海南大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 使学生掌握矩阵的概念，了解矩阵概念产生的背景，使学生掌握矩阵的加、减、数乘 乘法、的运算及运算律 的 苏 矩阵的概念、运算及运算律 矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质 学 矩阵的乘法及其运算律 难 逆矩阵的概念、性质 点 教学过程 (一)内容简介 (二)新课 第一节矩阵 1.先给出矩阵的定义 定义：A=(a）mn或An=(ay) (1) 再依次介绍实矩阵、复矩阵、n阶方阵4、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、单位 矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵O(强调不同阶的零矩阵不同)。 2.实际问题中的矩阵表达（学习矩阵的意义） 例15个城市间的单项航线（有向图）可用0,1矩阵表示。 例2某经济系统有三个企业：煤矿、电厂和铁路。在一年内，企业间的直接消耗系数可 用矩阵表示。 例3某厂有新产品，市场推销策略有S1、S2、S3三种，市场需求情况有大、中、小三 种，分别用N1、N2、3来表示。其效益可用矩阵表示。 例4n各变量，xn到m个变量，yn的线性变换(2)一一对应A=(a)n(2'):恒等变 换对应的矩阵E=(⑥，)m叫做单位阵：相似变换对应的矩阵A=dg(元1，n)叫做对角阵。 说明可用矩阵来研究线性变换，给定一个线性变换便给定了一个矩阵：给定一个矩阵 换。 ”矩阵的加法、负矩阵、减法 定义：（加法）见P26。同型矩阵才有加法，加法满足交换律、结合律。 给出负矩阵的定义，并由此定义矩阵的减法 矩阵的数乘 数与矩阵的乘法) 定义：（数乘）见P27

4 第二章 矩阵及其运算 教 学 目 的 使学生掌握矩阵的概念，了解矩阵概念产生的背景，使学生掌握矩阵的加、减、数乘、 乘法、的运算及运算律。 教 学 重 点 矩阵的概念、运算及运算律 矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质 教 学 难 点 矩阵的乘法及其运算律 逆矩阵的概念、性质 教 学 过 程 （一） 内容简介 （二） 新课 第一节 矩阵 1．先给出矩阵的定义 定义： A = aij mn ( ) 或 Amn = aij mn ( ) （1） 再依次介绍实矩阵、复矩阵、 n 阶方阵 An 、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、单位 矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵 Omn （强调不同阶的零矩阵不同）。 2．实际问题中的矩阵表达（学习矩阵的意义） 例 1 5 个城市间的单项航线（有向图）可用 0，1 矩阵表示。 例 2 某经济系统有三个企业：煤矿、电厂和铁路。在一年内，企业间的直接消耗系数可 用矩阵表示。 例 3 某厂有新产品，市场推销策略有S1、S2、S3 三种，市场需求情况有大、中、小三 种，分别用N1、N2、N3 来表示。其效益可用矩阵表示。 例 4 n 各变量 n x , , x 1  到 m 个变量 y1 ,  , ym 的线性变换（2）一一对应 A = aij mn ( ) （ 2 ）；恒等变 换对应的矩阵 E = ij nn ( ) 叫做单位阵；相似变换对应的矩阵 ( , , ) A = diag 1  n 叫做对角阵。 说明可用矩阵来研究线性变换，给定一个线性变换便给定了一个矩阵；给定一个矩阵， 便给定了一个线性变换。 第二节 矩阵的运算 一 矩阵的加法、负矩阵、减法 定义：（加法） 见 P26。同型矩阵才有加法，加法满足交换律、结合律。 给出负矩阵的定义，并由此定义矩阵的减法。 二 矩阵的数乘（数与矩阵的乘法） 定义：（数乘）见 P27

数乘满足结合律和两个分配律。 矩阵与矩阵的乘法 先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。 再给出两个矩阵相乘的定义 定义：（矩阵的乘法）见P27。 特别地，xs矩阵(a1,aa,a)与sx1矩阵(，6g了之积是一个数。即AB=C的元素 n就是A的第i行与B的第)列之积。 要掌握矩阵乘法的规律，应该注意以下几点： (1)两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘： (2)C=AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数： (3)C=AB的)元等于A的第i行的每个元与B的第j列的对应元乘积之和： (4)与数的乘法不同，矩阵乘法不满足交换律，相乘的顺序不能随意颠倒。 举例说明矩阵乘法不满足交换律：①AB有意义，BA未必有意义：②AB与B4都有意义时 它们未必是同型的，即使是同型的也未必相等。 由此例还知A≠O,B≠O时，可以AB=0,即矩阵的乘法不满足消去律。 单位矩阵在矩阵乘法中的作用：EmAm=Anm,AnEn=Am。 矩阵的乘法 例1设4“、 da.d4oa）4.an 则有4= .AC= dnai.dnen气24aal.amJ 由此可知：矩阵A左乘对角阵，等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元；矩阵A右乘对角阵C, 等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元 有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的乘幂。设A是阶方阵，定义 4=44=4,=424,4“=4-A 只有方阵，方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下 (4BB。 矩阵的转置 定义概念：(1)矩阵的转置：(2)对称阵：(3)反对称阵。 矩阵的转置满足四条性质。 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节逆矩阵 逆方阵的概念

