《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第四章 矩阵

第四章矩阵 S1矩阵的概念，$2矩阵的运算 教学目标掌握矩阵的概念、矩阵的运算及运算性质， 教学重点：矩阵的乘法及运算性质，。 教学方法：讲授法. 教学过程 $1矩阵的概念 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解，我们来介绍一些提出矩阵概念 的问题. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变 换的公式为 [x=x'cos0-y'sin0. (1) v=x'sine+ycose 其中0为轴x与X轴的夹角.显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的2×2矩阵 (cos0 -sin0 sine cos 表示出来通常矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵在空间的情形保持原点不动的仿射坐标系的变换有公 x=ax+ay'+az y=ax'+any'+a= (3) =aux'+any'+an=' 同样，矩阵 a21a2a23 4 就称为坐标变换(3)的矩阵 1。二次曲线的一般方程为 ax2+2bxy+cy+2dx+2ey+f=0 只要规定了x,y,1的次序，二次方程(5)的左端就可以简单地用矩阵

第四章矩阵 §1 矩阵的概念，§2 矩阵的运算 教学目标: 掌握矩阵的概念、矩阵的运算及运算性质. 教学重点: 矩阵的乘法及运算性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §1 矩阵的概念 为了使读者对矩阵的概念以及下面要讨论的问题的背景有些了解,我们来介绍一些提出矩阵概念 的问题. 在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴),那么平面直角坐标变 换的公式为 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +    (1) 其中  为轴 x 与 x  轴的夹角.显然,新旧坐标之间的关系,完全可以通过公式中系数所排成的 2 2  矩阵 cos sin sin cos       −     (2) 表示出来.通常,矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形,保持原点不动的仿射坐标系的变换有公 式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , , . x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z  = + +      = + +     = + +     (3) 同样,矩阵 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a           (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵. 1. 二次曲线的一般方程为 2 2 ax bxy cy dx ey f + + + + + = 2 2 2 0 (5) 只要规定了 x , y ,1 的次序,二次方程(5)的左端就可以简单地用矩阵

(a b d b ce (6) d e f 来表示，通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的事实上，矩阵（⑥）的 行列式就是解析几何中二次曲线的不变量I3,表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的 性质。 2.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说有s 个产地A,4,A和n个销地B,B,.,Bn,那么一个调运方案就可用一个矩阵 a1a2.an a1a2.am . （a,1a2.am 来表示，其中a,表示由产地A运到销地B,的数量。 4.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是I×n矩阵，n维列向量就是n×1矩阵。 以后我们用大写的拉丁字母AB.,或者(a,),(他)，.来代表矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把S×n矩阵写成A,Bn.,或者(a,)m,(亿)m,. 设A=(a)m,B=(，)k,如果m=1,n=k,且a,=b,对i=1,2,.,mj=1,2.,n都成立，我们 就说A=B.即只有完全一样的矩阵才叫做相等 S2矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系下面要定义的运算是矩 阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置 为了确定起见，我们取定一个数域P,以下所讨论的矩阵全是由数域P中的数组成的. 1加法 定义1设 1424m b。 =(a,)m a1a.a (b. 是两个s×n矩阵，则矩阵

a b d b c e d e f           (6) 来表示,通常,(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到,这种表示法不只是形式的.事实上,矩阵(6)的 行列式就是解析几何中二次曲线的不变量 3 I ,表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的 性质. 2. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如,假设在某一地区,某一种物资,比如说有 s 个产地 1 2 , , , A A A s 和 n 个销地 1 2 , , , B B B n ,那么一个调运方案就可用一个矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a             来表示,其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1n 矩阵, n 维列向量就是 n1 矩阵. 以后我们用大写的拉丁字母 A B, , ,或者 ( ),( ), ij ij a b 来代表矩阵. 有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把 s n 矩阵写成 , , A B sn sn ,或者 ( ) ,( ) , ij sn ij sn a b . 设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij mn ij lk ,如果 m l n k = = , ,且 ij ij a b = ,对 i m j n = = 1,2, , ; 1,2 , 都成立,我们 就说 A B= .即只有完全一样的矩阵才叫做相等. §2 矩阵的运算 现在我们来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义的运算是矩 阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见,我们取定一个数域 P ,以下所讨论的矩阵全是由数域 P 中的数组成的. 1.加法 定义 1 设 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n ij sn s s sn a a a a a a A a a a a       = =       , 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n ij sn s s sn b b b b b b B b b b b       = =       是两个 s n 矩阵,则矩阵

