弗赖登塔尔简介及主要著作 弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905一1990)是世界著 名数学家和数学教育家。他曾经是荷兰皇家科学院的院士和 数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学。1960年以后研 究重心转向数学教育。在1967年至1970年期间任“国际数 学教育委员会”(ICMI)主席。在他的倡议下，召开了第一届 “国际数学教育大会”(International Congress On M胎th ematics Education,简称ICME)。他倡导数学教育研究要像 研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，即前人做 了什么，我发现了什么，证据是什么，并有详细的文献支持， 因而使数学研究不再只停留在经验交流的水平上。这是一个 大的变革，中国数学教育正在逐渐适应这场具有历史转折的 进步。他一生为国际数学教育事业做出了巨大贡献。尤其令 人敬佩的是，即使在他80岁高龄，他依然在不断的思考着 数学教育中的问题，关心着孩子们的成长和发展。1987年， 已经82岁的弗赖登塔尔应华东师范大学的邀请在上海讲学 两周，以后又顺访北京。1990年弗赖登塔尔去世，他在中国 讲学的讲稿于1994年在荷兰出版。1994年有中译本。 对于数学教育，弗赖登塔尔有他自己独到的认识，并出 版了许多数学教育理论著作。他的主要观点在以及>中有系
弗赖登塔尔简介及主要著作 弗赖登塔尔(Hans Freudenthal，1905—1990)是世界著 名数学家和数学教育家。他曾经是荷兰皇家科学院的院士和 数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学。1960 年以后研 究重心转向数学教育。在 1967 年至 1970 年期间任“国际数 学教育委员会”(ICMI)主席。在他的倡议下，召开了第一届 “国际数学教育大会”(International Congress On Math ematics Education，简称 ICME)。他倡导数学教育研究要像 研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，即前人做 了什么，我发现了什么，证据是什么，并有详细的文献支持， 因而使数学研究不再只停留在经验交流的水平上。这是一个 大的变革，中国数学教育正在逐渐适应这场具有历史转折的 进步。他一生为国际数学教育事业做出了巨大贡献。尤其令 人敬佩的是，即使在他 80 岁高龄，他依然在不断的思考着 数学教育中的问题，关心着孩子们的成长和发展。1987 年， 已经 82 岁的弗赖登塔尔应华东师范大学的邀请在上海讲学 两周，以后又顺访北京。1990 年弗赖登塔尔去世，他在中国 讲学的讲稿>于 1994 年在荷兰出版。1994 年有中译本。 对于数学教育，弗赖登塔尔有他自己独到的认识，并出 版了许多数学教育理论著作。他的主要观点在>、>以及>中有系
统阐述，其中>是一个整体的叙述， 另外两本是更加具体的分析。 二、弗赖登塔尔的数学教育的主要特征 总体上讲弗赖登塔尔所认识的数学教育理论有五个主要 特征： (1)情景问题是教学的平台； （2)数学化是数学教育的目的； (3)学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内 容的一部分； （4)“互动”是主要的学习方式； (5)学科交织是数学教育内容的呈现方式。 这些特征又可以用三个词加以概括一一现实、数学化、 再创造。 1.何谓数学教育中的现实 弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且 应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数 学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上 发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分 利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际，灵活 处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。把例题生 活化，让学生易懂易学。通过设计与生活现实密切相关的问 题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学
统阐述，其中>是一个整体的叙述， 另外两本是更加具体的分析。 二、弗赖登塔尔的数学教育的主要特征 总体上讲弗赖登塔尔所认识的数学教育理论有五个主要 特征： （1）情景问题是教学的平台； （2）数学化是数学教育的目的； （3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内 容的一部分； （4）“互动”是主要的学习方式； （5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。 这些特征又可以用三个词加以概括――现实、数学化、 再创造。 1．何谓数学教育中的现实 弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且 应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数 学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上 发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分 利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际，灵活 处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。把例题生 活化，让学生易懂易学。通过设计与生活现实密切相关的问 题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学
好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习 数学的动力。这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育既是现 实的数学教育。 关于情景问题，弗赖登塔尔认为，数学教育要引导学生 了解周围的世界，周围的世界应该是学生探索的源泉，而数 学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开 始。发现数学概念和解决实际问题，实际数学化。 情景问题与传统数学课本中的例子有相通之处，既他们都 被用来引用数学概念和理解数学方法的基础，区别之处在 于，传统的数学课本一般都按照科学的体系展开，不太重视 属于学生自己的一些非正规的数学知识的作用。在这种直接 式的结构当中，常规性、经验性的知识一般派不上用场，学 生只要注意课本提供的数学题目的计算和解答就行了。完全 不用考虑它们的实际意义。而弗赖登塔尔所倡导的情景问题 是直观的，容易引起想象的数学问题。隐含在这些数学问题 中的数学背景是学生熟悉的事物和具体情景，而且与学生已 经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中 积累的常识性知识和那些学生已经具有的，但未经训练和不 那么严格的数学体验相关联。 在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下 几点：
