《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 §1.4具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数一一§1.4具有某些特性的函数 教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语：深刻理解有界函数、单调函数的定义：理 解奇偶函数、周期函数的定义：会求一些简单周期函数的周期。 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成。 教学过程： 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇 偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有 界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数。 一、有界函数 (一)有上界函数、有下界函数的定义 定义1设∫为定义在D上的函数，若存在数M(L),使得对每一个x∈D有 f(x)≤Mx)≥L),则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下） 界 注：(1)∫在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集： (2)又若M(L)为在D上的一个上（下）界，则任何大于M(小于L)的数也是f 在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y=six,1是 其一个上界，下界为一1，则易见任何小于一1的数都可作为其下界：任何大于1的数都可作为 其上界： (3)任给一个函数，不一定有上（下）界： (4)由(1)及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f在D上有界一f(D)是一个有界集一∫在D上既有上界又有下界一∫在D上的有上界 函数，也为D上的有下界函数. (二)有界函数定义 定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数M,使得对每一个x∈D有f(x)M,则称 ∫为D上的有界函数
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 1 §1.4 具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数——§1.4 具有某些特性的函数 教学目标：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语;深刻理解有界函数、单调函数的定义;理 解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期. 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证. 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学过程： 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇 偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有 界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数. 一、 有界函数 (一) 有上界函数、有下界函数的定义 定 义 1 设 f 为定义在 D 上 的 函 数 ， 若 存 在 数 M L( ) ， 使 得 对 每 一 个 x D 有 f x M f x L ( ) ( ( ) ) ，则称 f 为 D 上的有上（下）界函数， M L( ) 称为 f 在 D 上的一个上（下） 界. 注：（1） f 在 D 上有上（下）界，意味着值域 f D( ) 是一个有上（下）界的数集； （2）又若 M L( ) 为 f 在 D 上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是 f 在 D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如： y x = sin ，1 是 其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1 的数都可作为其下界；任何大于 1 的数都可作为 其上界； （3）任给一个函数，不一定有上（下）界； （4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f 在 D 上有界 f D( ) 是一个有界集 f 在 D 上既有上界又有下界 f 在 D 上的有上界 函数，也为 D 上的有下界函数. (二) 有界函数定义 定义 2 设 f 为定义在 D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 x D 有 | ( ) | f x M ，则称 f 为 D 上的有界函数
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 注：(1)几何意义：∫为D上的有界函数，则f的图象完全落在y=M和y=-M之间： (②)f在D上有界一f在D上既有上界又有下界：例子：y=sinx,y=cosx:(3)关于 函数∫在D上无上界、无下界或无界的定义. (三)例题 例1证明f:X→R有界的充要条件为：3M,m,使得对x∈X,m≤f)≤M, 证明如果f:X→R有界，按定义3M>0,∈X有≤M,即-Msf)sM, 取m=-M,M=M即可. 反之如果3M,m使得x∈X,m≤fx)≤M,令M。=maM|+lmD,则lf(x)长M,即 3M,>0,使得对x∈X,有fx)上M,即f:X→R有界 例2证明x)=为0]上的无上界函数 例3设f,g为D上的有界函数.证明：(1)infx+ig)≤i{f+gx}: (2)sup(+g(ssupf()+sup(). 5x 例4验证函数f国=2x+3在R内有界 解法一由2x2+3=(2x)2+(W5)2≥2小2x√月=26，当x≠0时，有 |f0)川=0≤3， 对x∈R,总有|fx)川s3,即fx)在R内有界 解法二令y=2x”+3→关于x的二次方程2r2-5x+3y=0有实数根 4-24w20护≤2543s2 解法三令=侵81（引对应x(-,+)于是 3 5x f)=2x2+3 5g5g」 5 sint 1 3V2 1g2t+1 6 cost sec2
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 2 注：(1)几何意义： f 为 D 上的有界函数，则 f 的图象完全落在 y M= 和 y M = − 之间； (2) f 在 D 上有界 f 在 D 上既有上界又有下界；例子： y x y x = = sin , cos ；（3）关于 函数 f 在 D 上无上界、无下界或无界的定义. (三) 例题 例 1 证明 f : X → R 有界的充要条件为： M ,m ，使得对 x X , m f (x) M . 证明 如果 f : X → R 有界，按定义 M >0，x X 有 f (x) M ，即 − M f (x) M , 取 m = −M , M = M 即可. 反之如果 M , m 使得 x X , m f (x) M ，令 max(| | 1,| |) M0 = M + m ，则 0 | f (x) | M ，即 M0 0 ，使得对 x X , 有 0 | f (x) | M ，即 f : X → R 有界. 例 2 证明 1 f x( ) x = 为 (0,1] 上的无上界函数. 例 3 设 f g, 为 D 上的有界函数.证明：（1） inf ( ) inf ( ) inf ( ) ( ) x D x D x D f x g x f x g x + + ； （2） sup ( ) ( ) sup ( ) sup ( ) x D x D x D f x g x f x g x + + . 例 4 验证函数 2 3 5 ( ) 2 + = x x f x 在 R 内有界. 解法一 由 2 3 ( 2 ) ( 3) 2 2 3 2 6 , 2 2 2 x + = x + x = x 当 x 0 时,有 3. 2 6 5 2 6 5 2 3 5 2 3 5 ( ) 2 2 = + = + = x x x x x x f x f (0) = 0 3, 对 x R, 总有 f (x) 3, 即 f (x) 在 R 内有界. 解法二 令 , 2 3 5 2 + = x x y 关于 x 的二次方程 2 5 3 0 2 yx − x + y = 有实数根. 2 2 = 5 − 24y 4, 2. 24 25 0, 2 y y 解法三 令 = − 2 , 2 , 2 3 x tgt t 对应 x ( − , + ). 于是 = = + = + = + = t t t t g t tgt tgt tgt x x f x 2 2 2 2 sec 1 cos sin 6 5 2 1 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 2 3 5 ( )
