概率伦与散理统针」 第三章 多维随机变量及其分布 习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 第三章 多维随机变量及其分布 习 题 课
概率伦与款程统外 一、重点与难点 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布
一、重点与难点 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布
概车纶与款理统外 二、主要内容 随机变量 二 推 的相互独立性 维 定义 随 联合分布律 联 合 分 机 联合概率密度 布函 数 变 条件 分布 定 性 义 质 边 缘分布 两个随机变量的函数的分布
定 义 联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概 率 密 度 边 缘 分 布 条 件 分 布 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 定 义 性 质 二 维 随 机 变 量 推 广 二、主要内容
概華论与款醒硫外「 二维随机变量 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,),叫作二维随机向量 或二维随机变量. ●X(e) →eY(e)
. ( , ), ( ) ( ) , , { }, 或二维随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S E S e = = = 二维随机变量 • e •Y(e) S • X(e)
概车纶与款理统外 二维随机变量的分布函数 ()定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随 机变量X和Y的联合分布函数
(1) 定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } , : ( , ) , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量 对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y y X Y x = = 二维随机变量的分布函数
概華论与款程统外 (2)性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任 意固定的y,当x2>x1时F(x2,y)≥F(x1,y) 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,y2)之F(x,y) 2°0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=limF(x,y)=0; 对于任意固定的x,F(x,-oo)=IimF(x,y)=0; F(-00,-00)=lim F(x,y)=0; y→-∞
, ( , ) ( , ); 1 ( , ) , 2 1 2 1 0 y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当 时 是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y y 时F x y F x y 2 0 ( , ) 1, 0 F x y 对于任意固定的 y, (−, ) = lim ( , ) = 0; →− F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,−) = lim ( , ) = 0; →− F x F x y y (−,−) = lim ( , ) = 0; →− →− F F x y y x (2) 性质
概车纶与款理统外 F(+o0,+o)=lim F(x,y)=1. X→+00 y→+0 3°F(x,y)=F(x+0,y),F(,y)=F(x,y+0), 即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续 4对于任意(x1,y1),(x2,2)1<七2，<y2, 有F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(1,y1)-F(x1y2)≥0
(+,+) = lim ( , ) = 1. →+ →+ F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), 0 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 F x y = F x + y F x y = F x y + 4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 0 对于任意 x y x y x x y y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 有 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2
概率伦与款程统外 (3)n维随机变量的概念 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={}, 设X1=X1(e),X2=X2(e),Xn=Xn(e),是定义 在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量. 对于任意n个实数x1,x2,xn,n元函数 F(K1,x2,.,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,.,Xn≤xn} 称为随机变量(X1,X2,X)的联合分布函数
( , , , ) . , ( ), ( ), , ( ), , { }, 1 2 1 1 2 2 叫做 维随机向量或 维随机变量 在 上的随机变量 由它们构成的一个 维向量 设 是定义 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X X X n n S n X X e X X e X X e E S e n n n = = = = 对于任意 n 个实数x1 , x2 , , xn ,n 元函数 ( , , , ) { , , , } 1 2 n 1 1 2 2 n n F x x x = P X x X x X x ( , , , ) . 称为随机变量 X1 X2 Xn 的联合分布函数 (3) n 维随机变量的概念
概车纶与款理统外 二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(x,yj),i,j=1,2,.,记 P{X=x,Y=yj}=p,i,j=1,2,., 称此为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或 随机变量X和的联合分布律. 二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为：
. ( , ) , { , } , , 1,2, , ( , ), , 1,2, , ( , ) 随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机变量 的分布律 或 值为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j = = = = = 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为: 二维离散型随机变量的分布律
概率伦与款程统外 X XI X2 Xi Y1 P11 P21 Pi y2 P12 P22 Pi2 二 Yj P2j P 离散型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=∑∑P, x≤xy≤y 其中和式是对一切满足x,≤x,y,≤y的i,j求和
( , ) , = x x y y ij i j F x y p 离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为 其中和式是对一切满足x x, y y的i, j求和. i j X Y x1 x2 xi j y y y 2 1 p11 p21 pi1 p12 p22 pi 2 p1 j p2 j pij