5 数乘满足结合律和两个分配律。 三 矩阵与矩阵的乘法 先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。 再给出两个矩阵相乘的定义。 定义：（矩阵的乘法） 见 P27。 特别地， 1s 矩阵 ( , , , ) ai1 ai2  ais 与 s1 矩阵 T b j b j bsj ( , , , ) 1 2  之积是一个数。即 AB = C 的元素 ij c 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列之积。 要掌握矩阵乘法的规律，应该注意以下几点： （1） 两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘； （2） C=AB 的行数等于 A 的行数，列数等于 B 的列数； （3） C=AB 的 (i, j) 元等于 A 的第 i 行的每个元与 B 的第 j 列的对应元乘积之和； （4） 与数的乘法不同，矩阵乘法不满足交换律，相乘的顺序不能随意颠倒。 举例说明矩阵乘法不满足交换律： AB 有意义， BA 未必有意义； AB 与 BA 都有意义时 它们未必是同型的，即使是同型的也未必相等。 由此例还知 A  O, B  O 时，可以 AB = O ，即矩阵的乘法不满足消去律。 单位矩阵在矩阵乘法中的作用： Em Amn = Amn AmnEn = Amn , 。 矩阵的乘法 例 1 设           =           =           = n n n n n n C d d B a a a a A   0 0 , 0 0 , 1 1 1 11 1       则有           =           = n n nn n n n n n nn n a a a a AC d a d a d a d a BA             1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 , 由此可知：矩阵A左乘对角阵，等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元；矩阵A右乘对角阵C， 等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元。 有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的乘幂。设A是n阶方阵，定义 A A A AA A A A A A A 1 2 3 2 k k 1 , , , , − = = =  = 只有方阵，方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下 k k k (AB)  A B 。 矩阵的转置 定义概念：（1）矩阵的转置；（2）对称阵；（3）反对称阵。 矩阵的转置满足四条性质。 总结本次课所讲主要内容 布置作业 第三节 逆矩阵 逆方阵的概念

对从变量，2，xn到变量，2，yn的线性变换(1.6)，利用矩阵的乘法，可以记为 y=X(1.7)。这里A是n阶方阵，如果可由(1.6)解出，x2,xn,得到唯一的表达 式(1.8)，那么，可以得到一个从，2，yn到x,2,xn的线性变换，称此线性变换为(1.6) 的逆变换，(1.8)可记为X=BY(1.9)。 )(00 由(1.7)和(1.9)两式得 B-F] -BY=B(4 →AB=BA=E。 定义对A,若B,使AB=BA=E,则称A可逆，B称为A的逆。 逆阵存在时一定唯一：B=BE=BAC=EC=C;记A1=B。 定义对于n阶方阵A,如果矩阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的：如果A的逆阵不 存在，则称A是不可逆的。 逆方阵的性质 性质1如果A可逆，则A有唯一的逆方阵，记为。 性质2如果矩阵A可逆，且AB=E,则必有A=E:如果矩阵A可逆，且BA=E,则必有B=E 推论：若AB=E或BA=E,则B=AP。 例2设n阶矩阵A,B满足A+B=AB,证明4-E可逆。 例3己知n阶矩阵A满足24A-)=户，证明E-A可逆。 例4已知矩阵A满足P+2A-3E=0,求(4+4)。 性质3如果阶方阵A,B都可逆，则AB可逆，并且(AB)l=Br。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即44，)1=4。 性质4如果方阵A可逆，则A可逆，而且-A。 性质5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零 性质6如果方阵A可逆，则可逆，且(=(y。 结论：n阶方阵A,B满足AB=E的充分必要条件为A,B都可逆，且A'=B,B=A。 窗《2w32的为三助库，功玖单位床，已知52B,: 求(4-E。 例2设A,B,A+B均为n阶可逆阵，证明 (1)A+B可逆，且(+B=MA+BB: (2)4A+BB=BA+BA

