《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 第五章习题课 一、可导条件 例1设在点x。=0的某邻域内有|fx)川≤x2,证明fx)在点x。=0可导 例2设函数fx)在点x。可导，fx)=0,fx)≠0.则∫x训在点x,不可导. 例3设函数f(x)定义在区间(a,b)内，。∈(a,b).试证明：fx)在点x。可导的充要条件是 存在(a,b)内的函数∫(x)(仅依赖于∫和x).使f(x)在点x,连续且适合条件 f(x)-f(x)=(x-x)f'(x, x∈(a,b). 并有∫广(x)=∫"x 证明一)设f"(x)存在，定义 )-f2,x≠ f"(x)={x-x。 f'(x 易验证函数f(x)在点x连续，f(x)-fx)=(x-x)f(x,且广(x)=f"(x) )设fx)-f(x)=(x-xo)∫(x),又f广(x)在点x连续.则有 x)▣-▣=f 即f"(x)存在且'x)=∫(x) 二、求导数或求切线 例4fx)=x(x-1x-2).(x-25),求f'0)和∫(1).参阅[3]P92E11 5=agF.求阳5-6+2边》（-方》 ,x≠0，求0. 0,x=0. f"x)= 0,x=0
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 第五章 习题课 一、可导条件 例 1 设在点 x0 = 0 的某邻域内有 ( ) . 2 f x x 证明 f (x) 在点 x0 = 0 可导. 例 2 设函数 f (x) 在点 0 x 可导, ( ) 0, ( ) 0. f x0 = f x0 则 | f (x)| 在点 0 x 不可导. 例 3 设函数 f (x) 定义在区间 (a,b) 内, ( , ). x0 a b 试证明: f (x) 在点 0 x 可导的充要条件是 存在 (a,b) 内的函数 f (x) （仅依赖于 f 和 ) 0 x . 使 f (x) 在点 0 x 连续且适合条件 ( ) ( ) ( ) ( ), ( , ). f x − f x0 = x − x0 f x x a b 并有 ( ) ( ). 0 0 f x = f x 证明 ) 设 ( ) 0 f x 存在, 定义 = − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x x x x x x x f x f x f x 易验证函数 f (x) 在点 0 x 连续, ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x − = − 且 ( ) ( ). 0 0 f x = f x ) 设 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x − = − 又 f (x) 在点 0 x 连续. 则有 lim ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 f x f x x x f x f x f x x x x x → → = = − − = 即 ( ) 0 f x 存在且 ( ) ( ). 0 0 f x f x = 二、求导数或求切线 例 4 f (x) = x(x −1)(x − 2) (x − 25), 求 f (0) 和 f (1). 参阅[3]P92 E11. 例 5 ( ) 1, 2 f x = arctg x − 求 ) 5 1 . ( ( 5 ) ( 5 2 ) lim 0 − − + → h f f h h 例 6 = = − 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 求 (0). (n) f 解 (0) lim lim 0. 2 2 1 1 0 = ===== = → = − → t t x t x x e t x e f = = − 0, 0. , 0, 2 ( ) 2 1 3 x e x x f x x
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 设了”)-Pe之，20其中为的多项式注意到对任何正整数 0, x=0. m加。=0则有 o)=rk宁-0 对n,有(0)=0. 例7试求下列函数的导数： 1)川=e”如}，求f4,) 2)以好+写k+安，空求阳和 其中=[2,0]「 解由导数定义，可分别求得： Df-k小[eUm草m.e(m+ f(1,1)=e[sin 1-cos1,sn1+cos1] 「fx) +)] f(x)=f(x)= V好+ Lf(x) 2 2 2x2 x+x + X. f'(x)=f,f x好+x好 √好+写 10 -x2 x+x2 x+x号 w 例8抛物线方程为y=x2-3.求下列切线： (1)过点(2,1).（该点在抛物线上）(4x-y-7=0.) (2)过点(2,0).（该点不在抛物线上）(2x-y-4=0和6x-y-12=0.)
