知识点回顾第一章 随机现象 统计规律性 随机试验 1.相同条件下可重复进行； 2.每次试验可能结果不止一个，但可以预知所有可能结果； 3.每次试验前不能预知哪一个结果出现 样本空间 (映射) 随机变量 (取值) →总体 S X N (最基本的概念) (单值实值函数) (取自X的全部可能试验观察值) 随机事件 随机事件 部分个体 (子集，S,基本事件) (子集) (简单随机样本) 概率空间（样本空间S,事件域F,事件的概率P) 关系：包含，相等，和事件，积事件，差事件，互不相容，逆事件（对立事件） 事件间的关 系和运算 描述：元素考察法；韦恩图法 运算：交换律；结合律；分配律；德摩根律
知识点回顾-第一章 随机现象 统计规律性 随机试验 1.相同条件下可重复进行； 2.每次试验可能结果不止一个，但可以预知所有可能结果； 3.每次试验前不能预知哪一个结果出现 样本空间 S 随机变量 X 总体 N (最基本的概念) (单值实值函数) (取自X的全部可能试验观察值) 随机事件 (子集，f，S，基本事件) 随机事件 (子集) 部分个体 (简单随机样本) 事件间的关 系和运算 关系：包含，相等，和事件，积事件，差事件，互不相容，逆事件(对立事件) 描述：元素考察法；韦恩图法 运算：交换律；结合律；分配律；德·摩根律 (映射) (取值) 概率空间(样本空间S, 事件域F, 事件的概率P)
知识点回顾-第一章 频率的稳定值（伯努利大数定律） 1°非负性；2°规范性；3°可列可加性 -1°P()=0;2°有限可加性PA1UA2U.UAn)=PA1)+PA2)+.十PA); 概率的公理化定义 3°包含关系P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)2P4): 4°P40s1;5°P(A)=1-P4A): 6°加法公式P(AUB)=P(十P(B)一P(AB) -1°随机变量及其分布 概率的计算 -2°古典概型至少.；放回和不放回抽样；超几何分布；抽签问题；生日问题 -3°几何概型 -4°小概率事件和实际推断原理参数估计和假设检验等的原理 TP定义ABA=,AA0,相当于样本空间为4 一2°乘法定理 条件概率 设P(A)>0,则有PAB)=P(A)P(B4) 3°全概率公式 (①BB=中，i,j=1,2,n; 划分 (ii)B1UB2 U.UB=S P(A)=P(A B1)P(B1)+P(A B2)P(B2)+.+P(A B)P(B) 4°贝叶斯公式后验概率 P(AB)P(B) P(BiA)= ,i=1,2,n 独立性，个事件的独立性和两两相互独立 P(AIB)P(B)
知识点回顾-第一章 概率的公理化定义 频率的稳定值(伯努利大数定律) 概率的计算 1°非负性；2°规范性；3°可列可加性 1°P(Φ)=0；2°有限可加性P(A1∪A2∪.∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋.＋P(An)； 3°包含关系 P(B－A)＝P(B)－P(A)，P(B)³P(A)； 4°P(A)£1；5°P( )=1－P(A)； 6°加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) A 1°随机变量及其分布 2°古典概型 至少. ;放回和不放回抽样;超几何分布;抽签问题;生日问题 4°小概率事件和实际推断原理 参数估计和假设检验等的原理 条件概率 1°定义 P(B|A)＝ ( ) ( ) P A P AB ，P(A)>0，相当于样本空间为SA 2°乘法定理 设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B|A) 3°全概率公式 (i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，.，n； (ii) B1∪B2∪.∪Bn=S 划分 P(A)＝P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+ .+ P(A|Bn) P(Bn) 4°贝叶斯公式 后验概率 P(Bi|A)= ，i＝1，2，.，n n i i i i i P A B P B P A B P B 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) 独立性，n个事件的独立性和两两相互独立 3°几何概型
