海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二章 数列极限 2.2 收敛数列的性质

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 §2.2收敛数列的性质 教学内容：第二章数列极限一一§2.2收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质：掌握求数列极限的常用方法 教学要求：(1)使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性： (2)掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些 收敛数列的极限 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算 教学方法：讲练结合。 教学过程： 引言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证ma,=a的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题，还需要对数列的性质作进 步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性）若数列a,收敛，则它的极限唯一. 证法一假设a与b都是数列a,的极限，则由极限定义，对6>0，N.N∈N,当 n>N时，有，-dN时，有a,-4N时有 la-bH(a-b)-(a,-a)a-al+la,-bK28 由6的任意性，上式仅当a=b时才成立. 正法二（反证）假设a,}极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a,b

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些 收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证 lim n n a a → = 的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一 步讨论. 一、收敛数列的性质 性质 1（极限唯一性） 若数列 { }n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设 a与b 都是数列 { }n a 的极限，则由极限定义，对   0， 1 2   N N, ，当 n  N1 时，有 a − a   n ； n  N2 时，有 a −b   n . 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当 n  N 时有 | a − b |=| (a − b) − (a − a) || a − a | + | a − b | 2 n n n n ， 由  的任意性，上式仅当 a = b 时才成立. 证法二 （反证）假设 { }n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为 a,b

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 阳，0。血a=办且0≠6故不纺设00 2 由定义，3V∈N,当n>N时有以，-d0,使对n有la,上M 证明设血a.=Q取E=l,3N>0使得当>N时有b,-db,则存在N使得当n>N时有a.>b. (②)若存在N,当n>N时有0，≥b,则a2b(不等式性质)

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 an a n = → lim ， an b n = → lim 且 a  b 故不妨设 a  b ，取 0 2  − = b a  ， 由定义，   N1 ，当 n  N1 时有 a − a   n  2 a b an a +  +  = . 又   N2 ，当 n  N2 时有 a −b   n  2 a b an b +  −  = ， 因此，当 max( , ) n  N1 N2 时有 n an a b a  +  2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质 2（有界性）如果数列 { }n a 收敛，则 { }n a 必为有界数列.即 M  0 ，使对 n 有 | an | M 证明 设 an a n = → lim 取  =1，N  0 使得当 n  N 时有 an − a 1 即 | an | − | a || an − a |1  | an || a | +1 . 令 max(1 | |,| |,| |, ,| |) M = + a a1 a2  aN 则有对 n | an | M 即数列 { }n a 有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 {( 1) } n − . ②在证明时必须分清何时用取定  ，何时用任给  .上面定理 3.2 证明中必须用取定  ， 不能用任给  ，否则 N 随  在变，找到的 M 也随  在变，界 M 的意义就不明确了. 性质 3（保序性） 设 an a n = → lim ， an b n = → lim ， (1) 若 a  b ，则存在 N 使得当 n  N 时有 an  bn ; (2) 若存在 N ，当 n  N 时有 an  bn ，则 a  b （不等式性质）. 证明 （1）取 0 2  − = a b  ，则存在 N1 ，当 n  N1 时 2 | | a b an a − − 

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 从而0，>0-060+6 2 2 又布在，当>水时16-水宁与6N时a,>6,这与已知矛盾. 推论（保号性）若▣a,0>6则3V,当>N时8，>6，特别地，若aa0,则 3V,当n>N时a,与a同号. 思考如把上述定理中的0，≥b换成0，>6，能否把结论改成a>6,? 例设，20(n=l2.若a,=a,则m瓦.=后 证明由保序性定理可得a20.若a=0,则g>0,3V,当n>N,时有0，0,则6>0，V,当m>N时有la,-akac la.-va la.-alsla,alse +va a 数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则）若a,、6,都收敛，则a,+6,、a,-6,、a.b,}也都收敛。 m(a,±b)=ma,±mb。，ma.b。=lma,mb. ma。 特别地，ma=c血，c为常数如再有血，≠0则也收敛，且

