《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §3可积条件 教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件 教学内容：定积分的充分条件和必要条件：可积函数类 (1)基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件. (②)较高要求：掌握定积分的第三充要条件. 教学建议： (①)理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握。 (2)证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点.对较好学生可要求掌握这些定理 的证明以及证明某些函数的不可积性. 教学过程： 一、可积的必要条件 定理9-2若函数f(x)在[a,b1上可积，则fx)在[a,b1上必有界。 证：（反证法）若函数f()在[血，]上无界，对于a,的任意分法 △：=a0∈，使得 r於+A △
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §3 可积条件 教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件． 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类 (1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件． (2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件． 教学建议： (1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握． (2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理 的证明以及证明某些函数的不可积性． 教学过程： 一、可积的必要条件 定理 9-2 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 在 [a,b] 上必有界。 证： （反证法） 若函数 f x( ) 在 a b, 上无界，对于 a b, 的任意分法 : 0 1 2 n x a x x x b = = 则至少存在一个子区间，不妨设为 1 [ , ] i i x x − ， f x( ) 在其上无界。对于任取的 { }k = ，注意到 ( ) 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) n i n k k i i k k k k k k k i S f x f x f x f x − = = = + = = + + 1 1 1 ( ) ( ( ) ( ) ) i n i i k k k k k k i f x f x f x − = = + − + = f x A (i i ) − 其 中 1 1 1 ( ) ( ) i n k k k k k k i A f x f x − = = + = + 。于是对于任意取定的 1 [ , ] k k k x x − ， k i i n = − + 1,2, , 1, 1, , 。因 f x( ) 在 1 [ , ] k k x x − 上无界，对于任意给定 M 0 1 [ , ] i i i x x − ，使得 ( i) k M A f x +
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 可见对于，)的任意分法4,5=，使得 S(.5))-4-M 可见积分和S(△)无界，从而函数（冈在血上不可积，此与假设相矛盾。 例1、 证明函数 「1 f)=医 0<x≤1 0 x=0 在[0,1]上不可积. 运：将0.区间n等分，即取分法4会=012”，取=保，其中 5-.6:月-2，时.猫身 s(A)()s,= +5++1 1 n 2 m 万n V 1 (da)→0) 故P,5SA)不存在，从而在上不阿积. 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 制2、亚司联有克猫酸a-化在印上有相不可款。 证：对于[0，的任意分法 △：x=0<x<x3<.<xm=1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在Q)的没一个子区间上既有有理数，也有无理数
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 可见对于 a b, 的任意分法 ， { }k = ，使得 ( , ) ( i i i ) i M A S f x A x A M x + − = − = 可见积分和 S (, ) 无界，从而函数 f x( ) 在 a b, 上不可积，此与假设相矛盾。 例 1、 证明函数 ( ) 1 0 f x x = 0 1 0 x x = 在[0，1]上不可积。 证 ： 将[0 ，1]区 间 n 等分 ，即取 分法 : , 0,1,2, , k k x k n n = = ；取 { }k = ，其中 1 4 1 1 0, n n = ， 1 , k k k k n n n − = ，k n = 2,3, , ，此时，相应的积分和 S (, ) ( ) 1 n k k k f x = = = 4 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n + + + = 1 1 1 1 ( ) 2 3 n n n + + + + → ( ( ) 0) d → 故 ( ) ( ) 0 lim , d S → 不存在，从而 f x( ) 在 0,1 上不可积。 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 例 2、 证明狄利克雷函数 = 当 为无理数 当 为有理数 ， x x ， D x 0 1, ( ) 在 [0，1] 上有界但不可积。 证：对于 0,1 的任意分法 : 0 1 2 0 1 n x x x x = = 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在 0,1 的没一个子区间上既有有理数，也有无理数
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 若取5=传，且5是]上的有理数，则积分和 50A-2D6-241 若取5'=传份，且是小上的无理数，则积分和 sa)-2DAm-2-=0 k 从而肥，54)-1.思S4)-0,根据定文3知.D在上不可积. 二、可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于 积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积 函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={△x,|i-l,2,n}为对[a,b]的任一分割。由fx)在[a,b]上有界知，它在每个△x,上 存在上、下确界：M,=pf),m,=ff),1=l2,.,n.作和ST)=立M,Ax, 0=2mA, 分别称为∫x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，∈△x, i-1,2.,n,显然有s(T)≤∑f(5)△x,≤ST)。 说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点5，的取法无关。 定理9-3（可积准则）函数fx)在[a,b1上可积一对Vc>0,3T,使得S(T)-s(T)0,37,使得立0，A<E