知识点回顾-第二章 X落在区间（一o,x)上的概率 不减函数、右连续性 随机变量X的分布 求解分布函数，概率密度要讨 分布函数Fx 论区间（一o∞，上的全部情况 -(0-1)分布 一次伯努利试验P(4) 离散型：分布律 二项分布X~b(np)最值 n重伯努利试验，A发生的次数 泊松分布X)问题 某确定时间段内A发生的次数 超几何分布X~H,D,) 不放回抽样时A发生次数的概率，而二项分布相当于放回 均匀分布XU(a,b) 连续型：概率密度 指数分布，无记忆性 事件发生的时间间隔 正态分布X-N(4d) 多种随机因素综合作用 图象特性 1°X-N(0,1),gx)概率密度函数 随机变量X的函数的分布一般步骤 表达式 2°分布函数Fx)=1一F(一x) 已知c),Y=g(X),求fy) 标准正态分布 3°Z=(X-/cN0,1) 1°先写出Y的分布函数定义式：F)=P{Y} 4°3o准则 其它需了解的分布 由Y=g)确定Y的值域，当不在值域范围内时单独讨论 5°上分位点 对数正态分布 分布 2°将Y=g(X代入上式 =P(g(X)S) 分布 3°由g(X)S求解X的范围 =Pg()sy表示为y的形式 Weibull分布 4°由X的分布函数Fxx)表示以上概率，得到关于y的表达式Fy),其原自变量x用关于y的表达式来代 5°求导得fy)=dFy)/
随机变量X的分布 分布函数F(x) 离散型：分布律 连续型：概率密度 (0－1)分布 二项分布 X~b(n,p) 泊松分布 X~p(l) 最值 问题 均匀分布 X~U(a,b) 指数分布，无记忆性 正态分布 X~N(m, s 2 ) 图象特性 表达式 标准正态分布 1° X~N(0，1)，j(x)概率密度函数 2° 分布函数F(x)＝1－F(－x) 3° Z＝(X-m)/s~N(0，1) 4° 3s准则 5° 上a分位点 X落在区间(－,x)上的概率 不减函数、右连续性 求解分布函数，概率密度要讨 论区间(－,)上的全部情况 随机变量X的函数的分布一般步骤 已知fX(x)，Y=g(X)，求fY(y) 1°先写出Y的分布函数定义式：FY(y)＝P{Y£y} 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论 2°将Y=g(X)代入上式 ＝P{g(X)£y} 3°由g(X)£y求解X的范围 ＝P{X|g(X)£y} 表示为y的形式 4°由X的分布函数FX(x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY(y)，其原自变量x用关于y的表达式来代 5°求导得fY(y)＝dF(y)/dy 一次伯努利试验 P(A) n重伯努利试验，A发生的次数 某确定时间段内A发生的次数 事件发生的时间间隔 多种随机因素综合作用 其它需了解的分布 对数正态分布 G分布 b分布 Weibull分布 超几何分布X~H(n, D, N) 不放回抽样时A发生次数的概率，而二项分布相当于放回 知识点回顾-第二章
知识点回顾第三章 二维随机变量（区，）：X=X,Y-Y{.X和Y之间存在相互关系 二维随机变量区，)的分布主要讨论四种关系 1°作为整体的联合分布 X和Y的联合分布函数) X和Y的联合分布律 凡wyW-PX≤， P=xY=y州=P防，ij户1,2，. F(x,y)=∑∑Pg 所有的分布律 xy不减函数、右连续性 ,≤ry, 和概率密度共 X和Y的联合概率密度c) 有的性质：非 O<Fx,y)s1 负性、规范性 落在矩形区域的橘率 F(x.y)=f(u.v)dudy 一2°整体与分量的关系，边缘分布 X的边缘分布律p: X的边缘分布函数Fx=凡，网 Y的边缘分布律P Y的边缘分布函数F=凡oy) X的边缘概率密度) fx()=[f(x.y)dy Y的边缘概率密度∫) f(y)=[f(x,y)dx 一3°X,Y之间的条件关系，条件分布 条件分布律 条件概率密度 作为条件的概率不为0时或者y的取值范围 三要素 条件概率的表达式：联合/边缘 定义域或x范围
知识点回顾-第三章 二维随机变量 (X,Y): X=X{e}, Y=Y{e}. X和Y之间存在相互关系 二维随机变量(X,Y)的分布主要讨论四种关系 1 作为整体的联合分布 3 X,Y之间的条件关系，条件分布 所有的分布律 和概率密度共 有的性质：非 负性、规范性 2 整体与分量的关系，边缘分布 X和Y的联合分布函数F(x,y) F(x,y)=P{X£x,Y£y} x,y不减函数、右连续性 0£F(x,y)£1 落在矩形区域的概率 X和Y的联合分布律 P{X＝xi , Y＝yj}＝pij , i, j=1,2, . £ £ x x y y ij i j F(x, y) p X和Y的联合概率密度 f(x,y) y x F(x, y) f (u,v)dudv X的边缘分布函数FX(x)=F(x,) Y的边缘分布函数FY(y)=F(,y) X的边缘分布律 pi· Y的边缘分布律 p·j X的边缘概率密度fX(x) Y的边缘概率密度fY(y) f x f x y dy X ( ) ( , ) f y f x y dx Y ( ) ( , ) 条件分布律 条件概率密度 三要素 作为条件的概率不为0时j或者y的取值范围 条件概率的表达式：联合/边缘 定义域i或x范围
