海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第二章 数列极限 2.1 数列极限的概念

《(数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 第二章数列极限 引言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个 变量，它开始是1，然后为}日一。.知此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变 化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零，我们就说，这个变量的极限为 0. 在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等）， 并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（己知：S=π2,1=2πr), 但这两个公式从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而， 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破， 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以 把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们 面临着“曲”与“直”这样一对矛盾. 在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下， 曲与直的矛盾可以相互转化.恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在 一定的条件下直线和曲线应当是一回事”.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直 的：就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧 执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成个等长的小段，代替圆 而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为 L=2nRsn月 显然，这个1n不会等于1.然而，从几何直观上可以看出，只要正边形的边数不断增加.这 些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长N越大，近似程度越高。 但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值 而不是精确值.问题并没有最后解决. 为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n→∞.直观上很明显，当 n→o时，人→l,记成ml.=1.一一极限思想. 即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 第二章 数列极限 引言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个 变量，它开始是 1，然后为 1 1 1 1 , , , , , 234 n 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变 化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为 0. 在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等）， 并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知： 2 S r l r = =   , 2 ）， 但这两个公式从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而， 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破. 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以 把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们 面临着“曲”与“直”这样一对矛盾. 在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下， 曲与直的矛盾可以相互转化.恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在 一定的条件下直线和曲线应当是一回事”.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直 的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧. 执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成 n 个等长的小段，代替圆 而先考虑其内接正 n 边形.易知，正 n 边形周长为 2 sin , n l nR n  = 显然，这个 n l 不会等于 l .然而，从几何直观上可以看出，只要正 n 边形的边数不断增加.这 些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长.N 越大，近似程度越高. 但是，不论 n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值， 而不是精确值.问题并没有最后解决. 为了从近似值过渡到精确值，我们自然让 n 无限地增大，记为 n →.直观上很明显，当 n → 时， n l l → ，记成 lim n n l l → = .——极限思想. 即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第 3 世纪就提出

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 米了，称为“制圆术”·其方法就是一—无限分制，以直代曲：其思想在于“极限”一 除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研 究 §2.1数列极限的概念 教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念：会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的ε-N定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有 界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的6-N定义证明数列的有关命题，并 能运用ε-N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述 教学重点：数列极限的概念 教学难点：数列极限的ε-N定义及其应用. 教学方法：讲授为主。 教学过程： 一、什么是数列 (一)数列的定义 数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次 序性，具体讲数列可定义如下： 若函数∫的定义域为全体正整数集合N,则称∫：N→R为数列. 注：(1)根据函数的记号，数列也可记为f(),n∈N: (2)记fm)=an,则数列fm)就可写作为：a,4,.,an,.,简记为{a},即 {fm)ln∈N}={an}: (3)不严格的说法：说f(m)是一个数列. (二)数列的例子 e+2*5 (3){n2}1,4,9,16,25, (4){1+(-1)}2,0,2,0,2

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”. 除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研 究. §2.1 数列极限的概念 教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的  −N 定义的清晰概念.深刻理解数列发散、单调、有 界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的  −N 定义证明数列的有关命题，并 能运用  −N 语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点：数列极限的概念. 教学难点：数列极限的  −N 定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程： 一、 什么是数列 (一) 数列的定义 数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次 序性，具体讲数列可定义如下； 若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称 f N R : + → 为数列. 注:(1) 根据函数的记号，数列也可记为 f n n N ( ),  + ； (2) 记 ( ) n f n a = ，则数列 f n( ) 就可写作为： 1 2 , , , , n a a a ，简记为 an , 即  f n n N a ( ) |  = +  n ； (3) 不严格的说法：说 f n( ) 是一个数列. (二) 数列的例子 （1） ( 1) 1 1 1 : 1, , , , 2 3 4 n n   −   − −   ； （2） 1 1 1 1 1 : 2,1 ,1 ,1 , ; n 4 3 5     + + + +   （3）   2 n :1,4,9,16,25, ； （4）   1 1 ( 1) : 2,0,2,0,2, . n+ + −

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 三、什么是数列极限 (一)引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“ 尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第1天截下 第2天截下片京 第3天截下付行-宁 第天截下分之宁 得到一个数列：过“京 不难看出，数列份的通项宁随着的无限指大而无限地楼近于零 一般地说，对于数列{a},若当n无限增大时，a,能无限地接近某一个常数a,则称此数 列为收敛数列，常数ā称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数 列. 据武可以说。数列侣是收敛数列，0是它份极限， 数列{n2},{1+(-1)}都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性” 的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以1+为例，可观察出该数列具以下特性： n 随着n的无限增大，a=1+号无限地接近于1→随着n的无限增大，1+与1的距离无限 3