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 5 二、单调函数 定义3设∫为定义在D上的函数，x,x∈D,f(x),则称f为D上的严格减函数 例5证明：y=x在(-0，+0)上是严格增函数. 证明设0>x→x0，则矿++发>0一-写1时在R上严格增，当0<a<1时在R上严格递减. 三、奇函数和偶函数 定义4设D为对称于原点的数集，∫为定义在D上的函数.若对每一个x∈D有 (1)f(-x)=-fx),则称∫为D上的奇函数：
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 3 . 2 6 5 sin 2 2 6 5 sin 2 , ( ) 2 6 5 = t f x = t 二、 单调函数 定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数， 1 2 1 2 x x D x x , , , （1）若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 D 上的增函数；若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 D 上的严格增函数.（2）若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 D 上的减函数；若 1 2 f x f x ( ) ( ) ，则称 f 为 D 上的严格减函数. 例 5 证明： 3 y x = 在 ( , ) − + 上是严格增函数. 证明 设 1 2 x x ， ( )( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 x − x = x − x x + x x + x 如 x1 x2 0 ，则 3 2 3 2 0 1 1 x x x x 如 1 2 x x 0 ，则 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x x + + − 0 0 故 0 3 2 3 x1 − x 即得证. 例 6 讨论函数 y x = [ ] 在Ｒ上的单调性. 注：(1) 单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调. 所以要会求出给定函数的单调区间； (2) 严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于 x 轴的部分.更准确地讲： 严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数. 总结得下面的结论： 定理 1 设 y f x x D = ( ), 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 1 f − ，且 1 f − 在其定义域 f D( ) 上也是严格增（减）函数. 例 7 讨论函数 2 y x = 在 ( , ) − + 上反函数的存在性；如果 2 y x = 在 ( , ) − + 上不存在反函 数，在 ( , ) − + 的子区间上存在反函数否？ 结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关. 例 8 证明： x y a = 当 a 1 时在Ｒ上严格增，当 0 1 a 时在Ｒ上严格递减. 三、 奇函数和偶函数 定义 4 设 D 为对称于原点的数集， f 为定义在 D 上的函数.若对每一个 x D 有 （1） f x f x ( ) ( ) − = − ，则称 f 为 D 上的奇函数；
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 (2)f(-x)=f(x), 则称∫为D上的偶函数 注：(1)从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称： (2)奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)=x,x∈0，】没有必要讨论奇偶性. 奇函数：y=sinx; (3)从奇偶性角度对函数分类 偶函数：y=sgnx 非奇非偶函数：y=sinx+cosx: 既奇又偶函数：y=0, (4)由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可. 四、周期函数 (一）定义 设f为定义在数集D上的函数，若存在o>0,使得对一切x∈D有f(x±o)=fx),则 称∫为周期函数，σ称为f的一个周期. (二)几点说明 (1)若。是f的周期，则nc(n∈N)也是∫的周期，所以周期若存在，则不唯一.如 y=sx,o-2π，4π，.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一 个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如y=sx,周期为2π： (2)任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)y=x+1, 不是周期函数：2)y=C(C为常数)，任何正数都是它的周期
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 4 （2） f x f x ( ) ( ) − = ， 则称 f 为 D 上的偶函数. 注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于 y 轴对称； （2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 f x x x ( ) , [0,1] = 没有必要讨论奇偶性. （3）从奇偶性角度对函数分类： 奇函数:y=sinx; 偶函数:y=sgnx; 非奇非偶函数:y=sinx+cosx; 既奇又偶函数:y 0. （4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可. 四、 周期函数 (一) 定义 设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在 0 ，使得对一切 x D 有 f x f x ( ) ( ) = ，则 称 f 为周期函数， 称为 f 的一个周期. (二) 几点说明 （1）若 是 f 的周期，则 n n N ( ) + 也是 f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如 y x = = sin , 2 ,4 , .因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 f 的所有周期中有一 个最小的周期，则称此最小周期为 f 的“基本周期”，简称“周期”.如 y x = sin ，周期为 2 ； （2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） y x = +1， 不是周期函数；2） y C= （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期