第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 9§3.3条件分布 。§3.4相互独立的随机变量 9§3.5两个随机变量的函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 条件分布 §3.4 相互独立的随机变量 §3.5 两个随机变量的函数的分布
第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 §3.3条件分布 9§3,4相互独立的随机变量 。§3.5两个随机变量的函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 条件分布 §3.4 相互独立的随机变量 §3.5 两个随机变量的函数的分布
§3.4相互独立的随机变量 定义：设Fxy)及Fc)和Fy)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有xy有 P{X≤，YS}=P{X≤PY百y}, 即Fy)=Fxc)FO) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y),y)及f心)和fy)分别为其 概率密度和边缘概率密度：X和Y相互独立的条件等价于 c)=心f)几乎处处成立 。几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合（点， 线)以外，处处成立
§3.4 相互独立的随机变量 定义： 设F(x,y)及FX (x)和FY (y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}P{Y≤y}， 即 F(x,y)＝FX (x)FY (y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y)，f(x,y)及fX (x)和fY (y)分别为其 概率密度和边缘概率密度： X和Y相互独立的条件等价于 f(x,y)＝fX (x)fY (y)几乎处处成立 几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合(点， 线)以外，处处成立
§3.4相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y),X和Y相互独立 的条件等价于PX=,Y=y=PX=PY =y}对于X和Y的所有可能取值（心y)都成立， 或记为p=pp)i,j=1,2,. ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便
§3.4 相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y)，X和Y相互独立 的条件等价于P{X＝xi ,Y＝yj }＝P{X＝xi }P{Y ＝yj }对于X和Y的所有可能取值(xi ,yj )都成立， 或记为pij＝pi•p•j，i，j＝1，2，. ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便
§3.4相互独立的随机变量 例1已知(X,Y)的分布律为 (X,Y)(1,10(1,2)(1,3) (2,10 (2,2)(2,3) B (1)求a与应满足的条件， (2)若X与Y相互独立，求a与B的值. 解将(X,Y)的分布律改写为
(X,Y ) ij p (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 6 1 9 1 18 1 3 1 a b 解 将 (X,Y)的分布律改写为 例1 已知(X,Y)的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件 a b a b X Y §3.4 相互独立的随机变量
§3.4相互独立的随机变量 2 3 P。=P{X=x} 1 1 1 6 9 18 3 1 2 3 a B 3+a+B 1 1 卫=P=y I- +0 2 9 +B 18 3+a+B (由分布律的性质知a≥0P≥0，号+a+日=l 故a与B应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 3
(1)由分布律的性质知 a ³ 0, b ³ 0, 1, 3 2 a b . 3 1 故a与b应满足的条件是:a ³ 0, b ³ 0 且a b X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1 a b { } i i p P X x 3 1 a b 3 1 { } j j p P Y y 2 1 a 9 1 b 18 1 a b 3 2 §3.4 相互独立的随机变量