a1+61a2+b2.an+bn C=(Cy)=(ag+by)= 4+aa+b2.an+b2 44.4 a1+b1a2+ba.am+bn】 称为A和B的和，记为C=A+B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数由于矩阵的 加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法所以，不难验证，它有 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C: 交换律：A+B=B+A 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为0，在不致引起含混的时候，可简单地记为0.显然，对所有的 A,4+0=A 矩阵 -a11-a12-a1n -a1-a2.-an 称为矩阵A的负矩阵，记为-A.显然有A+(-4A)=0.矩阵的减法定义为A-B=A+(-B) 例在S1我们看到，某一种物资如果有3个产地，n个销地，那么一个调运方案就可表示为一个 s×n矩阵，矩阵中的元素am表示由产地A要运到销地B,的这种物资的数量，比如说吨数如果从这些 产地还有另一种物资要运到这些销地，那么，这种物资的调运方案也可表示为一个了×矩阵.于是从产 地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和 2蚕法 在给出乘法定义之前，我们先看一个引出矩阵乘法的问题 设x,本，x,x,和片，为是两组变量，它们之间的关系为 x=ay+ay+ay x,=ay+ay +anya 1 =4+a2+a 4=a4y+a42y2+a4y, 又如，52是第三组变量，它们与，为2，片的关系为： [片=b+252 h=b5+b52 为=b51+b252 ()(2)不难得出x,x,x与2，的关系

( ) ( ) C c a b = = + ij sn ij ij sn 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n s s s s sn sn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +   =       + + + 称为 A 和 B 的和,记为 C A B = + . 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的 加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以,不难验证,它有 结合律: A B C A B C + + = + + ( ) ( ) ; 交换律: A B B A + = + . 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 0sn ,在不致引起含混的时候,可简单地记为 0 .显然,对所有的 A , A A + =0 . 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a   − − −   − − −         − − − 称为矩阵 A 的负矩阵,记为 −A .显然有 A A + − = ( ) 0. 矩阵的减法定义为 A B A B − = + −( ). 例 在§1 我们看到,某一种物资如果有 s 个产地, n 个销地,那么一个调运方案就可表示为一个 s n 矩阵,矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运到销地 Bj 的这种物资的数量,比如说吨数.如果从这些 产地还有另一种物资要运到这些销地,那么,这种物资的调运方案也可表示为一个 s n 矩阵.于是从产 地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵.显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 2.乘法 在给出乘法定义之前,我们先看一个引出矩阵乘法的问题. 设 1 2 3 4 x x x x , , , 和 1 2 3 y y y , , 是两组变量,它们之间的关系为 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 4 41 1 42 2 43 3 , , , ,. x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y  = + +   = + +  = + +    = + + (1) 又如 1 2 z z, 是第三组变量,它们与 1 2 3 y y y , , 的关系为: 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , , . y b z b z y b z b z y b z b z  = +   = +   = + (2) 由(1),(2)不难得出 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 3 y y y , , 的关系:

-2-2a.24)-22a4 =22a422aAhu=124 (3) 如果我们用 =2c,5=1234 来表示x,2,x,x与三，52的关系，比较(3.(4，就有 6-20A,0=1234=12 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵A=(a)43,B=(亿)分别表示变量x,x,x与乃，乃2，》 以及片，乃2，片与1,52之间的关系那么表示，x,x,x与1,52之间的关系的矩阵C=(C,)2 就由公式(5)决定矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB 一般地我们有 定义2设A=(au)m,B=(亿g)m,那么矩阵C=(C)m,其中 Cy=aobu +apb:,++ab=anby (6 称为A与B的乘积，记为C=AB 例1设 034 10-12 05-14 -121 那么 10-12)034) -56 C=AB=-11-30 121 31-1 =102-6 （05-14-21-270 乘积的矩阵中各个元素是根据公式(6)得出的，例如，第二行第一列的元素10是矩阵A的第二行元 素与矩阵B的第一列对应元素乘积之和：(-1)×0+1×1+3×3+0×(-)=10，其余可类似得到. 例2如果A=(a4)m是一线性方程的系数矩阵，而

