《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 第三章习题课 要求掌握的内容： 1、正确理解、熟练运用6一δ定义去证明极限： 2、掌握函数极限的性质（与数列极限的性质类似）： 3、极限存在的准则：a)两边夹定理：b)海涅定理（归结原则）要比较熟 练地运用；c)Cauchy收敛准则（要知道）： 4、两个重要极限（熟练运用）： 5、无穷小与无穷大（定义），重点是阶的比较、应用. 应注意的问题： 一、怎样正确求得合适的⊙ 用定义证明数列极限时，往往是先假设”大于某固定值，然后通过估计求得 合适的N,类似的，用定义证明函数极限m)=A时，也可先对x作适当限制， 以求得合适的6.一般假设x在的某领域(x,),刀的取值视具体问题而定。 x+x-2 例用6-6定义证明-3效中2-3 证明4)先消去分子分母中可能存在的零化因子x-), f(x)= x2+x-2-(x+2x-1)x+2 x(x2-3x+2)x(x-2x-1)x(x-2) ②将fx)-A表示成如下形式：If)-AHxr-a叫， x2-2x ③)选取合适的7>0使xeUa)时有p)sMa）
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 第三章 习题课 要求掌握的内容： 1、正确理解、熟练运用 − 定义去证明极限； 2、掌握函数极限的性质（与数列极限的性质类似）； 3、极限存在的准则：a）两边夹定理；b）海涅定理（归结原则）要比较熟 练地运用；c）Cauchy 收敛准则（要知道）； 4、两个重要极限（熟练运用）； 5、无穷小与无穷大（定义）,重点是阶的比较、应用. 应注意的问题： 一、怎样正确求得合适的 用定义证明数列极限时,往往是先假设 n 大于某固定值,然后通过估计求得 合适的 N .类似的,用定义证明函数极限 f x A x a = → lim ( ) 时,也可先对 x 作适当限制, 以求得合适的 .一般假设 x 在 0 x 的某领域 ( , ) U x0 , 的取值视具体问题而定. 例 用 − 定义证明 3 ( 3 2) 2 lim 2 2 1 = − − + + − → x x x x x x . 证明 ⑴先消去分子分母中可能存在的零化因子 (x − a) , ( 2) 2 ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 3 2) 2 ( ) 2 2 − + = − − + − = − + + − = x x x x x x x x x x x x x f x . ⑵ 将 | f (x) − A | 表示成如下形式： | f (x) − A |=|(x) | | x − a | , | | 1| 2 3 2 | | 2 3 5 2 3 | | ( 2) 2 | ( ) | | 2 2 2 − − − = − − + + = − + − = x x x x x x x x x x x f x A . ⑶ 选取合适的 0 使 x U(a,) 时有 |(x) | M (a)
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 本题中)=32 -2正，分母中有两个零点0、2，故应使0(a,)与分母的两 个学有相支以复求得喻上并山.货我不统段一片，即段子号，园 阿h号号 →分-2号=3x-2水i,-1分0s-号号-2-2兮3-2 3 0求=m? (最后使fx)-AHp(x)lx-asM|x-aKe 有0-a水奇.故取5=m分，. 对本题即有： g0.取5=m号品.则当0对-1水8时 x2+x-2 x2+x-2 r-3x+2-3 因此， 注()如)-Aks能直接方便解出合适的6，或可直接估计 2
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 本题中 x x x x 2 3 2 ( ) 2 − − = ,分母中有两个零点 0 、 2 ,故应使 U(a,) 与分母的两 个零点相离,以便求得 |(x) | 的上界 M .故我们不妨设 2 1 = ,即设 2 3 2 1 x ,因 而有 2 9 3 2 3 x 2 5 3 2 2 1 − x − 2 5 | 3x − 2 | ； 2 1 1 2 1 − x − 4 1 0 ( 1) 2 x − , 所以, 4 3 1 2 ( 1) 1 2 2 − x − x = x − − − | 2 | 1 4 3 2 x − x , 于是 M x x x x = = − − = 3 10 4 3 2 5 | 2 3 2 | ( ) | | 2 . （也可以这样： 2 1 x 2 1 2 2 3 − x − − 2 1 | x − 2 | 4 1 | x(x − 2) | ） ⑷ 求得 min{ , } M = . （最后使 | f (x) − A |=|(x) || x − a | M | x − a | , 得 M x a 0 | − | ,故应取 min{ , } M = ）. 对本题即有： 0,取 } 10 3 , 2 1 = min{ ,则当 0 | x −1| 时, − − = − + + − ( 3) | ( 3 2) 2 | 2 2 x x x x x − − − || 1| 2 3 2 | 2 x x x x | −1| 3 10 x , 因此, 3 ( 3 2) 2 lim 2 2 1 = − − + + − → x x x x x x 注 (1) 如 | f (x) − A | 能直接方 便解出合适的 , 或可直接估计