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 二、什么是数列极限 (一) 引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第 1 天截下 1 2 ， 第 2 天截下 2 1 1 1 2 2 2  = ， 第 3 天截下 2 3 1 1 1 2 2 2  = ， 第 n 天截下 1 1 1 1 2 2 2 n n −  = ， 得到一个数列： 2 3 1 1 1 1 , , , , , 2 2 2 2n 不难看出，数列 1 2 n       的通项 1 2 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零. 一般地说，对于数列 an ，若当 n 无限增大时， n a 能无限地接近某一个常数 a，则称此数 列为收敛数列，常数 a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数 列. 据此可以说，数列 1 2 n       是收敛数列，0 是它的极限. 数列     2 1 , 1 ( 1)n n + + − 都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性” 的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以 1 1 n     +   为例，可观察出该数列具以下特性： 随着 n 的无限增大， 1 1 n a n = + 无限地接近于 1 → 随着 n 的无限增大， 1 1 n + 与 1 的距离无限

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 减少→随着n的无限增大，1+！-1无限减少→1+】-1会任意小，只要n充分大 如：要使1+-1k0.1,只要n>10即可： 要使1+号-1k001,只婴n>100即可： 任给无论多么小的正数6，都会存在数列的一项a,从该项之后>们，+}-水s 即ve>03w,当a>N时，+月}-k8 如何找N?(或N存在吗？)解上面的数学式子即得：n>,取N=白+1即可，这样VE>0 当a>w时：}京c 综上所述，数列1+}的通项1+随的无限增大，1+无限接近于1，即是对任意给定 正数6，总存在正整数，当>N时，有：》水，此即小：}以1为板限的精确定义。 记作回+}-1或m→1+分1 n (二)数列极限的定义 定义1设{a}为数列，a为实数，若对任给的正数ε，总存在正整数N,使得当n>N时有 Ia,-aks,则称数列{a}收敛于a,实数a称为数列{a}的极限，并记作lima。=a或 an→a(n→o). (读作：当n趋于无穷大时，a的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整数，所以在数列极 限的记号中把n→+o写成n→o,即1ima,=a或a,→a(n→). 若数列{a}没有极限，则称{a}不收敛，或称{a}为发散数列. 问题如何表述{a}没有极限？ (三)举例说明如何用ε-N定义来验证数列极限 例1证明：m=0p>0)

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 4 减少 → 随着 n 的无限增大， 1 |1 1| n + − 无限减少 → 1 |1 1| n + − 会任意小，只要 n 充分大. 如：要使 1 |1 1| 0.1 n + −  ，只要 n 10 即可； 要使 1 |1 1| 0.01 n + −  ，只要 n 100 即可； 任给无论多么小的正数  ，都会存在数列的一项 N a ，从该项之后 ( ) n N ， 1 | 1 1| n      + −    . 即     0, N ，当 n N 时， 1 | 1 1| n      + −    . 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得： 1 n   ，取 1 N [ ] 1  = + 即可.这样    0, 当 n N 时， 1 1 1 | 1 1| n n N      + − =     . 综上所述，数列 1 1 n     +   的通项 1 1 n + 随 n 的无限增大， 1 1 n + 无限接近于 1，即是对任意给定 正数  ，总存在正整数Ｎ，当 n N 时，有 1 | 1 1| n      + −    .此即 1 1 n     +   以 1 为极限的精确定义， 记作 1 lim 1 1 n→ n     + =   或 1 n ,1 1 n →  + → . (二) 数列极限的定义 定义 1 设 an 为数列,a 为实数,若对任给的正数  ,总存在正整数 N,使得当 n N 时有 | | n a a −   , 则称数列 an 收敛于 a,实 数 a 称为 数列 an 的极限,并记 作 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → →  . (读作:当 n 趋于无穷大时, n a 的极限等于 a 或 n a 趋于 a).由于 n 限于取正整数,所以在数列极 限的记号中把 n → + 写成 n →,即 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → →  . 若数列 an 没有极限，则称 an 不收敛，或称 an 为发散数列. 问题 如何表述 an 没有极限？ (三) 举例说明如何用  −N 定义来验证数列极限 例 1 证明: 1 lim 0( 0) p n p → n = 

《数学分析》上册敦案 第二章数列极限 海南大学数学系 正明Ve>0不纺设EN时，有 1 6. 例2求证g=0,(00,不妨设0) 证法1先设a>1,G>0,要使a-6-1电发+】 取-色么1+l.当N时，就有6-，甲旦-1对0M,0》