6 对从变量 n x , x , , x 1 2  到变量 n y , y , , y 1 2  的线性变换（1.6），利用矩阵的乘法，可以记为 Y = AX （1.7）。 这里 A 是 n 阶方阵，如果可由（1.6）解出 n x , x , , x 1 2  ，得到唯一的表达 式（1.8），那么，可以得到一个从 n y , y , , y 1 2  到 n x , x , , x 1 2  的线性变换，称此线性变换为（1.6） 的逆变换，（1.8）可记为 X = BY （1.9）。 由（1.7）和（1.9）两式得 AB BA E X BY B AX BA X BA E Y AX A BY AB Y AB E  = =       = = =  = = = =  = ( ) ( ) ( ) ( ) 。 定义 对 A ，若 B ，使 AB= BA= E ，则称 A 可逆， B 称为 A 的逆。 逆阵存在时一定唯一： B = BE = B(AC) = EC = C ；记 A = B −1 。 定义 对于 n 阶方阵 A，如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则称 A 是可逆的；如果 A 的逆阵不 存在，则称 A 是不可逆的。 逆方阵的性质 性质 1 如果 A 可逆，则 A 有唯一的逆方阵，记为 −1 A 。 性质2 如果矩阵A可逆，且 AB = E ，则必有 BA = E ；如果矩阵A可逆，且 BA = E ，则必有 AB = E 。 推论：若 AB= E 或 BA= E ，则 −1 B = A 。 例 2 设 n 阶矩阵 A，B 满足 A+ B = AB ，证明 A− E 可逆。 例 3 已知 n 阶矩阵 A 满足 3 2A(A − E) = A ，证明 E − A 可逆。 例 4 已知矩阵 A 满足 2 3 0 2 A + A− E = ，求 1 ( 4 ) − A + E 。 性质 3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB可逆，并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 。 这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即 2 1 1 1 1 2 (A A An ) An A A − − = 。 性质 4 如果方阵A可逆，则 −1 A 可逆，而且 A = A −1 −1 ( ) 。 性质 5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。 性质 6 如果方阵A可逆，则 TA 可逆，且 T T (A ) (A ) −1 −1 = 。 结论：n阶方阵A，B满足AB=E的充分必要条件为A，B都可逆，且 A = B B = A −1 −1 , 。 例 1 （2003 数四）设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位阵，已知AB=2A+B，           = 2 0 2 0 4 0 2 0 2 B ， 求 1 ( ) − A − E 。 例 2 设A，B，A+B均为n阶可逆阵，证明 （1） −1 −1 A + B 可逆，且 A B A A B B 1 1 1 1 ( ) ( ) − − − − + = + ； （2） A A B B B A B A 1 1 ( ) ( ) − − + = +

第四节分块矩阵 1. 分块矩阵的概念 2.分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算 ①分块矩阵的加法：（要求A,B有相同的分块法）： ②分块矩阵的数乘： ③分块矩阵的乘法：，Bm。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致： A=(4)m,Bm=(B,m,则AB=(Cgm,其中C,=∑4tBg,f=12,5,j=12,r。 ④分块矩阵的转置：A=(4),A=(4写) 3.分块对角矩阵 设4为方阶矩阵(1=12，s),则矩阵4=日 为分块对角阵 分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。 国对角阵八。、A左、右乘4时，相应法则是左乘变行、右乘变列。 如（仁：）-(，)其中F满秩矩阵，由满秩阵的性质，F可表示成有限个初等 矩阵之积，即1是对矩阵1进行初等行变换的结果。类似地4F是对矩阵4，进行列变换 的结果。 总结本次课所讲主要内容 布置作业

7 第四节 分块矩阵 1．分块矩阵的概念 2．分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算 分块矩阵的加法：（要求 A, B 有相同的分块法）； 分块矩阵的数乘； 分块矩阵的乘法： Aml Bln , 。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致： Aml = Aij st Bln = Bij tr ( ) , ( ) ，则 AB= Cij sr ( ) ，其中 = = t k Cij Aik Bkj 1 ，i = 1,2,  ,s , j =1,2,  ,r 。 分块矩阵的转置： A = Aij sr ( ) ， r s T ij T A = A  ( ) 3．分块对角矩阵 设 Aii 为 i r 阶矩阵（ i = 1,2,  ,s ），则矩阵               =               = ss Ass A A O O A O A O A O A        22 11 22 11 0 为分块对角阵。 分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。 对角阵 m 、 n 左、右乘 Amn 时，相应法则是左乘变行、右乘变列。 如         =                21 22 11 12 21 22 11 21 0 0 FA FA A A A A A A F E ，其中 F 满秩矩阵，由满秩阵的性质，F 可表示成有限个初等 矩阵之积，即 FA21 是对矩阵 A21 进行初等行变换的结果。类似地 A12F 是对矩阵 A12 进行列变换 的结果。 总结本次课所讲主要内容 布置作业