3 3 2 1 1 1 ( ) i ik k ik kj j k k j x a y a b z = = = = =    3 2 1 1 ik kj j k j a b z = = = 2 3 1 1 ik kj j j k a b z = = = 2 3 1 1 ( ) ( 1,2,3,4). ik kj j j k a b z i = = = =   (3) 如果我们用 2 1 ( 1,2,3,4). i ij j j x c z i = = =  (4) 来表示 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 z z, 的关系,比较(3),(4),就有 3 1 ( 1,2,3,4; 1,2). ij ik kj k c a b i j = = = =  (5) 用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵 43 32 ( ) , ( ) A a B b = = ik kj 分别表示变量 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 3 y y y , , 以及 1 2 3 y y y , , 与 1 2 z z, 之间的关系,那么表示 1 2 3 4 x x x x , , , 与 1 2 z z, 之间的关系的矩阵 42 ( ) C c = ij 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积,记为 C AB = . 一般地我们有 定义 2 设 ( ) , ( ) , A a B b = = ik sn kj nm 那么矩阵 ( ) , C c = ij sm 其中 1 1 2 2 1 , n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =  (6) 称为 A 与 B 的乘积,记为 C AB = . 例 1 设 1 0 1 2 1 1 3 0 0 5 1 4 A   −   = − −       − 0 3 4 1 2 1 , 3 1 1 1 2 1 B       =   −     − , 那么 C AB = 1 0 1 2 1 1 3 0 0 5 1 4   −   = − −       − 0 3 4 1 2 1 3 1 1 1 2 1         −     − 5 6 7 10 2 6 2 17 10   −   = −       − 乘积的矩阵中各个元素是根据公式(6)得出的,例如,第二行第一列的元素 10 是矩阵 A 的第二行元 素与矩阵 B 的第一列对应元素乘积之和: ( 1) 0 1 1 3 3 0 ( 1) 10 −  +  +  +  − = ,其余可类似得到. 例 2 如果 ( ) A a = ik sn 是一线性方程的系数矩阵,而

t. 分别是未知量和常数项所成的×1和s×I矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式AX=B 例3在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系x,片，到，一的坐标变换的矩阵为 au an as 8 如果令 那么坐标变换的公式可以写成X,=AK 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系（化2，乃2,2）到第三个坐标系(x,片，3)的坐标变 换公式为X2=BX,其中 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为C=AB 矩阵的乘法适合结合律设A=(a,),B=(b)m,C=(cu)m,我们证(AB)C=A(BC).令 V=AB=(va)m.W=BC=(wa) 其中 -2=2k=2m w=2a0=12.,x1=l2. 因为(AB)C=C的第1行第I列元素为 -Evc=(abar-abacu

1 2 n x x X x       =       1 2 , s b b B b       =       分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s1 矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵的等式 AX B = . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 1 1 1 x y z , , 到 2 2 2 x y z , , 的坐标变换的矩阵为 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =       , 如果令 1 1 1 1 x X y z     =       2 2 2 2 , x X y z     =       那么坐标变换的公式可以写成 1 2 X AX = . 如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系 2 2 2 ( , , ) x y z 到第三个坐标系 3 3 3 ( , , ) x y z 的坐标变 换公式为 2 3 X BX = , 其中 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , b b b B b b b b b b     =       3 3 3 3 . x X y z     =       那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C AB = . 矩阵的乘法适合结合律.设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij sn jk nm ( ) , C c = kl mr 我们证 ( ) AB C = A BC ( ). 令 ( ) , ( ) , V AB v W BC w = = = = ik sm jl nr 其中 1 ( 1,2, , ; 1,2, , ), n ik ik jk j v a b i s k m = = = =  1 ( 1,2, , ; 1,2, , ). m jl jk kt k w a c j n l r = = = =  因为 ( ) AB C = VC 的第 i 行第 l 列元素为 1 1 1 1 1 ( ) m m n m n jl ik kt ij jk kt ij jk kt k k j k j w v c a b c a b c = = = = = = = =     (7)

