《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §4定积分的性质 教学目标：掌握定积分的性质. 教学内容：定积分的基本性质：积分第一中值定理 (1)基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理. (2)较高要求：较难的积分不等式的证明. 教学建议： (1)定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用. (②)较难的积分不等式的证明是本节的难点.对较好学生可布置这方面的习题. 教学过程： 我们在8.1、8.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。 在8.1节的定积分定义中，我们假定积分区间a,b)的端点ab时，区间【a表示满足不等式a≤x≤b,并且沿数轴由a到b的x值的全体构成 的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区何a,小与区何[bd作 为集合元素是相同的，但方向相反。 设ax>x2>.>x,=a 任取5=传}，5e【,k=l2,”,作积分和 s4).25A
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §4 定积分的性质 教学目标：掌握定积分的性质． 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理． (1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理． (2) 较高要求：较难的积分不等式的证明． 教学建议： (1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用． (2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程： 我们在 8.1、8.3 节的基础上将推导出定积分的以下性质。 在 8.1 节的定积分定义中，我们假定积分区间 a b, 的端点 a b ，这在实际应用上往往带来 诸多不便，现在我们去掉这一限制。 当 a b 时，区间 a b, 表示满足不等式 a x b ，并且沿数轴由 a 到 b 的 x 值的全体构成的 集合；当 a b 时，区间 a b, 表示满足不等式 a x b ，并且沿数轴由 a 到 b 的 x 值的全体构成 的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区间 a b, 与区间 b a, 作 为集合元素是相同的，但方向相反。 设 a b ，仿照 f x( ) 在区间 a b, 上的定积分的定义 1.1，可定义 f x( ) 在区间 b a, 上的定积 分如下： 在区间 b a, 由 b 到 a 取任意分法 0 1 2 : n = x b x x x = a 任取 = k， k x x k k −1 , ，k n =1, 2, , ，作积分和 S (, ) = ( ) 1 n k k k f x =
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 若极限，5(A)存在，称此极限为（四在区间6，d上的定积分，记作 体26 如果将/(9在区间b,d上的积分和与在【a)上的积分和相比较，二者之间只相差 个负号。于是得到如下性质： 性质1：若函数feRa,则f(eR6,d,且 f(x本=-f本 (1) 另外规定函数(0)在一点处的定积分为f(本=0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点a,而高为回)的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间[a,)总是假定ab的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性质2（线性性质）： 若函数f国，（冈ea,(,keR,则函数 kf)+k5()eRa,b],且 [f()+k(]=k心f本+ k[(xytr (2) 证：作函数()+k(9的积分和 2[)6】A-2A+2园a 由酸设，6)：，故肥宫)与思容5传)存在.于是由极限性 质知一[+】存在，从新人)，E R[a,且 巴2[k)+k5】k巴2(5)A+k三5()A
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 若极限 ( ) 0 lim d → S (, ) 存在，称此极限为 f x( ) 在区间 b a, 上的定积分，记作 ( ) a b f x dx = ( ) 0 lim d → ( ) 1 n k k k f x = 如果将 f x( ) 在区间 b a, 上的积分和与在 a b, 上的积分和相比较，二者之间只相差一 个负号。于是得到如下性质： 性质 1： 若函数 f x( ) R a b , ，则 f x( ) R b a , ，且 ( ) b a f x dx =− ( ) a b f x dx （1） 另外规定函数 f x( ) 在一点处的定积分为 ( ) a a f x dx = 0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点 a ，而高为 f a( ) 的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间 a b, 总是假定 a b ，至于 a b 的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性 质 2 （ 线 性 性 质 ）： 若 函 数 f x 1 ( ) ， f x 2 ( ) R a b , ， 1 2 k k, R ，则函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) R a b , ，且 1 1 2 2 ( ) ( ) b a k f x k f x dx + = 1 1 ( ) b a k f x dx + 2 2 ( ) b a k f x dx （2） 证： 作函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) 的积分和 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + k x = 1 k 1 ( ) 1 n k k f = k x + 2 k 2 ( ) 1 n k k f = k x 由假设 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，故 ( ) 0 lim d → 1 ( ) 1 n k k f = k x 与 ( ) 0 lim d → 2 ( ) 1 n k k f = k x 存在。