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 设 ( ) = ( ) f x n = − 0, 0. ) , 0, 1 ( 2 1 x e x x P x 其中 ) 1 ( x P 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整数 , lim = 0, →+ t m t e t m 则有 ) 0. 1 ( 1 ( 0 ) lim 2 1 0 ( 1) = = − → + x x n e x P x f 对 n, 有 ( 0 ) 0. ( ) = n f 例 7 试求下列函数的导数： 1 ） ( , ) e sin , f (1, 1) x y f x y x y = 求 ； 2 ） ( ) ln( ), , arctan , ( ) ( ), 0 T 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 f x f x x x f x x x x x = + + 求 和 其中 T x0 = 2 , 0 ． 解 由导数定义,可分别求得： 1） = = − + cos ) 1 ( ) , e ( sin cos ) , e ( sin 2 x y x x y x x y x y x y f x f f y x y x y x y , f (1, 1) = e sin1− cos1, sin1+ cos1 ． 2 ） + + = = 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 arctan ln( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x f x f x f x , + + + + − + + = = 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f x x x x x x x , = 0.5 0 0 0 1 1 ( ) 0 f x ． 例 8 抛物线方程为 3. 2 y = x − 求下列切线: (1)过点 ( 2 , 1). ( 该点在抛物线上 ) ( 4x − y − 7 = 0. ) (2)过点 ( 2 , 0 ) . (该点不在抛物线上 ) ( 2x − y − 4 = 0 和 6x − y −12 = 0. )
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 三、曲线的吻接 曲线的吻接及其解析表达 sm2x+2,x0 (a=c=2,b-1） 四、奇、偶函数和周期函数的导函数 例10可导奇函数的导函数是偶函数.（给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例11设f(x)是偶函数且在点x=0可导，则f"(0)=0. 正明《0)=四0二p0 -1 -e0,0.-o即0=-0. 由f"0)存在，→f0)=f(0)=f'0).→f'0)=-f'0,→f'0)=0. 简提可导周期函数的导函数为周期函数，且周期不变， 五、关于可导性的一些结果 (一)若f(x)是初等函数，则f"(x)也是初等函数， 在初等函数f(x)的定义域内，导函数f'(x)不存在的点是函数f(x)的不可导点.例如函数 )=的定义装是R,但导函数国=写在点x=0没有定义。因此点x=0是函数 f)=x的不可导点 参阅[3]P114. (仁)存在仅在一点可导的函数 例如 f)- x为无理数 0,x为有理数 该函数仅在点x=0可导 (三)存在处处连续但处处不可导的函数 十九世纪后半叶，德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数，其 后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着。其中较简单的例可参阅F. 3
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 三、曲线的吻接 曲线的吻接及其解析表达. 例 9 设 + = + = , 0. , 0, 2, 0, sin ( ) 2 bx c x a x x x x f x 确定 a 、 b 和 c 的值,使函数 f (x) 在点 x = 0 可导. ( a = c = 2, b = 1 ) 四、奇、偶函数和周期函数的导函数 例 10 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例 11 设 f (x) 是偶函数且在点 x = 0 可导, 则 f ( 0 ) = 0 . 证明 0 0 ( ) (0) ( ) (0) ( 0 ) lim lim t x x t f x f f t f f x t + − = − + → → − − − = ===== − (0), ( ) (0) lim 0 − → = − − = − − f t f t f t 即 (0) (0). + − f = − f 由 f (0) 存在, (0) = (0) = (0), (0) = − (0), (0) = 0. + − f f f f f f 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五、关于可导性的一些结果 (一) 若 f (x) 是初等函数, 则 f (x) 也是初等函数. 在初等函数 f (x) 的定义域内, 导函数 f (x) 不存在的点是函数 f (x) 的不可导点. 例如函数 3 1 f (x) = x 的定义域是 R , 但导函数 3 2 3 1 ( ) − f x = x 在点 x = 0 没有定义, 因此点 x = 0 是函数 3 1 f (x) = x 的不可导点. 参阅[3]P114. (二) 存在仅在一点可导的函数. 例如 = 0, . , , ( ) 2 为有理数 为无理数 x x x f x 该函数仅在点 x = 0 可导. (三) 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其 后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 Riesz(匈牙利人)著《泛函分析》VolP3-5,或Mark Lynch,《A continuous,nowhere differentiable function >Amer.Math.Monthly,Vol 99,Ne1,1992,P8-9. 近年米，对这一问题给出了更一般的回答，即在某种意义下（在纲的意义下），连续但不 可导的函数要比连续且可导的函数多得多.可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.） P5-8. 作业教材P1174,6,8,9
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 4 Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5, 或 Mark Lynch , 《A continuous , nowhere differentiable function 》,Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9. 近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不 可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社,1998.） P5—8. 作业 教材 P117 4,6,8,9