好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习 数学的动力。这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育既是现 实的数学教育。 关于情景问题，弗赖登塔尔认为，数学教育要引导学生 了解周围的世界，周围的世界应该是学生探索的源泉，而数 学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开 始。发现数学概念和解决实际问题，实际数学化。 情景问题与传统数学课本中的例子有相通之处，既他们都 被用来引用数学概念和理解数学方法的基础，区别之处在 于，传统的数学课本一般都按照科学的体系展开，不太重视 属于学生自己的一些非正规的数学知识的作用。在这种直接 式的结构当中，常规性、经验性的知识一般派不上用场，学 生只要注意课本提供的数学题目的计算和解答就行了。完全 不用考虑它们的实际意义。而弗赖登塔尔所倡导的情景问题 是直观的，容易引起想象的数学问题。隐含在这些数学问题 中的数学背景是学生熟悉的事物和具体情景，而且与学生已 经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中 积累的常识性知识和那些学生已经具有的，但未经训练和不 那么严格的数学体验相关联。 在运用“现实的数学”进行教学时，必须明确认识以下 几点：
第一，数学的概念，数学的运算、法则，以及数学的命 题，都是来自于自然世界的实际需要而形成的，是现实世界 的抽象反映和人类经验的总结。因此，数学教学内容来自于 现实世界。把那些最能反映现代生产，现代社会生活需要的 最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容。 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现实 抽象而成的量化模式。而现实世界事物、现象之间又充满了 各种各样的关系和联系。从而，数学教育的内容就不能仅仅 局限于数学内容的内在联系。就中学数学教学内容来讲，不 能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与 现实世界各种不同领域的外部关系和联系。如，与日常生活， 工农业生产，货币流通和商品生产经营，以及其他学科等联 系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综的“现 实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系。另一方面，学 生也有可能把学到的数学知识应用到现实世界中去。 第三，社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专 业所需的数学知识不尽相同。因而，数学教育应为不同的人 提供不同层次的数学知识。也就是说，不同的人有不同需要 的“现实的数学”。数学教育所提供的内容应该是学生各自 的“数学现实”，即“学生自己的数学”。通过“现实的数 学教学”，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观， 促进数学知识结构的优化
第一，数学的概念，数学的运算、法则，以及数学的命 题，都是来自于自然世界的实际需要而形成的，是现实世界 的抽象反映和人类经验的总结。因此，数学教学内容来自于 现实世界。把那些最能反映现代生产，现代社会生活需要的 最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容。 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现实 抽象而成的量化模式。而现实世界事物、现象之间又充满了 各种各样的关系和联系。从而，数学教育的内容就不能仅仅 局限于数学内容的内在联系。就中学数学教学内容来讲，不 能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与 现实世界各种不同领域的外部关系和联系。如，与日常生活， 工农业生产，货币流通和商品生产经营，以及其他学科等联 系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综的“现 实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系。另一方面，学 生也有可能把学到的数学知识应用到现实世界中去。 第三，社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专 业所需的数学知识不尽相同。因而，数学教育应为不同的人 提供不同层次的数学知识。也就是说，不同的人有不同需要 的“现实的数学”。数学教育所提供的内容应该是学生各自 的“数学现实”，即“学生自己的数学”。通过“现实的数 学教学”，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观， 促进数学知识结构的优化
2.数学化 什么是数学化呢？弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识、 和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和 研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数 学化。说简单点，数学的组织现实世界的过程就是数学化。 一提到数学化，人们就会联想到数学教学的“科学性” 和“严谨性”，感觉到它距离我们很遥远。实际上，数学化 是一种由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。一般来 讲，数学化的对象，一是数学本身；二是现实客观事物。对 数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系 统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。对客观事物的 数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为 解决实际问题而构造的数学模型等。 实际上，在高等学校里，数学系的学生要学普通物理， 物理系的学生要学高等数学，研究化学反应时，把参加反应 的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规 律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应。这里不仅要运 用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学。 不仅要应用加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来 描述。研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计 算机等。正是各门科学数学化到一定程度，它们才得以发展 到一个又一个新的阶段。不仅如此，正如前苏联数学家格涅