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 Ifx)-A长MIx-a叫，则不必设x的取值范围 (②)对单侧极限可相应限制x在x的某单侧领域： 8)对于血f)A或甲)=A,只需须假设x>G或x<-G. 二、常见函数极限的求法 (①)利用定义： (②)利用运算法则（包括复合函数求极限的准则）： (③)约简分式或分子分母有理化： (4)借助无穷小量的性质（特别注意：无穷小量与无穷大量的倒数关系，无穷 小量乘有界量为无穷小量)： (⑤无穷小量替换： (⑥)利用函数极限存在准则： ()利用两个重要极限 在实际求极限过程中，往往是几种方法并用，当然以后还会有新的方法（如洛 必达法则等)·在利用上述方法求极限时应注意必须满足的条件。 例如，判断下列运算是否正确？ 3 -1_(x-) 2- (3) @之错在于分每极限不能为0，应由只二子=0→只 r-2 =0 x-2 (无穷大量 3
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 | f (x) − A | M | x − a | ,则不必设 x 的取值范围； (2) 对单侧极限可相应限制 x 在 0 x 的某单侧领域； (3) 对于 f x A x = →+ lim ( ) 或 f x A x = →− lim ( ) ,只需须假设 x G 或 x −G. 二、常见函数极限的求法 ⑴ 利用定义； ⑵ 利用运算法则（包括复合函数求极限的准则）； ⑶ 约简分式或分子分母有理化； ⑷ 借助无穷小量的性质（特别注意：无穷小量与无穷大量的倒数关系,无穷 小量乘有界量为无穷小量）； ⑸ 无穷小量替换； ⑹ 利用函数极限存在准则； ⑺ 利用两个重要极限 在实际求极限过程中,往往是几种方法并用,当然以后还会有新的方法（如洛 必达法则等）.在利用上述方法求极限时应注意必须满足的条件. 例如,判断下列运算是否正确？ ⑴ = → x x x 1 lim sin 0 → x x 0 lim 0 1 lim sin 0 = x→ x ⑵ 3 1 1 3 lim( ) x 1 1 x x → − − − − 1 1 lim x 1 x → − = − − = − → − 3 1 1 3 lim x x + − (+) = 0 ⑶ = − − = − − → → → lim ( 2) lim ( 1) 2 1 lim 2 2 2 x x x x x x x ⑶之错在于分母极限不能为 0 ,应由 0 1 2 lim 2 = − − → x x x = − − → 2 1 lim 2 x x x （无穷大量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 与无穷小量的关系). 又如，在复合函数求极限法则中有一种条件要注意，即36>0，当x∈U(a,d) 时)≠A但巴闭=4.我们平时碰到的大量函数忽路了此条件不一定出问 题，但对有些情况是要出问题的。 )=0x为有理数 例如， 0,x08/训=0x为有理数 xx为无理数8)=人r=0 x,x为无理数 虽有f)=0=A,8)=0=B,但g/x】为Dch:函数，处处无极限 例1、mWF+x-F+r 解原式血NF+x-+F-训。 =n+0+w++x+1-号号6 作安袋-滑就海：亚 6(后一方法不易出错} 3smx+xcos 3inx+x cos! xcoS- 2.0+es1+司-典2x 0- a.m-m=色2m-6s甲+区 2 -如2mWm60 2 (无穷 小乘以有界两等于无穷小)·
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 与无穷小量的关系）. 又如,在复合函数求极限法则中有一种条件要注意,即 0 ,当 x U(a, ) 时 f (x) A 但 f x A x a = → lim ( ) .我们平时碰到的大量函数忽略了此条件不一定出问 题,但对有些情况是要出问题的. 例如, = 为无理数 为有理数 x x x f x , 0, ( ) , = = 0, 0 1, 0 ( ) x x g x , = 为无理数 为有理数 x x x g f x , 0, [ ( )] 虽有 f x A x = = → lim ( ) 0 0 , g x B x = = → lim ( ) 0 0 ,但 g[ f (x)] 为 Dirichlet 函数,处处无极限. 