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 从而 2 2 a b a b an a + = −  − . 又存在 N2 ，当 n  N2 时 2 | | a b bn b − −   2 2 a b a b bn b + = −  +  当 max( , ) n  N1 N2 时 n an a b b  +  2 . （2）（反证）如 a  b ，则由⑴知必 N 当 n  N 时 an  bn 这与已知矛盾. 推论（保号性） 若 an a b n =  → lim 则 N ，当 n  N 时 an  b .特别地，若 lim =  0 → an a n ，则 N ，当 n  N 时 n a 与 a 同号. 思考 如把上述定理中的 an  bn 换成 an  bn ，能否把结论改成 n n n n a b → → lim  lim ？ 例 设 an  0 （ n = 1,2,  ），若 an a n = → lim ，则 an a n = → lim 证明 由保序性定理可得 a  0.若 a = 0 ，则   0，N1 ，当 n  N1 时有 2   an    an 即 an a n = = → lim 0 . 若 a  0 ，则   0，N2 ，当 n  N2 时有 a a a | n − |    −  + − − = a a a a a a a a a n n n n | | | | | | . 数列较为复杂，如何求极限？ 性质 4（四则运算法则） 若 { }n a 、 { }n b 都收敛，则 { } an + bn 、 { } an − bn 、 { } anbn 也都收敛， 且 n n n n n n n a b a b → → → lim (  ) = lim  lim ， n n n n n n n a b a b → → → lim = lim lim . 特别地， n n n n ca c a → → lim = lim ，c 为常数如再有 lim  0 → n n b 则 { } n n b a 也收敛，且 n n n n n n n b a b a → → → = lim lim lim

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 证明由于4-2，三0，+6)a×。,故只须证关于和积与倒数运算的结论即可 设ma.=a,血6。=6，e>0,V,当n>N时a,-dN时 b。-lN时上两式同时成立. (1)la,b.-abH(a,-a)b,+a(b.-b)Ka.-allb.I+lallb.-bl 由收敛数列的有界性，3M>0,对Vm有b,上M故当n>N时，有 la.b-abk(M+laDs 由的任意性知血a,6.=ab C2》6,=b0,由保号性，N。≥0及k之0，对Vm>N有6.Pk(如可令=号. 1L-1上Ib.-b1b,-b1s 取N=mWNN),则当n>N时有。，6Fb,bN时有 4

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 证明 由于 an bn an bn − = + (−1) ， n n n n b a b a 1 =  ，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可. 设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，   0， N1 ，当 n  N1 时 a − a   n ； N2 ，当 n  N2 时 b − b   n , 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当 n  N 时上两式同时成立. （1） | a b ab | | (a a)b a(b b) | | a a || b | | a || b b | n n − = n − n + n −  n − n + n − , 由收敛数列的有界性， M  0 ，对 n 有 | bn | M 故当 n  N 时，有 | a b ab | (M | a |) n n −  + , 由  的任意性知 anbn ab n = → lim . （2） lim =  0 → bn b n .由保号性， N0  0 及 k  0 ，对 n  N0 有 b k | n | （如可令 2 | b | k = ）. 取 max( , ) N = N0 N2 ，则 当 n  N 时有 | | | | | | | | | | | 1 1 | k b k b b b b b b b b b n n n n   −  − − = ,由  的任 意性得 n bn b 1 1 lim = → . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：  = → = → = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim ，  = → = → = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim . 但将上述 N 换成  ，一般不成立.事实上   k =1 或   k=1 本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题. 性质 5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列 { }n a 、 { }n b 、 { }n c ，如 N ，当 n  N 时有

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 a,≤c.≤b,且ma,=m6.=l,则mc=1 证明na,=mb,=l-e>0,3N,N2,当n>N时，1-6N, 时，1-6N时以上两式与己知条件中的不等式 同时成立，故有n>N时1-EN时有asc,≤b.（或，sc,≤a)且血6，=a,则mC。=a 例求证=石0(a>0. 证明k∈N使得k>a,从而当n>k时有 a'aa 由于册府n=府血=0由推论即可得结论 例设4，a,a是m个正数，证明ma+a+g=ma,a,a). 证明设4=mWa,a,a),则4≤@+a+asmA m>1→血m=1,由迫敛性得结论. 例1m6-1(a>) 在证明中，令么=G-1>0,a=0+点，箱0<么<分，由比推出九→0， 由此例也看出由×<：，<y和血x,=a人，也推出血，=0 例2证明所=1 证明令万-1+