于是由极限性 质知 ( ) 0 lim d → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + k x 存在，从而 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) R a b , ，且 ( ) 0 lim d → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + = 1 k ( ) 0 lim d → 1 ( ) 1 n k k f = k x + 2 k ( ) 0 lim d → 2 ( ) 1 n k k f = k x
《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 即 [kf)+k5]本= k心(x本+心5（本 如果式(2中，令)=f因，方（冈=1：k=k,名=0，可得 推论1：若函数(ea月，keR,则()eRa,且 [kf(x)d=k["f(x)dx (3) 性质3（可加性质）：设1为一个有限闭区间，a,6ce1,若f()在1上可积，则/（冈在 a,)、[ad、【c,上均可积，且 广本=f本+fx (4) 证：利用函数可积充要条件式，可以证明()在1的任一子区间上均可积。 若cc(a,b),则对a小的任意分法A,总有 oS(A)-∫f(x (5) 这时将C始终作为分法△的一个分点，则 a).会)-)图)A (6) 与)分别表示相应于分法△函数国在ad与k创上的积分和， 这里) 由f)∈R[ad、f)eRc,及式(5)和式(6)，有 ∫心fx本_f+f(x 若c在【a,月之外，不妨设c>b,则f)ea,d,由上面的讨论，有 f(x女=∫心(x:+f(x
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 即 1 1 2 2 ( ) ( ) b a k f x k f x dx + = 1 1 ( ) b a k f x dx + 2 2 ( ) b a k f x dx 如果式（2）中，令 f x 1 ( ) = f x( )， f x 2 ( ) = 1 ； 1 k = k ， 2 k = 0 ，可得 推论 1：若函数 f x( ) R a b , ，k R ，则 kf x( ) R a b , ，且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = （3） 性质 3（可加性质）： 设 I 为一个有限闭区间， a b c I , , ，若 f x( ) 在 I 上可积，则 f x( ) 在 a b, 、a c, 、c b, 上均可积，且 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx + （4） 证：利用函数可积充要条件式，可以证明 f x( ) 在 I 的任一子区间上均可积。 若 c a b ( , ) ，则对 a b, 的任意分法 ，总有 ( ) 0 lim d → S (, ) = ( ) b a f x dx （5） 这时将 c 始终作为分法 的一个分点，则 S (, ) = ( ) 1 n k k f = k x = ( ) , k a c f k x ( ) , k c b + f k x （6） 这里 ( ) , k a c f k x 与 ( ) , k c b f k x 分别表示相应于分法 函数 f x( ) 在 a c, 与 c b, 上的积分和， 由 f x( ) R a c , 、 f x( ) R c b , 及式（5）和式（6），有 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx + 若 c 在 a b, 之外，不妨设 c b ，则 f x( ) R a c , ，由上面的讨论，有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = +
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 从而 f(x本_f-∫fx体=广f(x女+f( 总之不论a、b、c在区间I的位置如何，总有式(4)成立。 性质4：若函数f(),(yeRa,],则乘积函()5(9eR[a,。 正：对于区间a,)的任意分法 △：x=a0,使得 (x)≤M, 5(xsM,.x∈[a, 另一方面，x,ra,有 (x)5(x)-f(x)5(x [(x)-f(x)]5(x)+[5(x)-5(x)](x)≤ (x')(x')-(x+(x)53(x)-5(x≤ M2(x)-f(x")+M,5(x)-5(x) 于是有 a)=242()-+4黑（们-(W- M,0,(f)+M,o,(5) 从而 -2a三42o+w2@,A 已知，()eRa,),，上式右端的两个报幅和趋于((a)→0)，所以 2a)a=0即n()(*)cRlat. 性质5：（单调性质）：若函数(，8)eRa,且f()≤8()，xc[a,月，则
