第七章参数估计 9§7.1点估计 9§7.2基于截尾样本的最大似然估计 9§7.3估计量的评选标准 9§7.4区间估计 9§7.5正态总体均值和方差的区间估计 9§7.6(0一1)分布参数的区间估计 §7.7单侧置信区间 2137
第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值和方差的区间估计 §7.6 (0 －1)分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间 2/37
第七章参数估计 9§7.1点估计 9§7.2基于截尾样本的最大似然估计 9§7.3估计量的评选标准 9§7.4区间估计 9§7.5正态总体均值和方差的区间估计 9§7.6(0一1)分布参数的区间估计 9§7.7单侧置信区间 3/37
第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值和方差的区间估计 §7.6 (0 －1)分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间 3/37
§7.3估计量的评选标准 。由点估计的两种典型求估计量的方法可知，同一参数用不 同的估计方法，求出的估计量可能不同 。比如可以是前k阶样本矩的函数（假设有k个待估参数）， 也可以是样本似然函数的极点或在取值范围内的最值点 。如均匀分布中关于区间两个端点的矩估计量和最大似然估计量就 不同 。尽管原则上，任何统计量都可以作估计量，但总有好坏之 分，希望在合理的标准下选择最理想的估计量 ●本节学习三个常用的评选标准： 。无偏性，有效性，相合性（一致性） 437
§7.3 估计量的评选标准 由点估计的两种典型求估计量的方法可知，同一参数用不 同的估计方法，求出的估计量可能不同 比如θ可以是前k阶样本矩的函数（假设有k个待估参数）， 也可以是样本似然函数的极点或在取值范围内的最值点 如均匀分布中关于区间两个端点的矩估计量和最大似然估计量就 不同 尽管原则上，任何统计量都可以作估计量，但总有好坏之 分，希望在合理的标准下选择最理想的估计量 本节学习三个常用的评选标准： 无偏性，有效性，相合性(一致性) 4/37
§7.3估计量的评选标准 1°无偏性一一数学期望评选标准 ⊙意义：估计量是随机变量，其所取估计值应以待估参数真 值为中心摆动，并且大量估计值的统计平均值应该稳定于 参数真值，也就是估计量的数学期望应该等于参数真值 9设X1,X2,Xm是总体X的一个样本，0E⊙是包含在总体X 的分布中的待估参数，这里⊙是的取值范围。 无偏性：若估计量=0(X1,X2.,Xm)的数学期望E(0)存在， 且对于任意的0∈Θ有E(0)=0,则称0是的无偏估计量。 即E(8)-0=0, ⊙称E()一为以日作为0的估计的系统误差，那么无偏估计 的实际意义就是无系统误差（人为的或系统本身原因导致 的误差，而不是测量误差) 5/37
§7.3 估计量的评选标准 1°无偏性――数学期望评选标准 意义：估计量是随机变量，其所取估计值应以待估参数真 值为中心摆动，并且大量估计值的统计平均值应该稳定于 参数真值，也就是估计量的数学期望应该等于参数真值 设X1,X2,.,Xn是总体X的一个样本，θΘ是包含在总体X 的分布中的待估参数，这里Θ是θ的取值范围。 无偏性：若估计量 ＝ (X1,X2,.,Xn)的数学期望E( )存在， 且对于任意的θ Θ有E( )＝θ，则称 是θ的无偏估计量。 即 E( )－θ＝0， 称E( )－θ为以 作为θ的估计的系统误差，那么无偏估计 的实际意义就是无系统误差（人为的或系统本身原因导致 的误差，而不是测量误差） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5/37
§7.3估计量的评选标准 关于常用统计量的一些结论 1.k阶样本矩是总体k阶矩的无偏估计 设总体X的k阶矩4s=E(X)(k≥1)存在， 又设X1,X2,.,Xn是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩A=1∑X是 k阶总体矩4的无偏估计. 证 因为X1,X2,.,Xn与X同分布， 故有E(X)=E(X)=4k,i=1,2,n. 6/37
. 1 , , , , ( ) ( 1) , 1 1 2 阶总体矩 的无偏估计 总体服从什么分布 阶样本矩 是 又设 是 的一个样本，试证明不 论 设总体 的 阶矩 存在 k n i k k i n k k k X n k A X X X X X k E X k 证 因为X1 , X2 ,, Xn与X同分布， ( ) ( ) k k 故有 E Xi E X , i 1,2, ,n. k 关于常用统计量的一些结论 §7.3 估计量的评选标准 6/37 1. k阶样本矩是总体k阶矩的无偏估计