而A(BC)=AW的第i行第I列元素为 2a,=2a,2b-22a,bu 由于双重连加号可以交换次序，所以(7)与(8)的结果是一样的，这就证明了结合律 但是，矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来，AB≠BA 例如 4-(10-(1-88 而 a(1g-(别 在这个例子中我们还看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点由此，还 可得出矩阵乘法的消去律不成立即当AB=AC时不一定有B=C定义3主对角线上的元素全是1 其余元素全是0的n×n矩阵 10.0 01.0 00.1 称为n级单位矩阵，记为E。,在不致引起含混时简单写为￡.显然有 AnE=Au E,Au Au 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 M(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA. (10) 我们还可以定义矩阵的方幂，设A是一n×n矩阵，定义 A=A=.A 换句话说，就是k个A连乘当然，方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义由乘法的结合律，不难 证明 A=(A )A" 这里，是k,1任意正整数证明留给读者去做因为矩阵乘法不适合交换律，所以(AB)与AB一般地不

而 A BC AW ( ) = 的第 i 行第 l 列元素为 1 1 1 1 1 n n m n m ij jt ij jk kt ij jk kl j j k j k a w a b c a b c = = = = =     = = (8) 由于双重连加号可以交换次序,所以(7)与(8)的结果是一样的,这就证明了结合律. 但是,矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来, AB BA  . 例如 1 1 1 1 A   =     − − 1 1 , 1 1 B   − =     − , 1 1 1 1 AB   =     − − 1 1 1 1   −     − 0 0 , 0 0   =     而 1 1 1 1 BA   − =     − 1 1 1 1       − − 2 2 . 2 2   =     − − 在这个例子中我们还看到,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘法的一个特点.由此,还 可得出矩阵乘法的消去律不成立.即当 AB AC = 时不一定有 B C= .定义 3 主对角线上的元素全是 1, 其余元素全是 0 的 n n 矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1             称为 n 级单位矩阵,记为 E n ,在不致引起含混时简单写为 E .显然有 A E A sn n sn = , E A A s sn sn = . 矩阵的乘法和加法还适合分配律,即 A B C AB AC ( ) , + = + (9) ( ) . B C A BA CA + = + (10) 这两个式子的证明留给读者自己来作.应该指出,由于矩阵的乘法不适合交换律,所以(9)与(10)是两条不 同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂,设 A 是一 n n 矩阵,定义 1 1 , k k A A A A A + = =  换句话说, k A 就是 k 个 A 连乘.当然,方幂只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律,不难 证明 k l k l A A A + = , ( ) , k l kl A A 这里,是 kl, 任意正整数.证明留给读者去做.因为矩阵乘法不适合交换律,所以 ( )k AB 与 k k A B 一般地不

相等 3.数量乘法 定义4矩阵 kaka2.kan ka1ka2.ka ka1ka2.kan 称为矩阵A=(a,)m与数k的数量乘积记为k4. 不难验证，数量乘积适合以下的规律： (k+A=kA+IA (A+B)=KA+B, (12) k()=(A. (13) 14=A, (14) k(AB)=(kA)B=A(kB). (15) 我们只证明等式(15)，其余留给读者证明设A=(a)m,B=(bn)m,在k(AB),(k4)B,A(kB)中，亿，)的 元素依次为 k∑abna,b,=k∑a,ba,)=k2a,bn 显然它们是一样的，这就证明了等式(15)， 矩阵 (k0.0 =0k.0 (00.k 通常称为数量矩阵，作为15)的特殊情形，如果A是一n×n矩阵，那么有 kA=(kE)A=A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的.再有， kE+=(k+)E, 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法。 4转置 把一矩阵的A行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为A'.可确切地定义如下：