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 5 证明   0 不妨设 1 2   ,要使 | 1 p n －0|N 时,有 | 1 p n －0|= 1 p n ≤ 1 1 1 1 2 p P         +       <  . 例 2 求证 lim = 0 , (0  1) → q q n n . 证明   0 , 不妨设  1 ，要使 − =   n n q 0 q ，只要 nlg q  lg  （注意这里 lg q  0 , lg   0 ），只要 q n lg lg   . 取       = q N lg lg  ，则当 n  N 时，就有 − 0   n q ， 即 lim = 0 → n n q . 例 3 求证 lim =1 (  0) → a a n n . 证法 1 先设 a 1，  0 ，要使 −1 = −1   n n a a ， 只要  1+  n a ， 只要 lg lg (1 ) 1 a  +  n ，只要 lg(1 ) lg +   a n . 取     + = lg(1 ) lg  a N ， 当 n  N 时，就有 −1   n a ，即 lim =1 → n n a .对 0  a 1 ，令 a b 1 = ，则 1 lim 1 lim = = → → n n n n b a . 证法 2 令 n n a −1 = h ，则 n n n n n a = (1+ hn ) = 1+ nh ++ h  nh ， n a 0  hn     0 , 要使 − =   n n a 1 h , 只要   n a ，取       =  a N ，只要 n  N ，就有 −1   n a ，即 lim =1 → n n a . 例 4 证 0 ( 1) ! lim =  → a n a n n

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 -a,e>0,要使 例6=不-0 证明4=0+3y=1+n3+-D.32+mn-%n-2.3++3”> >n-m-2.3,n23. 3 注意到对任何正整数k,n>2k时有m-k>号就有 0号所-可°0-可器-器 6n2 6n 手是，对ve>0取=m4[. 例6ma=la>1 证法一令a-l=an,有an>0.用Bernoulli不等式，有 a=0+e,y≥1+a,=+a-或0m后

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 6 证明 因为 ) [ ]! ( ! 1 2 [ ] [ ] 1 [ ]! [ ] [ ] a a c n a c n a a a n a a a a a a a n a n a a     =  = + =     ，   0 ， 要使 − =   ! 0 ! n a n a n n ，只要    n c a ，取        =  c a N ，则只要 n  N ，就有 − 0   n! a n ，即 0 ! lim = → n a n n . 例 5 0. 4 lim 2 = → n n n 证明  + +  − −  + − = + = +  + n n n n n n n n n 3 3 3! ( 1)( 2) 3 2! ( 1) 4 (1 3) 1 3 2 3  3 , 3. 3! ( 1)( 2) 3   − −  n n n n 注意到对任何正整数 k, n  2k 时有 , 2 n n − k  就有 27( 1)( 2) 6 27 ( 1)( 2) 6 4 0 4 2 2   − − = − −   n n n n n n n n n n . 1 1 27 24 27 6 4 2 n n n n =     于是，对   0, 取 }. 1 max{ 4 ,       =  N  . 例 6 lim =1, 1. → a a n n 证法一 令 1 , n n a − = 有  0.  n 用 Bernoulli 不等式，有 (1 ) 1 1 ( 1), 1 = +  + = + − n n n a  n n n a 或 .  1 0 1 1 n a n a a n  −  −  证法二 （用均值不等式） n  n n a a 1个 0 1 1 1 −  − =   .  1 1 1 1 n a n a n a n  − − = + − −  . 例 7 lim = 1. → n n n 证法一 n  2 时， . 2 2 2 1 2 2 0 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n  − − = + −  − = −  − 证法二 2 ( 1) 2! ( 1) ( ) (1 1) − − = = + −  n n n n n n n n n n n （二项式展开）  1 2 1 − −  n n n

《数学分析》上册敦案 第二章数列极限 海南大学数学系 因此，>0，取号+，则当>N时就有0N时就有 3n2 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐 性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾： 要取舍合理，不能放大得过份. (四)关于数列的极限的6-N定义的几点说明 1、关于s:①s的任意性.定义1中的正数s的作用在于衡量数列通项a,与常数a的接近 程度，￡越小，表示接近得越好：而正数ε可以任意小，说明a,与常数a可以接近到任何程度： ②ε的暂时固定性.尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 N:③6的多值性.6既是任意小的正数，那么号，3,82等等，同样也是任意小的正数，因此定 义1中的不等式|a,-aKs中的s可用号，3,2等来代替.从而“|a,-aks”可用“|a,-a上￡

