《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 第三节 随机变量的分布函数

概華伦与款程统外 第三节 随机变量的分布函数 要求： 理解随机变量分布函数的概念，了 解分布函数的性质，会计算与随机 变量有关事件的概率

要求： 理解随机变量分布函数的概念，了 解分布函数的性质，会计算与随机 变量有关事件的概率。 第三节 随机变量的分布函数

概车纶与款理统外 一、分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值， 要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知 道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率， 例如求随机变量X落在区间(x,x2]内的概率 Px1<X≤x,PX≤x-PX≤ F(x2) F(x)分布 函数 P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1):

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布 函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1  ? 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入

概華论与款醒统外 2.分布函数的定义 定义设X是一个随机变量x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数 说明 ()分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. (2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数函 数 X F x P X x X x =  (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数

概车纶与款理统外 实例 抛掷均匀硬币，令 X= 1, 出正面， 出反面. 求随机变量X的分布函数 解pX-1=pX=0y=2 0 当x<0时， F(x)=P{X≤x<0}=0;

实例 抛掷均匀硬币, 令    = 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. 解 p{X = 1} = p{X = 0} , 2 1 = • 0 • 1 x 当 x  0时, F(x) = P{X  x  0} = 0;

概率伦与款程统外 0 当0≤x<1时， F-PK≤=PX=- 当x≥1时， F(x)=P{X≤x} 0,x<0, =P{X=0HP{X=1}得F(x)= 0≤x<1, 11 221. 1,x≥1

• 0 • 1 x 当 0  x  1时, F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 2 1 = 当 x  1时, F(x) = P{X  x} = P{X = 0}+ P{X = 1} 2 1 2 1 = + = 1.            = 1, 1. , 0 1, 2 1 0, 0, ( ) x x x 得 F x

概车纶与款理统外「 二、分布函数的性质 (1I)0≤F(x)≤1，x∈(-∞，∞)； (2)F(K)≤F(x2),(x1<x2)； 证明由x1<x2→{X≤xc{X≤x2, 得PX≤x}≤P{X≤x2, 又F(x)=P{X≤x,F(x)=P{X≤x, 故Fx)≤F(x

(1) 0  F(x)  1, x  (−,); (2) ( ) ( ), ( ); F x1  F x2 x1  x2 证明 由 x1  x2 { } { }, 1 2 得 P X  x  P X  x ( ) ( ). 1 2 故 F x  F x { }  X  x1 { },  X  x2 ( ) { }, 1 1 又 F x = P X  x ( ) { }, 2 2 F x = P X  x 二、分布函数的性质

概车纶与款程统外「 (3)F(-0o)=lim F(x)=0,F(oo)=limF(x)=1; X00 X>00 证明F(x)=P{X≤x},当x越来越小时， P{X≤x}的值也越来越小因而当x→-oo时，有 limF(x)=limP{X≤x}=0 X)一00 0 x 同样，当x增大时P{X≤x的值也不会减小，而 X∈(-0，x),当x→o时，X必然落在(-0，o)内. Lx

(3) (−) = lim ( ) = 0, →−  F F x x F(x) = P{X  x}, lim ( ) = lim {  } = 0 →−  →−  F x P X x x x o x o x () = lim ( ) = 1; → F F x x 证明 当 x 越来越小时, P{X  x}的值也越来越小,因而当 x → −时,有 ( , ), , ( , ) . , { } , 当 时 必然落在 内 同样 当 增大时 的值也不会减小 而  − →  −   X x x X x P X x

概车纶与款理统外 所以limF(x)=limP{X≤x}=1. x→00 X→00 (4)1imF(x)=F(x),(-oo<x,<oo). x→x0 即任一分布函数处处右连续 ↑F(x) 0,x<0, 1: p1,0≤x<X F(x)= P P2,X1≤<x2, 1,x≥x2: 0 X2

(4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 = −     + → F x F x x x x 即任一分布函数处处右连续.              = 1, . , , , 0 , 0, 0, ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x lim ( ) = lim {  } = 1. → → F x P X x x x 所以 o x F(x) • 1 x • 2 x  p1  2 p 1

概華论与款醒硫外 重要公式 (1)P(a}=1-F(a). 证明因为{X≤b}={X≤a}U{a<X≤b}, {X≤a}∩{a<X≤b}=☑， 所以P{X≤b}=P{X≤a}+P{a<X≤b}, 故P{a<X≤b}=F(b)-F(a)

重要公式 (1) P{a  X  b} = F(b) − F(a), (2) P{X  a} = 1 − F(a). 证明 因为 {X  b} = {X  a}{a  X  b}, {X  a}{a  X  b} = , 所以 P{X  b} = P{X  a} + P{a  X  b}, 故 P{a  X  b} = F(b) − F(a)

概车纶与款理统外 三、例题讲解 例1将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3},P{X≥5.5}，P{1<X≤3}. 解设H-正面，T-反面，则 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, X0123 因此分布律为 1 33 1 8888

S = HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 例1 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 设H − 正面, T −反面