第二章矩阵及其运算 使学生掌握矩阵的概念,了解矩阵概念产生的背景,使学生掌握矩阵的加、减、数乘 乘法、的运算及运算律 的 苏 矩阵的概念、运算及运算律 矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质 学 矩阵的乘法及其运算律 难 逆矩阵的概念、性质 点 教学过程 (一)内容简介 (二)新课 第一节矩阵 1.先给出矩阵的定义 定义:A=(a)mn或An=(ay) (1) 再依次介绍实矩阵、复矩阵、n阶方阵4、行矩阵(行向量)、列矩阵(列向量)、单位 矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵O(强调不同阶的零矩阵不同)。 2.实际问题中的矩阵表达(学习矩阵的意义) 例15个城市间的单项航线(有向图)可用0,1矩阵表示。 例2某经济系统有三个企业:煤矿、电厂和铁路。在一年内,企业间的直接消耗系数可 用矩阵表示。 例3某厂有新产品,市场推销策略有S1、S2、S3三种,市场需求情况有大、中、小三 种,分别用N1、N2、3来表示。其效益可用矩阵表示。 例4n各变量,xn到m个变量,yn的线性变换(2)一一对应A=(a)n(2'):恒等变 换对应的矩阵E=(⑥,)m叫做单位阵:相似变换对应的矩阵A=dg(元1,n)叫做对角阵。 说明可用矩阵来研究线性变换,给定一个线性变换便给定了一个矩阵:给定一个矩阵 换。 ”矩阵的加法、负矩阵、减法 定义:(加法)见P26。同型矩阵才有加法,加法满足交换律、结合律。 给出负矩阵的定义,并由此定义矩阵的减法 矩阵的数乘 数与矩阵的乘法) 定义:(数乘)见P27
4 第二章 矩阵及其运算 教 学 目 的 使学生掌握矩阵的概念,了解矩阵概念产生的背景,使学生掌握矩阵的加、减、数乘、 乘法、的运算及运算律。 教 学 重 点 矩阵的概念、运算及运算律 矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质 教 学 难 点 矩阵的乘法及其运算律 逆矩阵的概念、性质 教 学 过 程 (一) 内容简介 (二) 新课 第一节 矩阵 1.先给出矩阵的定义 定义: A = aij mn ( ) 或 Amn = aij mn ( ) (1) 再依次介绍实矩阵、复矩阵、 n 阶方阵 An 、行矩阵(行向量)、列矩阵(列向量)、单位 矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵 Omn (强调不同阶的零矩阵不同)。 2.实际问题中的矩阵表达(学习矩阵的意义) 例 1 5 个城市间的单项航线(有向图)可用 0,1 矩阵表示。 例 2 某经济系统有三个企业:煤矿、电厂和铁路。在一年内,企业间的直接消耗系数可 用矩阵表示。 例 3 某厂有新产品,市场推销策略有S1、S2、S3 三种,市场需求情况有大、中、小三 种,分别用N1、N2、N3 来表示。其效益可用矩阵表示。 例 4 n 各变量 n x , , x 1 到 m 个变量 y1 , , ym 的线性变换(2)一一对应 A = aij mn ( ) ( 2 );恒等变 换对应的矩阵 E = ij nn ( ) 叫做单位阵;相似变换对应的矩阵 ( , , ) A = diag 1 n 叫做对角阵。 说明可用矩阵来研究线性变换,给定一个线性变换便给定了一个矩阵;给定一个矩阵, 便给定了一个线性变换。 第二节 矩阵的运算 一 矩阵的加法、负矩阵、减法 定义:(加法) 见 P26。同型矩阵才有加法,加法满足交换律、结合律。 给出负矩阵的定义,并由此定义矩阵的减法。 二 矩阵的数乘(数与矩阵的乘法) 定义:(数乘)见 P27
数乘满足结合律和两个分配律。 矩阵与矩阵的乘法 先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。 再给出两个矩阵相乘的定义 定义:(矩阵的乘法)见P27。 特别地,xs矩阵(a1,aa,a)与sx1矩阵(,6g了之积是一个数。即AB=C的元素 n就是A的第i行与B的第)列之积。 要掌握矩阵乘法的规律,应该注意以下几点: (1)两个矩阵相乘,只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘: (2)C=AB的行数等于A的行数,列数等于B的列数: (3)C=AB的)元等于A的第i行的每个元与B的第j列的对应元乘积之和: (4)与数的乘法不同,矩阵乘法不满足交换律,相乘的顺序不能随意颠倒。 举例说明矩阵乘法不满足交换律:①AB有意义,BA未必有意义:②AB与B4都有意义时 它们未必是同型的,即使是同型的也未必相等。 由此例还知A≠O,B≠O时,可以AB=0,即矩阵的乘法不满足消去律。 单位矩阵在矩阵乘法中的作用:EmAm=Anm,AnEn=Am。 矩阵的乘法 例1设4“、 da.d4oa)4.an 则有4= .AC= dnai.dnen气24aal.amJ 由此可知:矩阵A左乘对角阵,等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元;矩阵A右乘对角阵C, 等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元 有了矩阵的乘法,可以定义矩阵的乘幂。设A是阶方阵,定义 4=44=4,=424,4“=4-A 只有方阵,方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律,因此一般情况下 (4BB。 矩阵的转置 定义概念:(1)矩阵的转置:(2)对称阵:(3)反对称阵。 矩阵的转置满足四条性质。 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节逆矩阵 逆方阵的概念
