《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 §3欧拉积分 教学目的了解T函数与B函数的定义. 教学要求 (1)了解「函数与B函数的定义与有关性质 (2)了解「函数与B函数的关系公式. 教学建议 (1)要求学生了解Γ函数与B函数的定义和性质，可适量布置有关习题. (②)对较好学生可布置有关「函数与B函数的关系公式的习题。 教学程序 一、欧拉积分的概念 含参量积分 1).Fe ,3>0称为格马函数 Beg) ,p>0,9>0称为贝塔函数。 注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通 过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值. 二、「函数 (一)、定义域 )定义城间」re 当s≥1时是正常积分，当00是收敛的反常积分，故知『函数Γ)=⊙)+J) 的定义域为5>0 (2)「函数在定义域3>0内连续且可导. 由不等式xe≤x-e知何在区间a,>0)收敛和一致收敛因而 在区间a,连续，由不等式xe≤xe知付在区间a,a>0)收敛和一 1
《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 1 §3 欧拉积分 教学目的 了解 函数与 函数的定义． 教学要求 (1)了解 函数与 函数的定义与有关性质． (2)了解 函数与 函数的关系公式． 教学建议 (1) 要求学生了解 函数与 函数的定义和性质，可适量布置有关习题． (2) 对较好学生可布置有关 函数与 函数的关系公式的习题． 教学程序 一、欧拉积分的概念 含参量积分 (s)= + − − 0 1 x e dx s x ， s 0 称为格马函数. (p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 ， p 0, q 0 称为贝塔函数. 注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通 过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值． 二、 函数 （一）、定义域 （1）定义域 I(s)= − − 1 0 1 x e dx s x 当 s 1 时是正常积分，当 0 s 1 是收敛的反 常积分， J(s)= + − − 1 1 x e dx s x 当 s 0 是收敛的反常积分，故知 函数 (s) = I(s) + J(s) 的定义域为 s 0 . （2） 函数在定义域 s 0 内连续且可导. 由不等式 s x a x x e x e − − − − 1 1 知 I(s) 在区间 a,b(a 0) 收敛和一致收敛因而 在区间 a,b 连续，由不等式 s x b x x e x e − − − − 1 1 知 J(s) 在区间 a,b(a 0) 收敛和一
《数学分析》下所 第十九章含参量积分 海南大学数学系 致收敛因而连续，从而「函数)=付+付在定义域5>0内连续.同样方法可 得「函数在定义域5>0内可导且有任意阶导数。 (二)、递推公式 I(s+1)=sr(s) fses-ve 令A→+o即得r6+)=sr), n≤s0). 「x-ekp'x-e" (2)令x=四可得r6- =0 ,(5>0,p>0). 三、B函数 (一)、定义域 a10-r 当p0,9>0 任何D>04>0,在p2P,420内， 「x(1-x 一致收敛，故 2
《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 2 致收敛因而连续，从而 函数 (s) = I(s) + J(s) 在定义域 s 0 内连续．同样方法可 得 函数在定义域 s 0 内可导且有任意阶导数． （二）、递推公式 (s +1)= s(s) − A s x x e dx 0 = − + − 0 A x e s x − − A s x s x e dx 0 1 = − + s − A A e − − A s x s x e dx 0 1 , 令 A→+ 即得 (s +1)= s(s)， n s n +1 则 (s +1)= s(s) == s(s −1)(s − n)(s − n). n 为正整数时： (n +1) = n(n −1)21(1)= n! + − 0 e dx x = n!. （三）、图象 (s) s → + 0 lim = +， (s) s →+ lim = + （四）、延拓 ( ) ( ) s s s +1 = ，（除了 s = 0,−1,−2, 以外） （五）、其他形式 （1）令 2 x = y 可得 (s) = + − − 0 1 x e dx s x = + − − 0 2 1 2 2 x e dx s x ,( s 0 ). （2）令 x = py 可得 (s)= + − − 0 1 x e dx s x = + − − 0 1 p x e dx s s px ,( s 0 , p 0 ). 三、 函数 （一）、定义域 (p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 当 p 1 时 x = 0 为瑕点，当 q 1 时 x =1 为瑕点，定 义域为 p 0, q 0 . 任何 p0 0,q0 0 ，在 p p0 ,q0 0 内， x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 一致收敛，故
