波利亚的《怎样解题》 美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887-1985)先后写出了《怎样解题》、《数学的 发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的 文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学 教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93 岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的 解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门 研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解 题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得 到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、 “拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解 题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分 析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找 出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计 划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议 和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现 解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思 维过程看得见，摸得着。 波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。 联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出 的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见 过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关
波利亚的《怎样解题》 美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）先后写出了《怎样解题》、《数学的 发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的 文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学 教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚 93 岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的 解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门 研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解 题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得 到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、 “拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解 题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分 析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找 出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计 划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议 和 23 个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现 解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思 维过程看得见，摸得着。 波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。 联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出 的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见 过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关
的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未 知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟 悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已 解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果 吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？ 你能不能用不同的方式重新叙述它？. 波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过 去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研 究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数 学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸 上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法 实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没 有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找 解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到 良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且 养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知 识重要得多的东西。 波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅平装 本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2 月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学 生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人 入胜的书”。 波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也 包括数学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、 研究和讲授”的书取名为《数学的发现》，我想大概就 是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介 绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数 一棱数+面数=2)的全过程，生动地再现了欧拉如何一
的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未 知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟 悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已 解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果 吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？ 你能不能用不同的方式重新叙述它？.” 波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过 去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研 究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数 学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸 上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法， 实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没 有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找 解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到 良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且 养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知 识重要得多的东西。 波利亚的《怎样解题》被译成 16 种文字，仅平装 本就销售 100 万册以上。著名数学家瓦尔登 1952 年 2 月 2 日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学 生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人 入胜的书”。 波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也 包括数学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、 研究和讲授”的书取名为《数学的发现》，我想大概就 是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介 绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数 —棱数+面数=2）的全过程，生动地再现了欧拉如何一
步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也 就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。 展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地 显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科 书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习 数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证 明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题 能力，而且要学习和培养创新能力。 波利亚解题表 一、弄清题意 1)已知是什么？ 2)未知是什么？ 3)题目要求你干什么？ 4)可否画一个图形？ 5)可否数学化？ 二、拟定方案（核心） 1)你能否一眼看出结果？ 2)是否见过形式上稍有不同的题目？ 3) 你是否知道与此有关的题目，是否知道 用得上的定义，定理，公式？ 4)有一个与你现在的题目有关且你已解 过的题目，你能利用它吗？ 5)已知条件A,B,C.可否转化？可否建 立一个等式或不等式？
步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也 就是把处于发现过程中的数学，照原样提供给我们。 展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地 显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科 书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习 数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证 明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题 能力，而且要学习和培养创新能力。 波利亚解题表 一、弄清题意 1) 已知是什么? 2) 未知是什么? 3) 题目要求你干什么? 4) 可否画一个图形? 5) 可否数学化? 二、拟定方案(核心) 1) 你能否一眼看出结果? 2) 是否见过形式上稍有不同的题目? 3) 你是否知道与此有关的题目,是否知道 用得上的定义,定理,公式? 4) 有一个与你现在的题目有关且你已解 过的题目,你能利用它吗? 5) 已知条件 A,B,C.可否转化?可否建 立一个等式或不等式?
6)你能否引入辅助元素？ 7)如果你不能解这个题，可先解一个有关的 题，你能否想出一个较易下手的，较一般 的，特殊的，类似的题？ 三、执行方案 )把你想好的解题过程具体地用术语，符 号，图形，式子表述出来 2)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的 方案. 3)解题要求是：严密具有逻辑性 四、检验回顾 1)你能拟定其它解题方案吗？ 2)你能利用它吗？你能用它的结果吗？你 能用它的方法吗？ 3)你能找到什么方法检验你的结果吗？
6) 你能否引入辅助元素? 7)如果你不能解这个题,可先解一个有关的 题,你能否想出一个较易下手的,较一般 的,特殊的,类似的题? 三、执行方案 1) 把你想好的解题过程具体地用术语,符 号,图形,式子表述出来. 2) 修正解题方向以及原来拟定的不恰当的 方案. 3) 解题要求是:严密具有逻辑性. 四、检验回顾 1) 你能拟定其它解题方案吗? 2) 你能利用它吗?你能用它的结果吗?你 能用它的方法吗? 3) 你能找到什么方法检验你的结果吗?