《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 §2复合函数微分法 教学目的掌握复合函数求导的链式法则. 教学要求 (①)掌握复合函数求导的链式法则， (2)掌握链式法则的证明和理解一阶全微分形式不变性， 教学建议 ()要求学生必须熟练掌握复合函数求导的链式法则，应布置较多习题以使 学生能通过完成作业达到熟练使用链式法则的目的. (②)举例说明正确使用一阶全微分形式不变性的基本方法. 教学程序 一、复合函数求导的链式法则 (一)、引言 Euclid空间中点集的基本概念和基本定理：多元函数的极限论：极限与连 续：多元函数微分学：偏导数与全微分的概念。进一步一一多元函数微分学的相 关知识。 从一个例子谈起： 例z=x·cos(xy), =cos(xy)+x.(-sin(xy).y)=cos(xy)-xy-sixy), =-x.sin(xy).x=-x2.sin(xy). 在上述计算中，是把z作为xy的函数且xy是自变量。假如xy不是自变 量，而是其它的变量函数，例如：{，此时，z通过中间变量x,y而成为u,v 的函数，称为符合函数。问题是：如何求：，？ 解决方案之一：求出z关于u,v的表达式，再求，。即： ==(u+v)cos(u2-v2) ==cos(u2-v2)+(u+vX-sinu2-v2))-2u :,=cos(u2-v2)+(u+vX-simn2-v2)-(-2v) 试想，如果x,y的表达式很复杂，这种方法可能会很困难！所以，我们有
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 §2 复合函数微分法 教学目的 掌握复合函数求导的链式法则． 教学要求 (1)掌握复合函数求导的链式法则． (2)掌握链式法则的证明和理解一阶全微分形式不变性． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握复合函数求导的链式法则，应布置较多习题以使 学生能通过完成作业达到熟练使用链式法则的目的． (2) 举例说明正确使用一阶全微分形式不变性的基本方法． 教学程序 一、 复合函数求导的链式法则 （一）、引言 Euclid 空间中点集的基本概念和基本定理；多元函数的极限论：极限与连 续；多元函数微分学：偏导数与全微分的概念。进一步——多元函数微分学的相 关知识。 从一个例子谈起： 例 z = x cos(xy) , z cos(x y) x ( sin( x y) y) cos(x y) x y sin( x y) x = + − = − , sin( ) sin( ). 2 z x xy x x xy y = − = − 在上述计算中，是把 z 作为 x y 的函数且 x y 是自变量。假如 x y 不是自变 量，而是其它的变量函数，例如： x u v y u v = + = − { ，此时，z 通过中间变量 x, y 而成为 u ,v 的函数，称为符合函数。问题是：如何求 x y z ，z ？ 解决方案之一：求出 z 关于 u, v 的表达式，再求 u v z ，z 。即： cos( ) ( )( sin( )) ( 2 ) cos( ) ( )( sin( )) 2 ( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u v u v u v v z u v u v u v u z u v u v v u = − + + − − − = − + + − − = + − 试想，如果 x, y 的表达式很复杂，这种方法可能会很困难！所以，我们有
(数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 必要寻找其它计算“所元函数的导数”的方法。为简单计，只解下述情形： [=f(x,y) x=x(s,） 其中x,y定义在R的某个开集E内，并且x,的值域在D内 y=1(s,1.u) 定义在R的某个开集D内。 （二)、关于复合函数：=f(x(s,t,w,y(s,t》关于s,1,u的偏导数有下列结果： 定理1（链式法则）设f在点(x,%)eD可微， x。=x(3,o,4）%=ys0,l0,4)。 又x和y都在点(S,4)eE关于s,1,u的偏导数存在，则在点(s,)有 匹-正+.，-.+西.立正-正.r+正.立y as dx as dy as'or ax at dy d'au ax au dy au 注：(1)几种特殊情形：定理1显然讲的是2个中间变量，3个自变量 的情形，但其思想方法完全适用与其它情形： 1)设4=fx,y,)x=x(s,),y=s,),:=(s,).则 ++光岩贵鲁g是 2)设4，xy:可微，u=f化以x=x0,y=0则0-业京+2 at ax at dy ot 3)设4=f(xy,),x=x(s,),y=(s,)则 ++器 例1设：=f(u,v)在R内有关于和v的二阶连续偏导数，又设 =子求会等 (2)计算复合函数的两阶偏导数，只要重复运用链式法则即可。如在例1 中装等高@有，为街上方记 2
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 必要寻找其它计算“所元函数的导数”的方法。为简单计，只解下述情形： ( , ) ( , , ) ( , , ) z f x y x x s t u y y s t u = = = 定义在 的某个开集 内。 其中 定义在 的某个开集 内，并且 的值域在 内， z R D x y R E x y D 2 3 , , （二）、关于复合函数 z f x s t u y s t u = ( ( , , ), ( , , )) 关于 s t u , , 的偏导数有下列结果: 定理 1 （链式法则）设 f 在点 0 0 （ ） x y D , 可微， 0 0 0 0 0 0 0 0 x x s t u y y s t u = = ( , , ), ( , , ) 。 又 x 和 y 都在点 0 0 0 ( , , ) s t u E 关于 s t u , , 的偏导数存在，则在点 0 0 0 ( , , ) s t u 有 ; ; . z z x z y z z x z y z z x z y s x s y s t x t y t u x u y u = + = + = + 注：(1) 几种特殊情形：定理 1 显然讲的是 2 个中间变量，3 个自变量 的情形，但其思想方法完全适用与其它情形： 1）设 u f x y z x x s t y y s t z z s t = = = = ( , , ), ( , ), ( , ), ( , ). 则 ; u u x u y u z u u x u y u z s x s y s z s t x t y t z t = + + = + + 2）设 u, x, y,z 可微， u f x y x x t y y t = = = ( , ), ( ), ( ). 则 u u x u y t x t y t = + 3）设 u f x y t x x s t y y s t = = = ( , , ), ( , ), ( , ). 则 u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t = + + = + + 例 1 设z = f (u,v)在R 2内有关于u和v的二阶连续偏导数， 又设 x y u = x y,v = 2 。求 。 y z x z , （2） 计算复合函数的两阶偏导数，只要重复运用链式法则即可。如在例 1 中，求 。 x y z y z x z 2 2 2 2 2 , , （3） 有时，为书写上方便，记