相等. 3.数量乘法 定义 4 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn ka ka ka ka ka ka ka ka ka             称为矩阵 ( ) A a = ij sn 与数 k 的数量乘积,记为 kA. 不难验证,数量乘积适合以下的规律: ( ) k l A kA lA + = + (11) k A B kA kB ( ) , +=+ (12) k lA kl A ( ) ( ) , = (13) 1 , A A = (14) k AB kA B A kB ( ) ( ) ( ). = = (15) 我们只证明等式(15),其余留给读者证明.设 ( ) , ( ) , A a B b = = ij sn jt nm 在 k AB kA B A kB ( ),( ) , ( ) 中,( , ) it 的 元素依次为 1 , n ij jt j k a b =  1 ( ) n ij jt j ka b =  = 1 , n ij jt j k a b =  1 ( ) n ij jt j a kb =  = 1 , n ij jt j k a b =  显然它们是一样的,这就证明了等式(15). 矩阵 0 0 0 0 0 0 k k kE k       =       通常称为数量矩阵,作为(15)的特殊情形,如果 A 是一 n n 矩阵,那么有 kA kE A A kE = = ( ) ( ). 这个式子说明,数量矩阵与所有的 n n 矩阵作乘法是可交换的.再有, kE lE k l E + = + ( ) , 这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4.转置 把一矩阵的 A 行列互换,所得到的矩阵称为 A 的转置,记为 A .可确切地定义如下:

定义5设 aia.am A= azaz.azm a1a2.am 所谓A的转置就是指矩阵 aa.am = ana2nam 显然，S×n矩阵的转置是n×s矩阵 矩阵的转置适合以下的规律： (4)=A, (16) (A+B)'=4+B'. (17) (AB)'=B'A', (18) kA'=k'. (19) (16)表示两次转置就还原，这是显然的.(17，(19)也很容易验证现在来看一下(18).设 aa.a） bb2.bm A=4ag.4n B= b1b2.b2n a1a2.amJ (bw1bx2.bnm 4B中化)的元素为立0，A所以(By中》的元素被是g,=立04：其次，B中的心)元 素是b,中(k,)的元素是a,因之，B”中(，)的元素即为 6-260,-26=6 故(18)成立

定义 5 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       所谓 A 的转置就是指矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n sn a a a a a a A a a a        =       显然, s n 矩阵的转置是 n s  矩阵 矩阵的转置适合以下的规律: ( ) , A A   = (16) ( ) , A B A B + = +    (17) ( ) , AB B A    = (18) kA kA   = . (19) (16)表示两次转置就还原,这是显然的.(17),(19)也很容易验证.现在来看一下(18).设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 n n N N nm b b b b b b B b b b       =       AB 中 ( , ) i j 的元素为 1 , n ik kj k a b =  所以 ( ) AB  中 ( , ) i j 的元素就是 ij c = 1 n jk ki k a b =  .其次, B 中的 ( , ) i k 元 素是 , ki b A 中 ( , ) k j 的元素是 , jk a 因之, BA  中 ( , ) i j 的元素即为 ' 1 n ij ki jk k c b a = =  1 . n jk ki ij k a b c = = =  故(18)成立. 作业: P202,习题 1 之 1),P204,习题 10. 预习: 下一节的基本概念

S3矩阵的乘积的行列式与秩S4矩阵的逆 教学目标掌握矩阵乘积的行列试与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、柜阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学重点：逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法 教学方法：讲授法 教学过程 S3矩阵的乘积的行列式与秩 定理1设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么 AB=A B. 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 证明这是第二章§8中己经证明了的结论 用数学归纳法，定理1不难推广到多个因子的情形，即有 推论1设A,A,.,An是数域P上的n×n矩阵，则 4,4,.,An=44A 定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的，如果4≠0；否则称为退化的. 然一 ×n矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于n 从定理1立刻推出 推论2设A,B是数域P上n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩我们有 定理2设A是数域P上n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，则 秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩 证明为了证明(2)，只需要证明秩(AB)≤秩(A),同时秩(AB)≤秩(B),现在来分别证明这两个