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 n n bn a  c  ，且 n→ lim an = n→ lim b l n = ，则 n→ lim c l n = . 证明 n→ lim an = n→ lim b l n =    0， 1 2 N ,N , 当 n  N1 时， l −  a  l +  n ；当 n  N2 时， l −  b  l +  n ,取 max( , , ) N0 = N1 N2 N ，则当 n  N0 时以上两式与已知条件中的不等式 同时成立，故有 n  N0 时 l −  a  c  b  l +  n n n  | c − l |  n 即 n→ lim c l n = . 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法. 推论 若 N ，当 n  N 时有 n bn a  c  （或 bn  cn  a ）且 bn a n = → lim ，则 cn a n = → lim . 例 求证 n→ lim 0 ! = n a n （ a  0 ）. 证明  k 使得 k  a ，从而当 n  k 时有 0  n! a n n a k a n a k a k a a a k     + =     1 2 1 !   , 由于 n→ lim n a k a k  ! = k! a k n→ lim n a = 0 由推论即可得结论. 例 设 1 a ， 2 a ，.， m a 是 m 个正数，证明 n→ lim max( , , , ) 1 2 1 2 m n n m n n a + a +a = a a  a . 证明 设 max( , , ) A = a1 a2 am ，则 A  n n m n n a1 + a2 +a mA n  m 1 n→ lim n m = 1 ，由迫敛性得结论. 例 1 lim =1 ( 1) → a a n n . 在证明中, 令 = −1  0 n hn a ， n a hn = (1+ ) ，得 n a 0  hn  ，由此推出 hn → 0 . 由此例也看出由 n n n x  z  y 和 n n n n x a y → → lim = = lim , 也推出 zn a n = → lim . 例 2 证明 lim =1 → n n n . 证明 令 n n n =1+ h

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 n(h)1+mDh.(n>3) 0<h,<n- 2 两边夹推出h,→0，即n→1. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例： 4n2+6n+1 例3求极限血3+) 期器游 4++之_4 例4求极限1+a++a)(0<a<) 条0at坦号 例5当-鱼”告0+担号 =m3+m月Xm1+m分）=3x1=3 例6求画b+++b1+公，mk,a0.4*0 am.m=k 解原式mW+6 b.+b.n+.+b,nt+bn* 0,m≠k [分子分母最高次数相同，为最高次系数之比 即有理式的极限分子最高次低于分母最高次，则0 2n3+4n2-5_2 如号 例7血-同=n+-号

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 6 ( 3) 2 ( 1) 2 ( 1) (1 ) 1 2 2  − + +  − = + = + + h n n n h h n n n h nh n n n n n n n  ， 1 2 0 −   n hn 两边夹推出 hn → 0 ，即 →1 n n . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例: 例 3 求极限 3 9 4 6 1 lim 2 2 + + + + → n n n n n . 解 3 4 3 4 lim 3 9 4 6 1 lim 2 2 1 9 6 1 2 2 = + + + + = + + + + → → n n n n n n n n n n . 例 4 求极限 lim (1+ + + ) (0  1) → a a a n n  . 解 a a a a a n n n n − = − − + + + = → → 1 1 1 1 lim (1  ) lim . 例 5 ) 1 )lim (1 1 lim (3 1 lim 3 1 ) lim 3 1 1 lim ( n n n n n n n n n n n n n n n = + + + + = +  + → → → → → ) 3 1 3 1 )(lim 1 lim 1 = (lim 3 + lim + =  = n→ n→ n n→ n→ n . 例 6 求 1 0 1 1 1 0 1 1 lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n + + + + + + + + − − − − →   ，m  k ， am  0 ， bk  0 . 解 原式 = k k k k m k k k m m k m n b b n b n b n a n a n a n a n − − − − − − − − − − → + + + + + + + + 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 lim         = = m k m k b a m m 0, , , 即有理式的极限    分子最高次低于分母最高次，则为0 分子分母最高次数相同，为最高次系数之比 . 如 3 2 3 10 7 2 4 5 lim 3 3 2 = − − + − → n n n n n . 例 7 + − = → lim n( n 1 n) n 1 1 1 1 lim lim n n 1 1 1 1 1 2 n n → → n n = = = + + + + +