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 若取 { }k = ，且 k 是 1 [ , ] k k x x − 上的有理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 1 n n k k k k k D x x = = = = 若取 { }k = ，且 k 是 1 [ , ] k k x x − 上的无理数，则积分和 S ( = ,) ( ) 1 1 0 0 n n k k k k k D x x = = = = 从而 ( ) ( ) 0 lim , 1 d S → = ， ( ) ( ) 0 lim , 0 d S → = ，根据定义 3 知， D x( ) 在 0,1 上不可积。 二、 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于 积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积 函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设 T={ i x i = 1,2, ,n }为对[ a ,b]的任一分割。由 f (x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 i x 上 存 在 上 、 下 确 界 ： i x x i M f x = sup ( ) , i x x i m f x = inf ( ) , i = 1,2, , n . 作 和 = = n i i i S T M x 1 ( ) ， = = n i i i s T m x 1 ( ) ， 分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给 i i x ， i = 1,2 , n ，显然有 s(T) f ( ) x S(T) i i 。 说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i 的取法无关。 定理 9-3（可积准则） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 对 0，T ，使得 S(T) − s(T) 。 设 i = Mi − mi ，并称为 f (x) 在 i x 上的振幅，有必要时记为 f i 。则有 i n i i S T − s T = x =1 ( ) ( ) 。 定理 9- 3 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 对 0，T ，使得 = i n i i x 1
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 不等式S(T-s(T)0,36>0,对于 x,rea创，只要K-r0,使训≤M,ea,个，从而f在a,上 的振幅=/x奶-赋/xy≤2M 又已知f()在[a月上有有限个间断点，不妨设有m个 间断点55。对于[a,的任意分法△：名=a<,<名<<<=b,在其分制成的 n个小区间氏儿，小KX,]中至多有2m个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 不等式 S(T) − s(T) 或 = i n i i x 1 的几何意义：若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则下图中包 围曲线 y = f (x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。 三、 可积函数类 定理 9-4 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质， f x( ) 必在 a b, 上一致连续，即 0 ， 0 ，对于 x x a b , [ , ] ，只要 x x − ，有 f x f x ( ) ( ) b a − − 对于 a b, 的任意分法 ，只要 d( ) ，注意到 f x C x x ( ) , k k −1 ， , , x x k k −1 ，使得 ( ) m f k k = ， ( ) M f k k = ，从而有 k k k k k M m f f ( ) ( ) b a = − = − − k n =1, 2, , 所以 1 1 n n k k k k k x x b a = = = − 即 ( ) 0 1 lim 0 n k k d k x → = = 由定理 9- 3 知， f x R a b ( ) , 。 如果把定理 9.4 的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论： 定理 9-5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证：由假设 f x( ) 在 a b, 有界，即 M 0 ，使 f x M ( ) , x a b [ , ] ，从而 f x( ) 在 a b, 上 的振幅 sup{ ( )} inf { ( )} 2 a x b a x b f x f x M = − 。又已知 f x( ) 在 a b, 上有有限个间断点，不妨设有 m 个 间断点 1 2 , , , m 。对于 a b, 的任意分法 : 0 1 2 1 n n x a x x x x b = = − ，在其分割成的 n 个小区间 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ], ,[ ] n n x x x x x x − 中至多有 2m 个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分
《数学分析》教案】 第九章定积分 海南大学数学系 会aa=za+2ra 其中∑'0，△是相应于分法A含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m项。Σ'@，△ 是相应于分法△不含有间断点的那些小区间的振幅和。 因为aA的项数至多为2m项，放G>036>0,且68iM当d(a)06>0,当d(A)038-7一a,对于满足<6的任毫分 法△，有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 1 n k k k k k k k x x x = = + 其中 k k x 是相应于分法 含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为 2m 项。 k k x 是相应于分法 不含有间断点的那些小区间的振幅和。 因为 k k x 的项数至多为 2m 项，故 0, 0, 1 1 1 ( ) 8 d mM 且 ，当 时，有 1 2 2 2 4 8 2 k k k x M x M m mM mM = 因为在 k k x 对应的那些小区间上 f x( ) 连 续 ， 从 而 必 一 致 连 续 。 故 0, 0, 2 2 当d ( ) 时， f x( ) 在这些小区间的振幅都小于 2( ) b a − 。于是 ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2 k k k k x x x b a b a b a b a = − = − − − 取 min{ , } 1 2 = ，对于 a b, 的任意分法 ，只要 d( ) ，有 1 2 2 n k k k k k k k x x x = = + + = 即 ( ) 0 1 lim 0 n k k d k x → = = 从而 f x R a b ( ) , 。 下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。 定理 9-6 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 证： 不妨设 f x( ) 单调增加。若 f a f b ( ) = ( ) ，则 f x f a f b C a b ( ) = = ( ) ( ) , ，从而由定 理 9.4， f x R a b ( ) , 。若 f a f b ( ) ( )， 0 f b f a ( ) ( ) = − ，对于满足 d( ) 的任意分 法 ，有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 )(a)-e 由此即推知()∈R[a,] 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 0,x=0 例3、试用两种方法证明函数x)= 7r=2在区间0上可积。 11 证明：[方法1】利用定理9-6。 [方法2】利用定理9-3和定理9-5。 作业：P212T2、T4
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] n n k k k k k k x f x f x f b f a = = − = − = 由此即推知 f x R a b ( ) , 。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 例 3、试用两种方法证明函数 = + = = , 1,2, 1 1 1 , 1 0, 0 ( ) n n x n n x f x 在区间 [0,1] 上可积。 证明：[方法 1] 利用定理 9-6。 [方法 2] 利用定理 9- 3 和定理 9-5。 作业：P212T2、T4