相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布， 求Z=X+的概率密度。 解：由题意知，X和Y的概率密度为 1,0 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 例：已知X和Y相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布， 求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为 1, 0 1, ( ) 0, X x f x = 其它. 1, 0 1, ( ) 0, Y y f y = 其它. 于是，由卷积公式有 1 0 ( ) ( ) ( ) d d 1 ( ) Z X Y Y f z f x f z x x x f x z + − = − = − 当z≤0或z≥2时， 1 0 ( ) 1 ( )d 0 Z Y f z f z x x = − = 当0< z ≤1时， 1 0 0 ( ) 1 ( )d 1 1d z Z Y f z f z x x x z = − = =
当1<<2时，(e)=1f(2-x)dx=了1ld=2- 因此 2,0<z≤1， fz(2)=2-2,1<2<2, 0, 其它 由于概率密度函数的形状是三角形，” 所以称随机变量Z=X+Y服从三角分 (triangular distribution). 2024年8月27日星期二 7 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 当1< z<2时， 1 1 0 1 ( ) 1 ( )d 1 1d 2 Z Y z f z f z x x x z − = − = = − 因此 , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0, Z z z f z z z = − 其它. y 1 x o 1 y 1 x o 1 由于概率密度函数的形状是三角形， 所以称随机变量Z=X+Y服从三角分 布(triangular distribution)．
例：己知X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布， 求Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知，X和Y的概率密度为 fr()= 1 2元e7,0<x<+of0)=e √2 e2,-0<y<+∞ √2元 于是，由卷积公式有 f2(a)=∫fr(x)f(a-xdr _(2-x)2 -( e e d 2元 2024年8月27日星期二 8 目录 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 例：已知X和Y相互独立，且都服从N (0,1)分布， 求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为 2 2 1 ( ) e , 2π x X f x x − = − + 2 2 1 ( ) e , 2π y Y f y y − = − + 于是，由卷积公式有 ( ) ( ) ( )d Z X Y f z f x f z x x + − = − 2 2 ( ) 2 2 1 e e d 2π x z x x − + − − − = 2 2 ( ) 4 2 1 e e d 2π z z x x − + − − − =
2元 令t=x- 2 1 1 -e =e 4 2元 2元 2W 即Z服从N(0,2)分布. 般地，设X和Y相互独立，且X~N(4,o),Y~N(4,o) 则Z=X+Y仍服从正态分布，且有 X+Y~N(4+42,o2+o2) 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 2 2 ( ) 4 2 1 ( ) e e d 2π z z x Z f z x − + − − − = 令 2 z t x = − 2 2 4 1 ( ) e e d 2π z t Z f z t − + − − = 2 2 4 4 1 1 e π e 2π 2 π z z − − = = 即 Z 服从N (0,2)分布. 一般地，设X和Y相互独立，且 2 2 1 1 2 2 X N Y N ( , ) ( , ) ， 则 Z=X+Y仍服从正态分布，且有 2 2 1 2 1 2 X Y N + + + ( , )
二、Z=max{X,乃，Z=min{X,Y乃的分布 例：已知X和Y的联合分布律为 PX=0,Y=oy=8PX=0,Y=-6P(X=0.r-2y4 PX=Ly=0=4P(X=lY==6P(X==2=4 求Z=max{X,Y,Z=min{X,Y)的分布律。 解：由题意知，Z=max{X,Y)的分布律为 Z=max(X,Y)0 1 2 P 31 8 82 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 、返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 例：已知X和Y的联合分布律为 1 1 1 0, 0 , 0, 1 , 0, 2 , 8 16 4 P X Y P X Y P X Y = = = = = = = = = 1 1 1 1, 0 , 1, 1 , 1, 2 . 4 16 4 P X Y P X Y P X Y = = = = = = = = = 求 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。 解：由题意知， Z=max{X,Y}的分布律为 max{ , } 0 1 2 131 8 8 2 Z X Y P =