《数学分析》下册 第二十一章二重积分】 海南大学数学系 第二十一章二重积分 §1二重积分概念 教学目的掌握二重积分的定义和性质， 教学内容二重积分的定义和性质. ()基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解 有界闭区域上的连续函数的可积性。 (2)较高要求：平面点集可求面积的充要条件 教学建议 (1)要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积.由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略 介绍. (②)对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习 题 教学程序 一、平面图形的面积 (一)、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网T分割平面图形P,T的网眼中小闭矩形△的分类： (i)△，含的全是P的内点， (ⅱ)△含的全是P的外点（不含P的点）， (m)△内含有P的边界点， 记5(T)为T的第i类△的面积的和. 记S(T)为T的第i和第三类△，的面积的和. 记l,p6,片茶为P的内面积 记i,=rS,片称为P的外面积。 定义1若平面图形P的内面积l等于它的外面积P,则称P为可求面积， 并称其共同值'p=LP=IP为P的面积（约当，黎曼测度
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 第二十一章 二重积分 §1 二重积分概念 教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质． (1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解 有界闭区域上的连续函数的可积性． (2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略 介绍． (2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习 题． 教学程序 一、平面图形的面积 （一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网 T 分割平面图形 P，T 的网眼中小闭矩形 i 的分类： （ⅰ） i 含的全是 P 的内点, （ⅱ） i 含的全是 P 的外点（不含 P 的点）, （ⅲ） i 内含有 P 的边界点, 记 s (T) P 为 T 的第ⅰ类 i 的面积的和． 记 S (T ) P 为 T 的第ⅰ和第三类 i 的面积的和． 记 P I = sP (T ) T sup ，称为 P 的内面积． 记 I P = SP (T ) T inf ，称为 P 的外面积． 定义 1 若平面图形 P 的内面积 P I 等于它的外面积 I P ，则称 P 为可求面积， 并称其共同值 P I = P I = I P 为 P 的面积（约当，黎曼测度）
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海市大学数学系 定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，总存 在直线网T,使得 S(T)-s(T)1,-号s,+号， 从而得到对直线网T有S,)-5,)水6， [充分性]对任给的￡>0，存在直线网T,使得(2)式成立.但 sp(T)≤Ip≤1p≤S(T). 所以ip-Lp≤S(T)sn(T)0，存在直线网T,使得， S(T)0，平面图形P能被有限个其面积总和小于￡的小矩形所覆盖. 定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零。 证明由定理21.1，P可求面积的充要条件是：对任给的6>0，存在直线 网T,使得S,)-n)<6.由于 Sk(T)=Sp(T)-5p(T)<E. 所以也有Sx)<6.由上述推论，P的边界K的面积为零
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 定理 21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：对任给的 0 ，总存 在直线网 T ，使得 S (T)− s (T) P P . （2） 证明 [必要性]设平面有界图形 P 的面积为 P I ．由定义 1，有 P I = P I = I P ．对 任给的 ，由 I P 及 P I 的定义知道，分别存在直线网 T1 与 T2 ，使得 ( ) , 2 1 sP T I P − ( ) 2 2 S P T I P + ， 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并的直线网，可证得 s (T ) s (T) P 1 P ， S (T ) S (T) P 2 P ， (3) 于是由（3）可得 ( ) , 2 sP T I P − ( ) 2 S P T I P + ， 从而得到对直线网 T 有 S (T)− s (T) P P ， [充分性]对任给的 0 ，存在直线网 T ，使得（2）式成立．但 s (T ) I I S (T ) P P P P ， 所以 I − I S (T )− s (T ) P P P P ， 由 的任意性，因此 P I = I P ，因而平面图形 P 可求面积． 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它的外面积 I P = 0 ，即对任 给的 0 ，存在直线网 T ，使得， S (T) P ， 或对任给的 0 ，平面图形 P 能被有限个其面积总和小于 的小矩形所覆盖． 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：P 的边界 K 的面积为零． 证明 由定理 21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的 0 ，存在直线 网 T ，使得 S (T)− s (T) P P ．由于 SK (T) = S (T)− s (T) P P ， 所以也有 S (T) K ．由上述推论，P 的边界 K 的面积为零．