2．数学化 什么是数学化呢？弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识、 和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和 研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数 学化。说简单点，数学的组织现实世界的过程就是数学化。 一提到数学化，人们就会联想到数学教学的“科学性” 和“严谨性”，感觉到它距离我们很遥远。实际上，数学化 是一种由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。一般来 讲，数学化的对象，一是数学本身；二是现实客观事物。对 数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系 统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。对客观事物的 数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为 解决实际问题而构造的数学模型等。 实际上，在高等学校里，数学系的学生要学普通物理， 物理系的学生要学高等数学，研究化学反应时，把参加反应 的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规 律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应。这里不仅要运 用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学。 不仅要应用加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来 描述。研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计 算机等。正是各门科学数学化到一定程度，它们才得以发展 到一个又一个新的阶段。不仅如此，正如前苏联数学家格涅
坚科所说，当今的世界“不仅仅是科学在数学化，而且绝大 多数实践活动也在数学化”，“我们的时代是知识数学化的 时代”。 既然任何数学分支都是数学化的结果。各门科学的发展 都有数学化的功劳，那么在数学教育过程中，让学生学会数 学的思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则， 构造数学模型，经历一个数学化的过程，这也就是理所当然 的事了。正如弗赖登塔尔所说：“数学教学必须通过数学化 来进行。” 当然，我们所说的学习数学化，并不是不要数学学科的 “科学性”和“严谨性”。在现实数学教育者的眼中，学习 者从一个具体的情境问题开始到得出一个抽象数学概念的 教育全过程就是数学化的过程，学生对数学的“再发现”就 是“数学化”。 需要强调的是，数学化是一个过程，是一个从一个问题 开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由 解决问题到更进一步应用的一个教育全过程，而不是方程、 函数等等之类的具体的数学素材。传统数学课本是“教给” 学生数学现成结果的教材，最容易忽略的就是过程。把数学 化作为数学课本内容的一部分，是要使课本成为学生自己去 “发现”一些已有数学结果的辅导书。通过一个充满探索的 过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的
坚科所说，当今的世界“不仅仅是科学在数学化，而且绝大 多数实践活动也在数学化”，“我们的时代是知识数学化的 时代”。 既然任何数学分支都是数学化的结果。各门科学的发展 都有数学化的功劳，那么在数学教育过程中，让学生学会数 学的思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则， 构造数学模型，经历一个数学化的过程，这也就是理所当然 的事了。正如弗赖登塔尔所说：“数学教学必须通过数学化 来进行。” 当然，我们所说的学习数学化，并不是不要数学学科的 “科学性”和“严谨性”。在现实数学教育者的眼中，学习 者从一个具体的情境问题开始到得出一个抽象数学概念的 教育全过程就是数学化的过程，学生对数学的“再发现”就 是“数学化”。 需要强调的是，数学化是一个过程，是一个从一个问题 开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由 解决问题到更进一步应用的一个教育全过程，而不是方程、 函数等等之类的具体的数学素材。传统数学课本是“教给” 学生数学现成结果的教材，最容易忽略的就是过程。把数学 化作为数学课本内容的一部分，是要使课本成为学生自己去 “发现”一些已有数学结果的辅导书。通过一个充满探索的 过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的
数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学 发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意 识、，从而达到素质教育的目的。 现实数学教育所说的数学化有两种形式： (1)实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问 题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； （2)从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经 符号化的问题作进一步抽象化处理。 对于前者，基本流程是： (1)确定一个具体问题中包含的数学成分； (2)建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联 系； (3)通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式 化； (4)找出蕴含其中的关系和规则： (5)考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； (6)做出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： (1)用数学公式表示关系； (2)对有关规则做出证明； (3)尝试建立和使用不同的数学模型； (4)对得出的数学模型进行调整和加工；
数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学 发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意 识、，从而达到素质教育的目的。 现实数学教育所说的数学化有两种形式： （１）实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问 题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； （２）从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经 符号化的问题作进一步抽象化处理。 对于前者，基本流程是： (1)确定一个具体问题中包含的数学成分； (2)建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联 系； (3)通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式 化； (4)找出蕴含其中的关系和规则； (5)考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； (6)做出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： (1)用数学公式表示关系； (2)对有关规则做出证明； (3)尝试建立和使用不同的数学模型； (4)对得出的数学模型进行调整和加工；
