(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 §2以21为周期的函数的展开式 教学目的掌握以21为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展 开，正弦级数，余弦级数。 教学要求 (①)掌握以21为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法. (②)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法. 教学建议 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤. 教学程序 一、以2I为周期的函数的Fourier级数 设商爱⊙以2为码期，在区同-1上2)河积。作代热一号 则隔最0=宁以2x为两克由台是线故5m在区同， 上(R)可积· 函数FO的Fourier系数为 a,=上F0 cond n=0,1,2,. b,-上F0snmd n=1,2, FR0号+2.w+6nm 还聚为白变量，注意到m=宁)=四.1=艺，成有 其中 F() 三 n=0,1,2, 1
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 1 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 教学目的 掌握以 2l 为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展 开，正弦级数，余弦级数． 教学要求 (1)掌握以 2l 为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法． (2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序 一、 以 2l 为周期的函数的 Fourier 级数 设函数 f (x) 以 2l 为周期 , 在区间 [ − l , l ] 上 (R )可积 . 作代换 l t x = , 则函数 ( ) ( ) lt F t = f 以 2 为周期. 由 l t x = 是线性函数, F(t) 在区间 [ − , ] 上(R )可积 . 函数 F(t) 的 Fourier 系数为 − = a F t ntdt n ( ) cos 1 , n = 0 ,1, 2 , − = b F t ntdt n ( )sin 1 , n =1, 2 , F(t) ～ = + + 1 0 cos sin . 2 n an nt bn nt a 还原为自变量 x , 注意到 l x f x t l t F(t) f ( ) ( ), = = = , 就有 f (x) = F(t) ～ = + + 1 0 cos sin . 2 n n n l n x b l n x a a 其中 − = a F t ntdt n ( ) cos 1 − = ==== l l l x t dx l n x f x l ( ) cos 1 , n = 0 ,1, 2 ,
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 6.=汇sn”匹 n=1,2,. 当函数fx)在区间[-l,小上按段光滑时，f)可展开为Fourier级数。 能期三角面敏系红受血宁心学a受-是区间-1】 上的正交函数系统， 「0，-5<x<0. 例1把届数)-，0<5展开皮o级 二、偶函数和奇函数的Fourier级数 (一)区间-l,I]上偶函数和奇函数的Fourier级数 设∫是以21为周期的偶函数，或是定义在H,)上的偶函数，则 a-reas学a -f/os产n=02 6=jf()sm"k=0,n=12 于是 w是+2w受 (7) 其中a如(6)所示，(7)的右边为余弦级数。 同理，若/是以21为周期的奇函数，或是定义在H,上的奇函数，则 ()eo.2 6并rn℉=0n=2 (8) 于是 (-.in s (9) 其中b如(8)所示，(9)的右边为正弦级数
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 bn = − l l dx l n x f x l ( )sin 1 , n =1, 2 , 当函数 f (x) 在区间 [ − l , l ] 上按段光滑时, f (x) 可展开为 Fourier 级数. 註明三角函数系 {1, cos ,sin ,, cos ,sin ,} l n x l n x l x l x 是区间 [ − l , l ] 上的正交函数系统 . 例１把函数 − = 3, 0 5 0 , 5 0 , ( ) x x f x 展开成 Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的 Fourier 级数 （一）区间 [ , ] −l l 上偶函数和奇函数的 Fourier 级数 设 f 是以 2l 为周期的偶函数，或是定义在 −l l, 上的偶函数，则 ( ) ( ) ( ) 0 1 cos 2 cos , 0,1,2. , sin 0, 1,2, . l n l l l n l n x a f x dx l l n x f x dx n l l n x b f x dx n l − − = = = = = = (6) 于是 ( ) 0 1 cos 2 n n a n x f x a l = + （7） 其中 n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。 同理，若 f 是以 2l 为周期的奇函数，或是定义在 −l l, 上的奇函数，则 ( ) ( ) 0 1 cos 0, 0,1, 2, , 2 sin 0, 1, 2, . l n l l n n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l − = = = = = = (8) 于是 ( ) 1 sin , n n n x f x a l = （9） 其中 n b 如(8)所示，（9）的右边为正弦级数
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 (二)奇展开和偶展开： 在实际应用中，有时需把定义在[0，x】(或一般地[0，)小)上函数展开成余 弦或正弦级数。则需对函数作相应的偶式或奇式延拓。 例2设)snx礼，-π≤x≤π.求∫的Fourier级数展开式， 例3把定义在[0，π]上的函数 [1,0余弦 级数 作业教材P771,2,3,5,5,6
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 3 （二）奇展开和偶展开: 在实际应用中，有时需把定义在 [ 0 , ] （或一般地 0,l ）上函数展开成余 弦或正弦级数。则需对函数作相应的偶式或奇式延拓。 例２ 设 f (x) =|sin x |, − x . 求 f 的 Fourier 级数展开式. 例３ 把定义在 [ 0 , ] 上的函数 = = 0 , . , , 2 1 1, 0 , ( ) h x x h x h f x ( 其中之一 0 h ) 展开成正弦级数. 例４ 把函数 f (x) = x 在 ( 0 , 2 ) 内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ> 余弦 级数 作业 教材 P77 1,2,3,5,5,6