概车纶与款理统外 第七节 单侧置信区间 一、问题的引入 二、基本概念 三、典型例题 四、小结
第七节 单侧置信区间 二、基本概念 三、典型例题 一、问题的引入 四、小结
概華论与款醒硫外 一、问题的引入 在以上各节的讨论中，对于未知参数0，我们给 出两个统计量8,0，得到的双侧置信区间（但，8）. 但在某些实际问题中，例如，对于设备、元 件的寿命来说，平均寿命长是我们希望的，我们 关心的是平均寿命0的“下限”；与之相反，在 考虑产品的废品率p时，我们常关心参数p的 “上限”，这就引出了单侧置信区间的概念
一、问题的引入 , , ( , ). , , 出两个统计量 得到 的双侧置信区间 在以上各节的讨论中 对于未知参数 我们给 但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
概车纶与款理统外 二、基本概念 干于给定值00≥1-a, 则称随机区间(8，+∞)是0的置信水平为1-x的单 侧置信区间，&称为0的置信水平为1-α的单侧置 信下限
二、基本概念 1. 单侧置信区间的定义 { } 1 , ( , , , ), (0 1), , , , 1 2 1 2 − = P X X X X X X n n 满 足 确定的统计量 对于任意 对于给定值 若由样本 . , 1 ( , ) 1 信下限 侧置信区间 称 为 的置信水平为 的单侧置 则称随机区间 是 的置信水平为 的 单 − + −
概率伦与款程统外 又如果统计量0=(X1,X2,.,Xn),对于任 意0∈⊙满足 P{0<0}≥1-a, 则称随机区间(-∞，0)是0的置信水平为1-ax的 单侧置信区间0称为0的置信水平为1-的单侧 置信上限
{ } 1 , ( , , , ), 1 2 − = P X X Xn 意 满 足 又如果统计量 对于任 . , 1 ( , ) 1 置信上限 单侧置信区间 称 为 的置信水平为 的单侧 则称随机区间 是 的置信水平为 的 − − −
概车纶与款理统外 2.正态总体均值与方差的单侧置信区间 设正态总体X的均值是弘，方差是o2(均为未知)， X,x,Xn是一个样本由X-1m-1, SIn 有r会x-a-1-a
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间 , ( ), 设正态总体 X 的均值是 方差是 2 均为未知 , , , , X1 X2 Xn 是一个样本 ~ ( 1), / − − t n S n X 由 ( 1) 1 , / = − − − t n S n X 有 P ( 1) 1 , = − − t n − n S 即 P X
概车纶与款理统外[ 于是得μ的一个置信水平为1一a的单侧置信区间 (x-a-+ u的置信水平为1-a的置信下限μ=X-S ta(n-1) 又根据0-xw-以 有5，xa-1-a
( 1), , − t n − + n S X 的置信水平为1−的置信下限 = − t (n −1). n S X ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S 又根据 ( 1) 1 , ( 1) 2 2 1 2 = − − − − n n S 有 P 于是得 的一个置信水平为1− 的单侧置信区间
概车纶与款理统外「 r是}t-a 于是得σ2的一个置信水平为1-a的单侧置信区间 zic(n-1) o2的置信水平为1-a的单侧置信上限 o2=(n-1)S2 xn-1)
1 于是得 2 的一个置信水平为 − 的单侧置信区间 , ( 1) ( 1) 0, 2 1 2 − − − n n S 1 2 的置信水平为 − 的单侧置信上限 . ( 1) ( 1) 2 1 2 2 − − = − n n S 1 , ( 1) ( 1) 2 1 2 2 = − − − − n n S 即 P
概華论与款程统外 三、典型例题 例1设从一批灯泡中，随机地取5只作寿命试验， 测得寿命（以小时计）为1050,1100,1120,1250， 1280,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均 值的置信水平为0.95的单侧置信下限. 解1-a=0.95,n=5x=1160,s2=9950, ta(n-1)=t.os(4)=2.1318, 4的置信水平为0.95的置信下限 4=x-S.n-l)）=1065. n
三、典型例题 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1− = 0.95, n = 5, x = 1160, ( 1) (4) 2.1318, t n − = t 0.05 = 9950, 2 s = 的置信水平为0.95的置信下限 = − t (n −1) = 1065. n s x 例1
概车纶与款理统外 例2设总体X在0，]上服从均匀分布，其中0 (0>0)未知，(X1,X2,Xn)是来自总体X的样 本，给定a,求0的置信水平为1-a的置信下限和 置信上限. 解令Xa=max{X1,X2,Xm, 对于给定的a,找0}=1-a 即1-a=zz=g”,于是0=1-a, 所以P。c0=1-
. , , 1 ( 0) , ( , , , ) [0, ] , 1 2 置信上限 本 给定 求 的置信水平为 的置信下限和 未知 是来自总体 的样 设总体 在 上服从均匀分布 其中 − X X X X X n 解 max{ , , , }, 令 Xh = X1 X2 Xn 对于给定的 , 找 0 1, 使 1 , = − X h P 1 d , 0 n 1 n nz z − = = 即 − 1 , n 于是 = − 1 , 1 = − − n Xh 所以 P 例 2
概華论与款醒硫外 0的置信水平为1-α的置信下限0=， Xh /1-a 对于给定的m,找0<0<1使P0<音}-1-a 即1-a=zdz=1-0”,于是0=a, i以P0<}-1-a 6的置信水平为1-aα的置信上椰= a
. 1 n Xh − 的置信水平为1− 的置信下限 = 对于给定的, 找 0 1, 使 1 , = − Xh P 1 d 1 , 1 n 1 n nz z − = = − 即 − , n 于是 = 1 , = − n Xh 所以 P . n Xh 的置信水平为1− 的置信上限 =