§7.3估计量的评选标准 即E(4)=1∑E(K)=4: i=1 故k阶样本矩A是k阶总体矩4的无偏估计. 特别地： 不论总体X服从什么分布， 只要它的数学期望存在， X总是总体X的数学期望μ1=E(X)的无偏 估计量. 7137
故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k k k A k 特别地: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望 E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在, §7.3 估计量的评选标准 n i k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . k 7/37
§7.3估计量的评选标准 2.样本方差是总体方差的无偏估计，二阶中心距不是无偏估计 对于均值山，方差σ2>0都存在的总体，若 山，。2均为未知，则。2的估计量62-1之(X,-X) 是有偏的（即不是无偏估计）， 62=1x-X2=4-X2, 证 n i=1 因为E(A2)=42=σ2+2， 又因为E(X)=D(X)+IEXP=g+, 所以E(6)=E(A2-X2)=E(A2)-E(X2) 8/37
( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 n i Xi X n 证 n i Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2 A2 X 2 2 因为 E(A ) , 2 2 2 2 又因为 E(X ) D(X) [E(X)] , 2 2 n ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E E A X ( ) ( ) 2 E A2 E X §7.3 估计量的评选标准 8/37 2. 样本方差是总体方差的无偏估计，二阶中心距不是无偏估计
§7.3估计量的评选标准 =I-1 .2≠0，所以6是有偏的. n 若以”主 乘62，所得到的估计量就是无偏的. n-1 这种方法称为无偏化)， (01n5)= 因为W”1=S好=2(x- 即S2是o2的无偏估计，故通常取S2作σ2的估计量 9/37
, 1 2 2 n n ˆ . 所以2 是有偏的 ˆ , . 1 若以 乘2 所得到的估计量就是无偏的 n n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2 E nn nn E 2 2 ˆ 1 Sn n n 因为 ( ), 1 1 1 2 ni Xi X n , 即 S2是2 的无偏估计 . 故通常取S2作2的估计量 §7.3 估计量的评选标准 9/37
§7.3估计量的评选标准 例1设总体X在0，上服从均匀分布，参数0>0， X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试证明2灭和 n+1 -max(X1,X2,.,Xn)都是0的无偏估计. n 证 因为E(2X=2E(X=2E(W)=2×9=8, 所以2又是0的无偏估计量. 因为Xm=max(X1,X2,.,Xn)的概率密度为 nx"-1 0≤x≤0 f(x)= gn, 0, 其它 10/37
max( , , , ) . 1 , , , 2 [0, ] , 0, 1 2 1 2 都是 的无偏估计 是来自总体 的样本，试证明 和 设总体 在 上服从均匀分布 参数 n n X X X n n X X X X X X 证 因为 E(2X) 2E(X) 2E(X) , 2 2 所以 2X 是 的无偏估计量. 因为 X(n) max(X1, X2 ,, Xn )的概率密度为 0, 其它 , 0 ( ) 1 x nx f x n n 例1 §7.3 估计量的评选标准 10/37
§7.3估计量的评选标准 所以(X。=g n+1 改有件x小=a 故”+max(X,X,X,)也是6的无偏估计量. 11/37
dx nx E X n n n 0 ( ) 所以 ( ) , 1 nn , ( ) X n nn E 1 故有 max( , , , ) . 1 故 X1 X2 Xn 也是 的无偏估计量 n n §7.3 估计量的评选标准 11/37