5 数乘满足结合律和两个分配律。 三 矩阵与矩阵的乘法 先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。 再给出两个矩阵相乘的定义。 定义:(矩阵的乘法) 见 P27。 特别地, 1s 矩阵 ( , , , ) ai1 ai2 ais 与 s1 矩阵 T b j b j bsj ( , , , ) 1 2 之积是一个数。即 AB = C 的元素 ij c 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列之积。 要掌握矩阵乘法的规律,应该注意以下几点: (1) 两个矩阵相乘,只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘; (2) C=AB 的行数等于 A 的行数,列数等于 B 的列数; (3) C=AB 的 (i, j) 元等于 A 的第 i 行的每个元与 B 的第 j 列的对应元乘积之和; (4) 与数的乘法不同,矩阵乘法不满足交换律,相乘的顺序不能随意颠倒。 举例说明矩阵乘法不满足交换律: AB 有意义, BA 未必有意义; AB 与 BA 都有意义时 它们未必是同型的,即使是同型的也未必相等。 由此例还知 A O, B O 时,可以 AB = O ,即矩阵的乘法不满足消去律。 单位矩阵在矩阵乘法中的作用: Em Amn = Amn AmnEn = Amn , 。 矩阵的乘法 例 1 设 = = = n n n n n n C d d B a a a a A 0 0 , 0 0 , 1 1 1 11 1 则有 = = n n nn n n n n n nn n a a a a AC d a d a d a d a BA 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 , 由此可知:矩阵A左乘对角阵,等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元;矩阵A右乘对角阵C, 等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元。 有了矩阵的乘法,可以定义矩阵的乘幂。设A是n阶方阵,定义 A A A AA A A A A A A 1 2 3 2 k k 1 , , , , − = = = = 只有方阵,方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律,因此一般情况下 k k k (AB) A B 。 矩阵的转置 定义概念:(1)矩阵的转置;(2)对称阵;(3)反对称阵。 矩阵的转置满足四条性质。 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节 逆矩阵 逆方阵的概念
对从变量,2,xn到变量,2,yn的线性变换(1.6),利用矩阵的乘法,可以记为 y=X(1.7)。这里A是n阶方阵,如果可由(1.6)解出,x2,xn,得到唯一的表达 式(1.8),那么,可以得到一个从,2,yn到x,2,xn的线性变换,称此线性变换为(1.6) 的逆变换,(1.8)可记为X=BY(1.9)。 )(00 由(1.7)和(1.9)两式得 B-F] -BY=B(4 →AB=BA=E。 定义对A,若B,使AB=BA=E,则称A可逆,B称为A的逆。 逆阵存在时一定唯一:B=BE=BAC=EC=C;记A1=B。 定义对于n阶方阵A,如果矩阵A的逆矩阵存在,则称A是可逆的:如果A的逆阵不 存在,则称A是不可逆的。 逆方阵的性质 性质1如果A可逆,则A有唯一的逆方阵,记为。 性质2如果矩阵A可逆,且AB=E,则必有A=E:如果矩阵A可逆,且BA=E,则必有B=E 推论:若AB=E或BA=E,则B=AP。 例2设n阶矩阵A,B满足A+B=AB,证明4-E可逆。 例3己知n阶矩阵A满足24A-)=户,证明E-A可逆。 例4已知矩阵A满足P+2A-3E=0,求(4+4)。 性质3如果阶方阵A,B都可逆,则AB可逆,并且(AB)l=Br。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况,即44,)1=4。 性质4如果方阵A可逆,则A可逆,而且-A。 性质5如果方阵A可逆,则A的每一行都不能全为零,A的每一列也都不能全为零 性质6如果方阵A可逆,则可逆,且(=(y。 结论:n阶方阵A,B满足AB=E的充分必要条件为A,B都可逆,且A'=B,B=A。 窗《2w32的为三助库,功玖单位床,已知52B,: 求(4-E。 例2设A,B,A+B均为n阶可逆阵,证明 (1)A+B可逆,且(+B=MA+BB: (2)4A+BB=BA+BA