《数学分析》下册 第十九章含参量积分 海南大学数学系 B函数在定义域P>0,4>0内连续 (二)、对称性 B(p.q)-B(q.p) 作我1，l一0-r六0-ryr奇6 (三)、递推公式 9-1 B(p,q)=p+q-1Bp,q-）,(p>0,g>1),(8) p-1 Bp,q)=p+q-iBp-l9g,(p>l,9>0),(9) (p-1g-） B(p,q=p+g-1p+g-2Bp-1q-),(p>1q>1). p>0,q>1时， 聊r0-r0rr0-r产 0-r 0- p 9-1 _9-1 p B(p.q-1)p B(p.9), 移项整理即得(8)， (四)、其他形式 [x(1-x)dx 2[sncosodo (1)令x=cos2p,则有：Bp,9)= 令，则有聊0-r 3
《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 3 函数在定义域 p 0, q 0 内连续 （二）、对称性 (p,q)=(q, p). 作变换 x = 1− y ，(p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 = ( y) y dy p q − − − 1 0 1 1 1 =(q, p). （三）、递推公式 (p,q) = 1 1 + − − p q q (p,q −1) ，（ p 0,q 1 ）， （8） (p,q) = 1 1 + − − p q p (p −1,q) ，（ p 1,q 0 ）， （9） (p,q)= ( )( ) ( 1)( 2) 1 1 + − + − − − p q p q p q (p −1,q −1) ，（ p 1,q 1 ）， p 0,q 1 时， (p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 = ( ) x ( x) dx p q p x x p q p q − − − − + − 1 0 2 1 1 1 0 1 1 = x x ( x)( x) dx p q p p q − − − − − − − 1 0 1 1 2 1 1 1 = x ( x) dx p q p q − − − − 1 0 1 2 1 1 x ( x) dx p q p q − − − − − 1 0 1 1 1 1 = p q −1 (p,q −1) p q −1 − (p,q)， 移项整理即得（8）. （四）、其他形式 （1）令 2 x = cos ，则有： (p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 = d q p − − 2 0 2 1 2 1 2 sin cos . （2）令 y y x + = 1 ，则有 (p,q)= x ( x) dx p q − − − 1 0 1 1 1 = ( ) dy y y p q p + + − 0 + 1 1
《数学分析》下册 第十九章含参量积分] 海南大学数学系 3)少 y i,则有p,g20+yy+P 四、『函数与B函数的关系 当m,n为正整数时，由于B(m,)= n-1n-2 1 B(m,n)=m+n-1 B(m,n-1)=m+n-1 m+n-2m+1 B(ml) n-1n-211 -m+n-im+n-2m+im (n-1)!(m-1)!r(n)r(m) (m+n-1)!=T(n+m) 对于任何实数P>0,9>0也有关系式（待以后证明） r(p)r(g) Bp,9=Tp+q,(p>0,q>0) 作业教材P1941:2:3:4
《数学分析》下册 第十九章 含参量积分 海南大学数学系 4 （3）令 t y 1 = ，则有 (p,q)= ( ) dy y y p q p + + − 0 + 1 1 = ( ) dy y y y p q p q + − − + + 1 0 1 1 1 四、 函数与 函数的关系 当 m, n 为正整数时，由于 (m,1)= m x dx m 1 1 0 1 = − ， (m,n)= 1 1 + − − m n n (m,n −1)= 1 1 + − − m n n 2 2 + − − m n n 1 1 m + (m,1) = 1 1 + − − m n n 2 2 + − − m n n 1 1 m + m 1 = ( ) ( ) ( 1)! 1 ! 1 ! + − − − m n n m = ( ) ( ) (n m) n m + . 对于任何实数 p 0, q 0 也有关系式（待以后证明） (p,q)= ( ) ( ) (p q) p q + ，（ p 0, q 0 ）. 作业 教材 P194 1;2;3;4