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 7 因此，   0 ，取 1] 2 [ 2 = +  N ，则当 n  N 时就有 0  −1   n n 即可得证. 附：此题请注意以下的错误做法： = (1+ −1)  1+ ( −1) n n n n n n n  = −   − −  n n n n n 1 1 1 1 n 1 1−   −    1 1 n （注意 n 1 1− 不趋于零）. 例 8 证明 3 4 3 lim 2 2 = → n − n n 证明 由于 n n n n 12 4 12 3 4 3 2 2 2  − − = − （ n  3 ） （*） 因此，   0 只要取   n 12 便有 −   − 3 4 3 2 2 n n , 由于（*）式是在 n  3 的条件下成立的，故应取 ]} 12 max{3,[  N = ，当 n  N 时就有 −   − 3 4 3 2 2 n n 即 3 4 3 lim 2 2 = → n − n n . 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐 性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾； 要取舍合理，不能放大得过份. (四) 关于数列的极限的  −N 定义的几点说明 1、关于  ：①  的任意性.定义 1 中的正数  的作用在于衡量数列通项 n a 与常数 a 的接近 程度，  越小，表示接近得越好；而正数  可以任意小，说明 n a 与常数 a 可以接近到任何程度； ②  的暂时固定性.尽管  有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 Ｎ；③  的多值性.  既是任意小的正数，那么 2 ,3 , 2    等等，同样也是任意小的正数，因此定 义 1 中的不等式 | | n a a −   中的  可用 2 ,3 , 2    等来代替.从而“ | | n a a −   ”可用“ | | n a a −  

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 代替；④正由于￡是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数. 2、关于N:①相应性，一般地，N随ε的变小而变大，因此常把N定作N(),来强调N 是依赖于ε的：G一经给定，就可以找到一个N:②N多值性.N的相应性并不意味着N是由s唯 一确定的，因为对给定的e,若N=100时能使得当n>N时，有1a,-ake,则N=101或更大的 数时此不等式自然成立.所以N不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是N的存在性， 而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的N也不必限于自然数，只要N是正数即可：而且 把“n>N”改为“n≥N”也无妨. 3、数列极限的几何理解：在定义1中，“当n>N时有|a,-ake”一“当n>N时有 a-sN时有an∈(a-6,a+s)=U(a,s)”台所有下标大于N的项an都 落在邻域U(a,)内：而在U(a,e)之外，数列{a,}中的项至多只有N个（有限个），反之，任给 6>0,若在U(a;s)之外数列{a,}中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N,则当n>N 时有a,∈U(a,s),即当n>N时有1a,-aks,由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义'任给e>0,若在U(a,e)之外数列{a}中的项只有有限个，则称数列{a}收敛于极 限a. 由此可见：1)若存在某个8>0，使得数列{a}中有无穷多个项落在U(g6)之外，则{a} 一定不以为极限：2)数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的 有限项无关，所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和 极限都不会发生影响. 例1证明{}和{(-1)}都是发散数列 例2设m,=my=a,作数列如下：{，}：，片，x出，证明m。=a 例3设{a}为给定的数列，{b,}为对{a}增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明： 数列{b}与{a}同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2若ima,=0,则称{a,}为无穷小数列. 如份份}仁}侣是无小现

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 8 代替；④正由于  是任意小正数，我们可以限定  小于一个确定的正数. 2、关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随  的变小而变大，因此常把Ｎ定作 N( )  ，来强调Ｎ 是依赖于  的；  一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性.Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由  唯 一确定的，因为对给定的  ，若 N =100 时能使得当 n N 时,有 | | n a a −   ,则 N =101 或更大的 数时此不等式自然成立.所以Ｎ不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性， 而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且 把“ n N ”改为“ n N ”也无妨. 3、数列极限的几何理解：在定义 1 中，“当 n N 时有 | | n a a −   ”  “当 n N 时有 n a a a −   +   ”  “当 n N 时有 a a a U a n  − + = (    , ( ; ) ) ”  所有下标大于Ｎ的项 n a 都 落在邻域 U a( ; )  内；而在 U a( ; )  之外，数列 an 中的项至多只有Ｎ个（有限个）.反之，任给   0 ，若在 U a( ; )  之外数列 an 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当 n N 时有 ( ; ) n a U a   ，即当 n N 时有 | | n a a −   ，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义 1 任给   0 ，若在 U a( ; )  之外数列 an 中的项只有有限个，则称数列 an 收敛于极 限 a. 由此可见：1）若存在某个 0   0 ，使得数列 an 中有无穷多个项落在 0 U a( ; )  之外，则 an 一定不以 a 为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的 有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和 极限都不会发生影响. 例 1 证明   2 n 和 ( 1)  n − 都是发散数列. 例 2 设 lim lim n n n n x y a → → = = ，作数列如下：   1 1 2 2 : , , , , , , , n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a → = . 例 3 设 an 为给定的数列， bn 为对 an 增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明： 数列 bn 与 an 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等. 三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义 2 若 lim 0 n n a → = ，则称 an 为无穷小数列. 如 1 2 1 1 ( 1) 1 , , , 2 n n n n n +         −                 都是无穷小数列

《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 数列{a,}收敛于a的充要条件： 定理2.1数列{a,}收敛于a的充要条件是{a,-a为无穷小数列. 作业教材P273,4,5,7,82)

《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 9 数列 an 收敛于 a 的充要条件： 定理 2.1 数列 an 收敛于 a 的充要条件是 a a n −  为无穷小数列. 作业 教材 P27 3，4，5，7，8⑵