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 从而 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c c a b f x dx f x dx − ( ) ( ) c b a c = + f x dx f x dx 总之不论 a、b 、c 在区间 I 的位置如何，总有式（4）成立。 性质 4：若函数 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，则乘积函 f x 1 ( ) f x 2 ( ) R a b , 。 证： 对于区间 a b, 的任意分法 0 1 2 : n = = x a x x x b 记 k ( f 1 ) 、 k ( f 2 ) 和 k ( f f 1 2 ) 分别为 f x 1 ( )、 f x 2 ( ) 和 f x f x 1 2 ( ) ( ) 在 x x k k −1 , 上的振幅，由函 数可积的必要条件， M1、 M2 0 ，使得 f x M 1 1 ( ) ， f x M 2 2 ( ) ， x a b , 另一方面， x x a b , , ，有 f x f x f x f x 1 2 1 2 ( ) ( ) − = ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x 1 1 2 2 2 1 ( ) − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x 2 1 1 ( ) ( ) − ( ) + − f x f x f x 1 2 2 ( ) ( ) ( ) M f x f x M f x f x 2 1 1 1 2 2 ( ) − + − ( ) ( ) ( ) 于是有 k ( f f 1 2 ) = , , 1 sup k k x x x x − 1 2 , , sup k k x x x x M − f x f x 1 1 ( ) − + ( ) 1 1 , , sup k k x x x x M − f x f x 2 2 ( ) − = ( ) M f 2 1 k ( ) + M f 1 2 k ( ) 从而 ( ) 0 lim d → ( 1 2 ) 1 n k k k f f x = 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 n n k k k k k k M f x M f x = = + 已知 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，上式右端的两个振幅和趋于 0 0 (d ( →) ) ，所以 ( ) 0 lim d → ( 1 2 ) 1 n k k k f f x = = 0 即 f x 1 ( ) f x 2 ( ) R a b , 。 性质 5：（单调性质）： 若函数 f x( )， g x( ) R a b , ，且 f x( ) g x( ) ， x a b , ，则
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 心f本≤g(x)* (7) 由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。 推论2：若函数f()ea,且m≤f)sM,xe[a,则 m(b-a)sf(x≤M(b-ad） (8) 推论3：若函数f(eR[a,且f(≥0（≤0），xa月，则 f(x女≥0（≤0） (9) 性质6：若函数f(eRa,则/(ea,且 心fs/海 (10) 证：分别记函数f四)与（在区间上的振幅为a()与@（川），由于 a00-/(x-/(xs.x)-fxW=a.) 于是 0s20.a≤2a)a0 (d(a)-→0) 即Ea/A=0 所以Y(x∈Ra,。 又注意到，对任意函数儿冈，总有 -/(x≤f(x)≤(x 再根据性质5，有 -f(xds[f(x)≤f(x)d 可见式(6)成立。 创1、估计积分
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 ( ) b a f x dx ( ) b a g x dx （7） 由定积分的定义 1.1 很容易看出性质 5 的正确性。 推论 2：若函数 f x( ) R a b , ，且 m f x M ( ) ， x a b , ，则 ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − − （8） 推论 3：若函数 f x( ) R a b , ，且 f x( ) 0 0 ( )， x a b , ，则 ( ) b a f x dx 0 0 ( ) （9） 性质 6：若函数 f x( ) R a b , ，则 f x( ) R a b , ，且 ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx （10） 证： 分别记函数 f x( ) 与 f x( ) 在区间上的振幅为 k ( f ) 与 k ( f ) ，由于 k ( f ) = , , 1 sup k k x x x x − f x f x ( ) − ( ) , , 1 sup k k x x x x − f x f x ( ) − = ( ) k ( f ) 于是 ( ) 1 0 n k k k f x = ( ) 1 n k k k f x = →0 (d ( →) 0) 即 ( ) 0 lim d → ( ) 1 0 n k k k f x = = ，所以 f x( ) R a b , 。 又注意到，对任意函数 f x( ) ，总有 − f x f x f x ( ) ( ) ( ) 再根据性质 5，有 ( ) ( ) ( ) b b b a a a − f x dx f x dx f x dx 可见式（6）成立。 例 1、估计积分 2 1 2 0 x e dx −
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 属段内e,则r0=c0,引数心省 故 ss0=1 于是有 zoisfeus 例2、若函数f(四在[0上可积且单调减少，求证：ae(0,),有 af(x)≤f(x)dk 证：a∈(0，)，由于函数f)是单调递减的，有f()2f儿@，x0,d,于是根据性质 6,有 f(a)≤f(x) 或 If()dzf(a) (11) 另一方面f(四sf(@,xea,有 ∫f(x)ds∫f(a)k 或 ar回 12) 结合式(11)和(12)，得 areh≤for aff(x)dxs(1-a)f(x)dx=[f(x)dx-a["f(x)dx 或 a()ds+r()ds)-r()ds 再根据定积分的可加性质，有 f)≤f) 例3、设函数f()、8)eRa,),求证柯西不等式 f)g)s(r产g(*月 (1 6