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 定理21.3若曲线K为由定义在a,司上的连续函数)的图象，则曲线K 的面积为零 正明由于)在闭区间血，月]上连续函数，从而一致连续。因而对任给的 6>0,总存在6>0，当把区间a,月分成n个小区间x]北=L.,川并且满足 mx,=x-x.=L,n<6时，可使在每个小区间x]上的振幅都成立 0,6二。.现把曲线K按自变量=。，.。分成n个小段，这时每一个小段 都能被以△灯，为宽，为高的小矩形甩覆盖.由于这个小矩形面积的总和为 所以由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零 还可证明得到：由参量方程x=),Y=a≤1≤)所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线，其面积为零 二、二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的体积的方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的 方法，从而归结出下面一类积分的定义. 定义设K,是定义在可求面积的有 界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分 成”个可求面积的小区域： △01，△02，A0a以△0，表示△c1的 面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以4表示“的直径，称门=，}为分 T的细度，在每一个上任取-点（气几。作和式：空%A0 称之为函数在上属于分割的一个积分和
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 定理 21.3 若曲线 K 为由定义在 a,b 上的连续函数 f (x) 的图象，则曲线 K 的面积为零 证明 由于 f (x) 在闭区间 a,b 上连续函数，从而一致连续．因而对任给的 0 ，总存在 0 ，当把区间 a,b 分成 n 个小区间 i i x , x −1 (i =1, ,n) 并且满足 maxxi = xi − xi−1 i =1, ,n 时，可使在每个小区间 i i x , x −1 上的振幅都成立 b a i − ．现把曲线 K 按自变量 n x x , x , , x = 0 1 分成 n 个小段，这时每一个小段 都能被以 i x 为宽， i 为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为 = = = − n i n i i i i x b a x 1 1 ， 所以由定理 21．1 的推论即得曲线 K 的面积为零． 还可证明得到：由参量方程 x =(t),Y =(t)( t ) 所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的 方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有 界闭区域 D 上的函数，用任意曲线把 D 分 成 n 个 可 求 面 积 的 小 区 域 ： , , , , 1 2 n 以 i 表 示 i 的 面积，这些小区域构成 D 的一个分割 T ， 以 i d 表示 i 的直径，称 i i n T d = 1 max 为分 割 T 的细度，在每一个 i 上任取一点（ i i , ），作和式： = n i i i i f 1 ( , ) ， 称之为函数在上属于分割的一个积分和．
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海市大学数学系 定义2设心（川是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确 定的数，若对任给的正数E,总存在某个正数8，使对于D的任何分割T,当它 的细度门<⊙时，属于T的所有积分和都有 空Gn4a,-小<e 则称，)在D上可积，数J称为函数：，在D上的二重积分，记作 o 其中x,)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域. 几何意义：当化小上0时，二重积分在加 在几何上表示以：=，) 为曲项，D为底的曲顶柱体的体积。 ∬，o∬f,杰 直角坐标系下可表示为： 可积的必要条件：f,)在可求面积的区域D上有界 函数飞，)在可求面积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个 可求面积的小区域C.,0,令 M=2f列%=f川，6=l f,)关于分割T的上和与下和： s)-2M,aa,）-2maa 定理21.4化，)在D上可积的充要条件是 s)肥s)） 定理21.5化，)在D上可积的充要条件是：对于任给的正数e,存在D 的某个分割T,使得ST)-T)<6, 定理21.6有界闭区域D上的连续函数必可积。 定理21.7设心川是定义在有界闭区域D上的有界函数。若心，川的不
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 定义 2 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数， J 是一个确 定的数，若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，使对于 D 的任何分割 T ，当它 的细度 T 时，属于 T 的所有积分和都有 − = f J N i i i i 1 ( , ) ， 则称 f (x, y) 在 D 上可积，数 J 称为函数 f (x, y) 在 D 上的二重积分，记作 J = ( ) D f x, y d ， 其中 f (x, y) 称为二重积分的被积函数， x, y 称为积分变量， D 称为积分区域． 几何意义：当 f (x, y) 0 时，二重积分 ( ) D f x, y d 在几何上表示以 z = f (x, y) 为曲顶， D 为底的曲顶柱体的体积. 直角坐标系下可表示为： ( ) D f x, y d = ( ) D f x, y dxdy . 可积的必要条件： f (x, y) 在可求面积的区域 D 上有界 函数 f (x, y) 在可求面积的区域 D 上有界时，T 是 D 的一个分割，把 D 分成个 可求面积的小区域 n , , 1 ，令 ( ) M f (x y) i x y i sup , , = ， ( ) m f (x y) i x y i inf , , = ，(i =1, ,n) f (x, y) 关于分割 T 的上和与下和： ( ) = = N I S T Mi i , ( ) = = N I T mi i s . 定理 21.4 f (x, y) 在 D 上可积的充要条件是： S(T ) T 0 lim → = s(T ) T 0 lim → . 定理 21.5 f (x, y) 在 D 上可积的充要条件是：对于任给的正数 ，存在 D 的某个分割 T ，使得 S(T)− s(T) ． 定理 21.6 有界闭区域 D 上的连续函数必可积． 定理 21.7 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D 上的有界函数．若 f (x, y) 的不