§3 矩阵的乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 教学目标: 掌握矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系、逆矩阵的概念与性质、 伴随矩阵的概念、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学重点: 逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充要条件与求逆矩阵的公式法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: §3 矩阵的乘积的行列式与秩 在这一节我们来看一下矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系. 关于乘积的行列式有 定理 1 设 A B, 是数域 P 上的两个 n n 矩阵,那么 AB A B = , 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明 这是第二章§8 中已经证明了的结论. 用数学归纳法,定理 1 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 1 设 1 2 , , , A A A m 是数域 P 上的 n n 矩阵,则 1 2 1 2 , , , A A A A A A m m = . 定义 6 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退化的,如果 A  0 ;否则称为退化的. 显然,一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 n . 从定理 1,立刻推出 推论 2 设 A B, 是数域 P 上 n n 矩阵,矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A B, 中至少有一个是 退化的. 关于矩阵乘积的秩,我们有 定理 2 设 A 是数域 P 上 n m 矩阵, B 是数域 P 上 m s  矩阵,则 秩 ( ) min AB  [秩 ( ) A ,秩 ( ) B ], (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明 为了证明(2),只需要证明秩( ) AB  秩( ) A ,同时秩( ) AB  秩( ) B ,.现在来分别证明这两个

不等式设 a1aam b,b2.b. D A= a21a2a2m bb2. ,B= ++t +++ （ama2am b2.bm 令B,B,.,Bn表示B的行向量，C,C,.,Cn表示AB的行向量.由计算可知，C,的第j个分量和 aB+a2B,+.+anBn的第j个分量都等于∑akbg,因而 C,=a1B+aaB2+.+aB (i=1,2,.,n), 即矩阵AB的行向量组C,C,·,C,可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也就 是说 秩(AB)≤秩(B) 同样，令A,A,.,A表示A的列向量，D,D,.,D表示AB的列向量由计算可知， D=bA,b4,.,bA (i=l,2,.,) 这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者 的秩，这就是说， 秩(AB)S秩(A) 用数学归纳法，定理2不难推广到多个因子的情形，即有 推论如果A=A4.4,那么 秩(4)≤in秩(4，) §4矩阵的逆 在2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是n×n矩阵 我们知道，对于任意n的级方阵A都有 AE=EA=A, 这里E是n级单位矩阵因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数 中的地位，一个复数a≠0的倒数a~可以用等式

不等式.设 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 , s s m m ms b b b b b b B b b b       =      . 令 1 2 , , , B B B m 表示 B 的行向量, 1 2 , , , C C Cm 表示 AB 的行向量.由计算可知, Ci 的第 j 个分量和    i i im m 1 1 2 2 B B B + + + 的第 j 个分量都等于 1 m ik kj k a b =  ,因而 1 1 2 2 ( 1,2, , ), C B B B i n i i i im m = + + + =    即矩阵 AB 的行向量组 1 2 , , , C C Cn 可经 B 的行向量组线性表出.所以 AB 的秩不能超过 B 的秩,也就 是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) B . 同样,令 1 2 , , , A A A m 表示 A 的列向量, 1 2 , , , D D D s 表示 AB 的列向量.由计算可知, 1 1 2 2 , , , ( 1,2, , ) D b A b A b A i s i i i mi m = = . 这个式子表明,矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A 的列向量组线性表出,因而前者的秩不可能超过后者 的秩,这就是说, 秩 ( ) AB  秩 ( ) A . 用数学归纳法,定理 2 不难推广到多个因子的情形,即有 推论 如果 A A A A = 1 2 t ,那么 秩 1 ( ) min j t A    秩 ( ) Aj . §4 矩阵的逆 在§2 我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这说是本节所要讨论的问题. 这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是 n n 矩阵. 我们知道,对于任意 n 的级方阵 A 都有 AE EA A = = , 这里 E 是 n 级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看, n 级单位矩阵在 n 级方阵中的地位类似于 1 在复数 中的地位,一个复数 a  0 的倒数 1 a − 可以用等式