(5)综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； (6)用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念 和新方法； (7)作一般化的处理、推广。 不过通过数学化得到一个新的数学概念之后，还需要对 已经得到的概念、模型、技巧作进一步的调整和把握，即解 释和说明得出的结果；讨论新模型或方法的使用范围；回顾、 总结和分析已经完成的数学化过程。 可以看到，一个现实情景所提供的信息是现实数学教育 的基础。而情景问题与数学化又是结合在一起的。在“一浪 接一浪”的数学化进程中，学习者经历了一个又一个由现实 的情景问题到数学问题，由不那么严格的数学体验到严格的 数学系统，由数学的“再发现”到数学的具体应用。 3.再创造 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数 学”(doing mathematics)的过程，这是目前数学教育的 一个重要观点。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反 思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的 重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是 学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其 核心是数学过程再现。针对实践中频频出现的“教学法的颠 倒”，“将数学作为一种活动来进行解释和分析”的状况
(5)综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； (6)用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念 和新方法； (7)作一般化的处理、推广。 不过通过数学化得到一个新的数学概念之后，还需要对 已经得到的概念、模型、技巧作进一步的调整和把握，即解 释和说明得出的结果；讨论新模型或方法的使用范围；回顾、 总结和分析已经完成的数学化过程。 可以看到，一个现实情景所提供的信息是现实数学教育 的基础。而情景问题与数学化又是结合在一起的。在“一浪 接一浪”的数学化进程中，学习者经历了一个又一个由现实 的情景问题到数学问题，由不那么严格的数学体验到严格的 数学系统，由数学的“再发现”到数学的具体应用。 3．再创造 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数 学”(doing mathematics )的过程，这是目前数学教育的 一个重要观点。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反 思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的 重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是 学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其 核心是数学过程再现。针对实践中频频出现的“教学法的颠 倒”，“将数学作为一种活动来进行解释和分析”的状况
设身处地的“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样 发现那些成果的；或者设想一个学生学习过程得到指导时， 他是应该怎样发现的”。当然，这不是简单地“由学生本人 把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮 助学生去进行这种再创造的工作。”也不是简单的“教师指 导下的学生活动”。而是通过教师精心设计，创造问题情景， 通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并 进行组织的学习方式。 需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教 育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧 扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、 “数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。他的著作 多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经 历，思辨性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数 学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究 成果尚未被大家仔细研究。有兴趣的读者不妨阅读他的著 作
设身处地的“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样 发现那些成果的；或者设想一个学生学习过程得到指导时， 他是应该怎样发现的”。当然，这不是简单地“由学生本人 把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮 助学生去进行这种再创造的工作。”也不是简单的“教师指 导下的学生活动”。而是通过教师精心设计，创造问题情景， 通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并 进行组织的学习方式。 需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教 育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧 扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、 “数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。他的著作 多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经 历，思辨性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数 学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究 成果尚未被大家仔细研究。有兴趣的读者不妨阅读他的著 作