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 5'斗，即ruy关于第一个变量的偏导数 后-品-·那么上面可写为 af or2 ,=2听-卡，=f+ n=4xy-号+5+2+号6 例2路可度=求会会 例价可成九-袋等高 (4)链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注 意的可微性条件，如果满足这一条件，链式法则不一定成立。 例： x'y 2=f(x,y)={x2+y ,(x,y≠(0,0) o. (x,y=(0,0) [f(0,0)=f0.0)=0 fx,y)在(0,0)不可微 但若用链式法则会lw-会ln会+年含l=0x1+0x1=0 二、一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质一一形式不变性。在多元函数中也有类似的性 质。 设：=f(x,y)是二元可微函数，如果x,y是自变量，则： 止会+ (dk各自独立数值).()
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 ( , ) ; ' 1 ，即f u v 关于第一个变量u的偏导数 u f f = ( , ) ; ' 2 ，即f u v 关于第一个变量v的偏导数 v f f = 2 2 ' 22 2 ' 2 12 ' 11 , v f f u v f f u f f = = = ， 。那么上面可写为： ' ' 2 ' ' 1 2 1 2 2 2 2 2 2 '' '' '' ' ' 11 12 22 1 2 4 3 1 2 ; ; 4 4 2 x y xx y z xyf f z x f f x x y y y z x y f f f yf f x x x = − = + = − + + + 例 2 2 2 ( , ), , dx dz dx dz f z f x e 设 二阶可微， = x 求 例 3 ( 2 ), , , . 2 2 2 2 2 2 x y z y z x d z f z f x y 设 二阶可微， = − 求 （4）链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注 意 f 的可微性条件，如果满足这一条件，链式法则不一定成立。 例： = = = = = + ( , )在(0,0)不可微。 (0,0) (0,0) 0 ,( , (0,0)) 0, ( , (0,0)) ( , ) 2 2 2 f x y f f x y x y x y x y z f x y x y 0 (0,0) 0 (0,0) 0 1 , ( , ) . 2 2 0 1 0 1 0. t t t t dz x y t z f t t dt z z x z y x x t y t = = = = = = = = = + = + = 若令 则： 但若用链式法则： 二、 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性 质。 设 z = f (x, y) 是二元可微函数，如果 x, y 是自变量，则： dy. y z dx x z dz + = （ dx,dy 各自独立数值） (1)
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 如果x,y不是自变量而是中间变量，x=x(u,以，y=(u,以，又设x,y都可微，并 且∫，x,y可以构成复合函数，那么： 止加+年h 会品+哈亲 尝食宗州等g山州 .2 会+ (dk,d如上，由u,du,d决定)。 由(1)，(2)的止可知一阶微分形式的不变性。 注：(1)两阶微分设有这一性质，如下例 例5设：=x+y,x=v,y=4+.z=v+u+v.则 r+点h+票2dn+4h 如果二阶微分只有形式不变性，则有： 能女高等 但-+=0，从而=0 8'x axoy ay2 (2)利用一阶微分形式不变性求偏导数 例6设：=”+，利用微分形式不变性求止，并求出窑等 作业教材P123:1-5
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 4 如果 x, y 不是自变量而是中间变量， x = x(u,v), y = y(u,v), 又设 x, y 都可微，并 且 f , x, y 可以构成复合函数，那么： dv v z du u z dz + = ( , 如上，由 , , , 决定)。 . ( ) ( ) ( ) ( ) dx dy u v du dv dy y z dx x z dv v y du u y y z dv v x du u x x z v y y z v x x z u y y z su x x z + = + + + = + + + = （2） 由（1），（2）的 dz 可知一阶微分形式的不变性。 注:（1）两阶微分设有这一性质，如下例 例 5 设 2 z x y x u v y u v = + = = + , , . 2 z u v u v = + + . 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 z z z d z du dudv dv vdu ududv u u v v = + + = + 如果二阶微分只有形式不变性，则有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy x y z dx x z d z + + = 但 0 0 2 2 2 2 2 2 = = + = dz y z x y z x z ，从而 （2）利用一阶微分形式不变性求偏导数 例 6 设 sin( ) , xy z e x y = + 利用微分形式不变性求 dz, 并求出 , . z z x y 作业 教材 P123: 1-5