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 例8设a,b>0,证明ma+b=ma,) 证明ma,b)=ma,b)≤a+bs2mNa,b)→ma,b). 二、数列的子列 (一)引言 极限是个有效的分析工具.但当数列{a}的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什 么呢？难道{a,}没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特 征角度对数列进行研究那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序， 可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部 分数列”就是要讲的“子列” (二)子列的定义 定义1设{a}为数列，{n}为正整数集N的无限子集，且%k.特别地，若=k,则a=a,即{a}-{a,} 注3数列{a}本身以及{an}去掉有限项以后得到的子列，称为{a}的平凡子列：不是平 凡子列的子列，称为{a}的非平凡子列. 如{a},{a}都是{a}的非平凡子列.由上节例知：数列{a}与它的任一平凡子列同为收 敛或发散，且在收敛时有相同的极限 那么数列{a}的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 7 例 8 设 a ,b  0 ，证明 lim a b max( a ,b) n n n n + = → . 证明 max( a ,b) max( a ,b) a b 2max( a ,b) max( a ,b) = n n  n n + n  n n → . 二、 数列的子列 (一) 引言 极限是个有效的分析工具.但当数列 an 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什 么呢？难道 an 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特 征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序， 可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部 分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义 定义 1 设 an 为数列， nk 为正整数集 N+ 的无限子集，且 1 2 3 k n n n n      ，则数 列 1 2 , , , , k n n n a a a 称为数列 an 的一个子列，简记为 ank . 注 1 由定义可见， an 的子列 ank  的各项都来自 an 且保持这些项在 an 中的的先后次 序.简单地讲，从 an 中取出无限多项，按照其在 an 中的顺序排成一个数列，就是 an 的一个 子列（或子列就是从 an 中顺次取出无穷多项组成的数列）. 注 2 子列 ank  中的 k n 表示 k n a 是 an 中的第 k n 项， k 表示 k n a 是 ank  中的第 k 项，即 ank  中的第 k 项就是 an 中的第 k n 项，故总有 k n k  . 特别地，若 k n k = ，则 k n n a a = ，即     k n n a a = . 注 3 数列 an 本身以及 an 去掉有限项以后得到的子列，称为 an 的平凡子列；不是平 凡子列的子列，称为 an 的非平凡子列. 如 a a 2 2 1 k k , −  都是 an 的非平凡子列.由上节例知：数列 an 与它的任一平凡子列同为收 敛或发散，且在收敛时有相同的极限. 那么数列 an 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 定理2.8数列a,}收敛的充要条件是：a,}的任何非平凡子列都收敛. 证明必要性：设血a,=aa,是a,}的任一子列，任给6>0，存在正数使得当k>N 时有风-d由于”≥点故当k>N时有%>N,从而也有A、~叫<￡，这就证明了a,}收 敛（且与a,}有相同的极限）. 充分性：考虑an}的非平凡子列a},{a-}与a}.按假设，它们都收敛.由于{at 既是a},又是{a的子列，故由刚才证明的必要性， lim a=lim da lim d (9) 又{at-既是{a2-}又是a的子列，同样可得 lim d=lim a (10) (9)式与(10)式给出 lim da lim d 所以由课本例7可知a,收敛. 由定理2.8的证明可见，若数列a,}的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与a,}必 收敛于同一个极限.于是，若数列a,}有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列a,}一定发散.例如数列《-)”，其偶数项组成的子列{《-)“}收敛于1，而奇数项组成的 子列《-少叫收效于-，从雨《-9)发散。再如致列m受，它的奇数项组成的子别 m2一即为叫，自于这个于列发散.枚数如学发散由此可见，定理2. 是判断数列发散的有力工具

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 8 定理 2.8 数列 { }n a 收敛的充要条件是： { }n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设 lim ,{ } n nk n a = a a → 是 { }n a 的任一子列．任给   0 ，存在正数 N，使得当 k  N 时有 a − a  . k 由于 n k, k  故当 k  N 时有 nk  N ，从而也有 a − a   k n ，这就证明了 { } nk a 收 敛（且与 { }n a 有相同的极限）． 充分性: 考虑 { }n a 的非平凡子列 { } a2k ，{ } a2k−1 与 { } a3k ．按假设，它们都收敛．由于 { } a6k 既是 { } a2k ，又是 { } a3k 的子列，故由刚才证明的必要性， lim lim lim . 2 6 3k k k k k k a a a → → → = = (9) 又 { } a6k−3 既是 { } a2k−1 又是 { } a3k 的子列，同样可得 lim lim . 2 1 3k k k k a a → − → = (10) （9）式与（10）式给出 2 2 1 lim lim − → → = k k k k a a ． 所以由课本例 7 可知 { }n a 收敛． 由定理 2．8 的证明可见，若数列 { }n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与 { }n a 必 收敛于同一个极限．于是，若数列 { }n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列 { }n a 一定发散．例如数列 {( 1) }, n − 其偶数项组成的子列 {( 1) } 2n − 收敛于 1，而奇数项组成的 子列 {( 1) } 2 −1 − k 收敛于 −1 ，从而 {( 1) } n − 发散．再如数列 } 2 {sin n ，它的奇数项组成的子列 } 2 2 1 {sin  k − 即为 {( 1) } −1 − k ，由于这个子列发散，故数列 } 2 {sin n 发散．由此可见，定理 2．8 是判断数列发散的有力工具．