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 连续点都落在有限条光滑曲线上，则：以在D上可积 证明不失一般性，可设代，)的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上.记L的长度为l,于是对任给的60，把L等分成”+'段。 L,.,Ln, 在每段L上取一点P,使段与其一端点的弧长为2m,以P为中心作边长为的 正方形4，则4E心，从面有-0△包AcA,则A为一多边形.设A的 面积为W,那么 wsar卧少任少-水 现在把区域D分成两部分.第一部分D=Dn△.第二部分D:=D-D.由于 f心(，川在D,上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在D,的分割工，使得 St)-st)<6.又记 M,=即列，m=成k》,以T表示由5与 多边形△的边界所组成的区域D的分割，则有 ST)）-sT)<SG)-s】+[M,W-m,W刚]<s+sW <s+(1+8o=(1+10+50 其中0是，)在D上的振幅。由于)在D上有界，故@是有限值.于是 由定理21,5就证明了k,以在上可积. 三、二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1.若x,)在区域D上可积，k为常数，则kf:,川在D上也可积，且 ∬fx,ydo,f∬fx,yao =k D 2.若f川，8川在D上都可积，则心，川±8化川在D上也可积，且 ,壮g,o∬f6,o,∬go 5
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 连续点都落在有限条光滑曲线上，则 f (x, y) 在 D 上可积. 证明 不失一般性，可设 f (x, y) 的不连续点全部落在某一条光滑曲线 L 上．记 L 的长度为 l ，于是对任给的 >0，把 L 等分成 +1 = l n 段： L Ln , , 1 ， 在每段 Li 上取—点 Pi ，使段与其一端点的弧长为 n l 2 ，以 Pi 为中心作边长为 的 正方形 i ，则 Li i ，从而有 n i L i =1 记 n i i =1 ，则 为一多边形．设 的 面积为 W ，那么 ( ) = + + + = l l l W n 2 2 2 1 1 ， 现在把区域 D 分成两部分．第一部分 D1 = D ．第二部分 D21 = D − D1 ．由于 f (x, y) 在 D2 上连续，根据定理 21.6 与定理 21.5，存在 D2 的分割 T2 ，使得 ( )− ( ) 2 T2 S T s ．又记 ( ) M f (x y) x y sup , , = ， ( ) m f (x y) x y inf , , = ，以 T 表示由 T2 与 多边形 的边界所组成的区域 D 的分割，则有 S(T)− s(T) S(T2 )− s(T2 )+MW − mW +W ． + (l + ) = (1+ l +) ， 其中 是 f (x, y) 在 D 上的振幅．由于 f (x, y) 在 D 上有界，故 是有限值．于是 由定理 21，5 就证明了 f (x, y) 在上可积. 三、二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1. 若 f (x, y) 在区域 D 上可积， k 为常数，则 k f (x, y) 在 D 上也可积，且 ( ) D kf x, y d = k ( ) D f x, y d ． 2．若 f (x, y), g(x, y) 在 D 上都可积，则 f (x, y) ± g(x, y) 在 D 上也可积，且 ( ) ( ) D f x, y g x, y d = ( ) D f x, y d ± ( ) D g x, y d
《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海市大学数学系 3.若，)在D和D上都可积，且D与D无公共内点，则，)在 AUa也可积，且如o,G 4.若f化川与，川在D上可积，且f川≤川，化，∈D,则 ∬osJo 5.若心，川在D上可积，则函数（川在D上也可积，且 r(.aS(x.y)da 6.若川在D上可积.且m≤f化川≤M,(eD 则 ms,stoss, 这里SD是积分区域D的面积， 7.(仲值定理)若，川在有界闭区域D上连续，则存在飞，小D,使得 Ifko-形.lsn. 这里SD是积分区域D的面积。 中值定理的几何意义：以D为底，=f化，以(：，)≥O)为曲顶的曲顶柱体 体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在，区域D 中某点5，)的函数值f店，). 作业P2171-5
《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 6 3. 若 f (x, y) 在 D1 和 D2 上都可积，且 D1 与 D2 无公共内点，则 f (x, y) 在 D1 D2 也可积，且 ( ) 1 2 , D D f x y d = ( ) 1 , D f x y d + ( ) 2 , D f x y d . 4．若 f (x, y) 与 g(x, y) 在 D 上可积，且 f (x, y) ≤ g(x, y)，(x, y) D，则 ( ) D f x, y d ≤ ( ) D g x, y d ． 5．若 f (x, y) 在 D 上可积，则函数 f (x, y) 在 D 上也可积，且 ( ) D f x, y d ≤ ( ) D f x, y d . 6. 若 f (x, y) 在 D 上可积．且 m≤ f (x, y) ≤M， (x, y) D 则 mSD ( ) D f x, y d MSD . 这里 D S 是积分区域 D 的面积． 7．(中值定理) 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续，则存在 (,) D，使得 ( ) D f x, y d = f (,) D S ， 这里 D S 是积分区域 D 的面积． 中值定理的几何意义：以 D 为底， z = f (x, y),( f (x, y) 0) 为曲顶的曲顶柱体 体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在 f (x, y) 区域 D 中某点 (,) 的函数值 f (,)． 作业 P217 1-5