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 解： 设 f x( ) = 2 x e − ，则 ( ) 2 2 0 x f x xe− = − ， 1 0, 2 x ，故 f x( ) 严格单调减少 故 1 4 e − ( ) ( ) 1 0 1 2 f f x f = = 于是有 2 1 1 4 2 0 1 1 2 2 x e e dx − − 例 2、若函数 f x( ) 在 0,1 上可积且单调减少，求证： a (0,1) ，有 ( ) ( ) 1 0 0 a a f x dx f x dx 证： a (0,1) ，由于函数 f x( ) 是单调递减的，有 f x f a ( ) ( )， x a 0, ，于是根据性质 6，有 ( ) ( ) 0 0 a a f a dx f x dx 或 ( ) ( ) 0 1 a f x dx f a a （11） 另一方面 f x f a ( ) ( )， x a ,1 ，有 ( ) ( ) 1 1 a a f x dx f a dx 或 ( ) ( ) 1 1 1 a f x dx f a a − （ 12） 结合式（11）和（12），得 ( ) ( ) 1 1 1 a f x dx f a a − ( ) 0 1 a f x dx a 或 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 a a a f x dx a f x dx − = ( ) 0 a f x dx ( ) 0 a −a f x dx 或 ( ( ) ( ) ) ( ) 1 0 0 a a a a f x dx f x dx f x dx + = 再根据定积分的可加性质，有 ( ) ( ) 1 0 0 a a f x dx f x dx 例 3、设函数 f x( )、 g x( ) R a b , ，求证柯西不等式 ( ) ( ) b a f x g x dx ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx （1
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 3) 正：2eR,则函数[/(+g(订≥0，xela个，根据推论3，有 [f)+g(=心f产（本+2fg(x)+心g(6x本≥0 其判别式 4fg)-4产(*g2*≤0 即 f)g()本≤fr产Cg(*月 利用柯西不等式(13)，可推出如下闵可夫斯基(Minkowski18611909德国数学家)不等 式 [)+ga≤r(+g6月 (14) 事实上 [f)+g(订=f产(x本+2心fg(x)+心（本≤ f(+2r(Cg+ g(= r(e*+Cge月 从而有不等式(14)成立。 性质7（积分第一中值定理D:若函数f(:∈C[a,6,函数8(）在区间a,上可积且不变 号，则在【，上至少存在一点5，使得 f)g()=f传)心s) (15) 证：首先由性质4，函数乘积f86)ea,。不妨设f)≥0。记m=m盟/}
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 3） 证： R ，则函数 ( ) ( ) 2 f x g x + 0 ， x a b , ，根据推论 3，有 ( ) ( ) b 2 a f x g x dx + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 b b b a a a f x dx f x g x dx g x dx + + 其判别式 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0 b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx − 即 ( ) ( ) b a f x g x dx ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx 利用柯西不等式（13），可推出如下闵可夫斯基（Minkowski 1861~1909 德国数学家）不等 式 ( ( ) ( ) ) 1 2 2 b a f x g x dx + ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx + （14） 事实上 ( ) ( ) b 2 a f x g x dx + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 b b b a a a f x dx f x g x dx g x dx + + ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 2 2 2 2 2 2 b b b a a a f x dx f x dx g x dx + + ( ) 2 b a g x dx = ( ( ) ) ( ( ) ) 2 1 1 2 2 2 2 b b a a f x dx g x dx + 从而有不等式（14）成立。 性质 7（积分第一中值定理）： 若函数 f x( ) C a b , ，函数 g x( ) 在区间 a b, 上可积且不变 号，则在 a b, 上至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx = （15） 证：首先由性质 4，函数乘积 f x g x R a b ( ) ( ) [ , ] 。不妨设 f x( ) 0 。记 min{ ( )} a x b m f x =
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 M=mif(x},则 mg(x)≤f(x)g(x)≤MB(x) x∈[a,b] 根据性质5，有 mgx≤∫fx)gxh≤M心gx (16) 由性质5的推论2，有8x本≥0.如果这个积分为0，由不等式（12推知 心fx)gx=0 此时，对任意的5[a,),均有式(11)成立：如果这个积分大于0，则对式(12)两端同除以 该积分值以后，得m≤f)g(达/g达≤M 再由闭区间上连续函数的性质，在a,上至少存在一点5， 使f9=r)gx广g达 即 心f)gxd=f5心gxt 特别，如果)=1，由性质3.7得： 推论4：若函数fy∈C[a,], 则在【a小上至少存在一点5，使得 图3. ∫心f(x本=f⑤b-a) (17) 式(13)通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数f()eC[a,月，且()≥0 那么如图3.1所示，积分 fx本 表示曲线y=f()下面曲线梯形BCD的面积，而积分中值公式说明， 它等于同底但高为(5)的矩形BF的面积。（份）称为f(~在[a,)上的平均值。 例：设函数)eC0在(0l)可微，且f0-2体，求证 3ne0,),使得f()+n/()=0