6 对从变量 n x , x , , x 1 2 到变量 n y , y , , y 1 2 的线性变换(1.6),利用矩阵的乘法,可以记为 Y = AX (1.7)。 这里 A 是 n 阶方阵,如果可由(1.6)解出 n x , x , , x 1 2 ,得到唯一的表达 式(1.8),那么,可以得到一个从 n y , y , , y 1 2 到 n x , x , , x 1 2 的线性变换,称此线性变换为(1.6) 的逆变换,(1.8)可记为 X = BY (1.9)。 由(1.7)和(1.9)两式得 AB BA E X BY B AX BA X BA E Y AX A BY AB Y AB E = = = = = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 。 定义 对 A ,若 B ,使 AB= BA= E ,则称 A 可逆, B 称为 A 的逆。 逆阵存在时一定唯一: B = BE = B(AC) = EC = C ;记 A = B −1 。 定义 对于 n 阶方阵 A,如果矩阵 A 的逆矩阵存在,则称 A 是可逆的;如果 A 的逆阵不 存在,则称 A 是不可逆的。 逆方阵的性质 性质 1 如果 A 可逆,则 A 有唯一的逆方阵,记为 −1 A 。 性质2 如果矩阵A可逆,且 AB = E ,则必有 BA = E ;如果矩阵A可逆,且 BA = E ,则必有 AB = E 。 推论:若 AB= E 或 BA= E ,则 −1 B = A 。 例 2 设 n 阶矩阵 A,B 满足 A+ B = AB ,证明 A− E 可逆。 例 3 已知 n 阶矩阵 A 满足 3 2A(A − E) = A ,证明 E − A 可逆。 例 4 已知矩阵 A 满足 2 3 0 2 A + A− E = ,求 1 ( 4 ) − A + E 。 性质 3 如果n阶方阵A,B都可逆,则AB可逆,并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况,即 2 1 1 1 1 2 (A A An ) An A A − − = 。 性质 4 如果方阵A可逆,则 −1 A 可逆,而且 A = A −1 −1 ( ) 。 性质 5 如果方阵A可逆,则A的每一行都不能全为零,A的每一列也都不能全为零。 性质 6 如果方阵A可逆,则 TA 可逆,且 T T (A ) (A ) −1 −1 = 。 结论:n阶方阵A,B满足AB=E的充分必要条件为A,B都可逆,且 A = B B = A −1 −1 , 。 例 1 (2003 数四)设A,B均为三阶矩阵,E为三阶单位阵,已知AB=2A+B, = 2 0 2 0 4 0 2 0 2 B , 求 1 ( ) − A − E 。 例 2 设A,B,A+B均为n阶可逆阵,证明 (1) −1 −1 A + B 可逆,且 A B A A B B 1 1 1 1 ( ) ( ) − − − − + = + ; (2) A A B B B A B A 1 1 ( ) ( ) − − + = +
第四节分块矩阵 1. 分块矩阵的概念 2.分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算 ①分块矩阵的加法:(要求A,B有相同的分块法): ②分块矩阵的数乘: ③分块矩阵的乘法:,Bm。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致: A=(4)m,Bm=(B,m,则AB=(Cgm,其中C,=∑4tBg,f=12,5,j=12,r。 ④分块矩阵的转置:A=(4),A=(4写) 3.分块对角矩阵 设4为方阶矩阵(1=12,s),则矩阵4=日 为分块对角阵 分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。 国对角阵八。、A左、右乘4时,相应法则是左乘变行、右乘变列。 如(仁:)-(,)其中F满秩矩阵,由满秩阵的性质,F可表示成有限个初等 矩阵之积,即1是对矩阵1进行初等行变换的结果。类似地4F是对矩阵4,进行列变换 的结果。 总结本次课所讲主要内容 布置作业
7 第四节 分块矩阵 1.分块矩阵的概念 2.分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算 分块矩阵的加法:(要求 A, B 有相同的分块法); 分块矩阵的数乘; 分块矩阵的乘法: Aml Bln , 。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致: Aml = Aij st Bln = Bij tr ( ) , ( ) ,则 AB= Cij sr ( ) ,其中 = = t k Cij Aik Bkj 1 ,i = 1,2, ,s , j =1,2, ,r 。 分块矩阵的转置: A = Aij sr ( ) , r s T ij T A = A ( ) 3.分块对角矩阵 设 Aii 为 i r 阶矩阵( i = 1,2, ,s ),则矩阵 = = ss Ass A A O O A O A O A O A 22 11 22 11 0 为分块对角阵。 分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。 对角阵 m 、 n 左、右乘 Amn 时,相应法则是左乘变行、右乘变列。 如 = 21 22 11 12 21 22 11 21 0 0 FA FA A A A A A A F E ,其中 F 满秩矩阵,由满秩阵的性质,F 可表示成有限个初等 矩阵之积,即 FA21 是对矩阵 A21 进行初等行变换的结果。类似地 A12F 是对矩阵 A12 进行列变换 的结果。 总结本次课所讲主要内容 布置作业