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 min{ ( )} a x b M f x = ，则 mg x f x g x Mg x ( ) ( ) ( ) ( ) x a b [ , ] 根据性质 5，有 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a m g x dx f x g x dx M g x dx （16） 由性质 5 的推论 2，有 ( ) 0 b a g x dx 。如果这个积分为 0 ，由不等式（12）推知 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = 此时，对任意的 [ , ] a b ，均有式（11）成立；如果这个积分大于 0 ，则对式（12）两端同除以 该积分值以后，得 ( ) ( ) / ( ) b b a a m f x g x dx g x dx M 再由闭区间上连续函数的性质，在 [ , ] a b 上至少存在一点 ， 使 ( ) ( ) / ( ) ( ) b b a a f f x g x dx g x dx = 即 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx = 特别，如果 g x( ) 1 = ，由性质 3.7 得： 推论 4：若函数 f x C a b ( ) , ， 则在 a b, 上至少存在一点 ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = − （17） 式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数 f x C a b ( ) , ，且 f x( ) 0 ， 那么如图 3.1 所示，积分 ( ) b a f x dx 表示曲线 y f x = ( ) 下面曲线梯形 ABCD 的面积，而积分中值公式说明， 它等于同底但高为 f ( ) 的矩形 ABEF 的面积。 f ( ) 称为 f x( ) 在 a b, 上的平均值。 例 4：设函数 f x C ( ) 0,1 在（ 0,1 ）可微，且 ( ) ( ) 1 2 0 f xf x dx 1 2 = ，求证 (0,1) ，使得 f f ( ) + = ( ) 0
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证：令F-y,则F)eC),由积分中值公式（13.5e克，使程 2本=2F(x本=2F(传)片F(5) 又注意到F(eC5),在，)可导，且 F(⑤)=2f(x=f(=f)=F 由洛尔定理，至少存在一点”∈(x,),使得 F()=f()+nf'()=0 的6、更期-0 运，设eG0】间=re0,具的不夜专.由多-东约中定 5∈0,1，使得 =r= 故 =本=a+an0 1 例6、证明：若函数f(冈eCa,非负，且∈a,月，使f(G)>0, 则心f本>0 证不给段，由子0在盘4处连签，取华，0 2 36>0-dx+)c(a,b刎，当x∈U,时，有 (x)-() 2 即 << x∈U,8) 于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 9 证：令 F x xf x ( ) = ( ) ，则 F x C ( ) 0,1 ，由积分中值公式（13）， 1 [0, ] 2 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 xf x dx F x dx F F = = = 又注意到 F x C ( ) ,1 ，在 ( ,1) 可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 F xf x dx f f F = = = = 2 1 1 1 1 由洛尔定理，至少存在一点 ( ,1) x ，使得 F f f ( ) = + = ( ) ( ) 0 例 5、 证明 1 0 lim 0 1 n n x dx → x = + 。 证：设 ( ) 1 [0,1] 1 f x C x = + ， ( ) [0,1] n g x x C = ，且 g x( ) 不变号，由第一积分中值定理， [0,1] ，使得 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 n x n dx x dx x n = = + + + + 故 1 0 1 lim lim 0 1 (1 )( 1) n n n x dx → → x n = = + + + 例 6、 证明：若函数 f x C a b ( ) , ，非负，且 x a b 0 , ，使 f x( 0 ) 0， 则 ( ) 0 b a f x dx 证 ： 不妨设 x a b 0 ( , ) ，由于 f x( ) 在 点 0 x 处连续，取 ( 0 ) 0 2 f x = ， 0 0 − + 0(( , ) ( , )) x x a b ，当 0 x U x ( , ) 时，有 ( ) ( ) ( 0 ) 0 2 f x f x f x − = 即 ( ) ( ) 0 0 3 ( ) 2 2 f x f x f x 0 x U x ( , ) 于是由定积分的可加性质（性质 4）和单调性质（性质 6），有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 f=-fxw+xa+fh≥ fx达=f.26=f6>0 82 2 作业：P2191-8
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 10 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b x x b a a x x f x dx f x dx f x dx f x dx − + − + = + + 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 2 2 x x x x f x f x f x dx dx f x + + − − = = 作业：P219 1-8