例 1、 lim ( ) 2 3 3 2 x x x x x + − + →+ . 解 原式 lim [( ) ( )] 2 3 3 2 x x x x x x x = + − − + − →+ = − + + = →+ 1 1/ 1 1 lim [ x x (1 1/ ) 1 1/ 1 1 3 2 3 + x + + x + 6 1 3 1 2 1 = − = . 或作变换 t x 1 = 得 原式 6 1 1 1 lim 3 0 = + − + = → + t t t t （后一方法不易出错） 2、 (1 cos )ln(1 ) 1 3sin cos lim 2 0 x x x x x x + + + → x x x x x 2 1 3sin cos lim 2 0 + = → 2 1 cos lim 2 3sin lim 0 0 x x x x x→ x→ = + 2 3 0 2 3 = + = 3、 lim (sin x 1 sin x) x + − →+ 2 1 cos 2 1 lim 2sin x x x x x + − + + = →+ 0 2 1 cos 2( 1 ) 1 lim 2sin = + + + + = →+ x x x x x （无穷 小乘以有界两等于无穷小）
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 4、m6m+sm=e m@0e时r-2✉之亮0*s =0-2岁+834 →(e°.e'=e (利用+0=e). 反.色二物动 g-sx(作为课后练习) =典gug)-g65m+g6n-s6m lgx-sinx i)co(sn)-sir(( lim- cos(sin c) Igx-sin x sin (gr-sinsin(sin )-sin(sin x) co)cocos( lgx-sinx 1 igx-sin x cos(x)cos(sin x) x2 11号1-2 6.me2) 0水84号
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 4、 e x x x x + = →+ ) 1 sin 1 lim (sin . x x x x tg x x x ) 1 ) (1 1 ) (cos 1 sin 1 (sin + = + 2 2 1 1 1 2sin 2 sin 2 2 2 1 [(1 2sin ) ] 2 x x x x = − x xtg x tg x tg 1 1 1 ) ] 1 [(1+ 2 2 1 1 1 1 1 2sin (sin / ) 2 2 2 2 2 1 [(1 2sin ) ] 2 x x x x x = − x x tg x tg x tg 1 / 1 1 1 ) ] 1 [(1+ → e e = e −1 0 1 ( ) （利用 u e u u + = → 1 0 lim (1 ) ）. 5、 tgx x tg tgx x x sin ( ) sin(sin ) lim 0 − − → （作为课后练习） tgx x tg tgx tg x tg x x x sin ( ) (sin ) (sin ) sin(sin ) lim 0 − − + − = → tgx x x c x tgx x x tgx tgx x x sin sin(sin ) cos(sin ) sin(sin ) [sin( )cos(sin ) sin(sin )cos( )]/[cos( )cos(sin )] lim 0 − − + − = → tgx x x x x tgx x tgx x x sin sin(sin ) cos(sin ) sin(sin ) cos( ) cos(sin ) sin( sin ) lim 0 − + − − = → + − − = → cos( ) cos(sin ) 1 sin sin( sin ) lim 0 tgx x tgx x tgx x x x x x x x x x sin cos sin 1 cos(sin ) cos(sin ) sin(sin ) lim 0 − − → = 11+ x x x x x x x x x x x cos(sin ) 1 cos sin cos sin 1 cos(sin ) cos(sin ) sin(sin ) lim 2 2 2 2 0 − − → 1 2 1/ 2 1/ 2 = 1+1 = 6、 ) 1 1 lim ( 1 m n x x n x m − − → − （ + n,m Z ） 解 原式= 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) lim (1 )(1 )(1 ) n m m n x m x x n x x x x x x x − − → − − + + + − + + + − + + + + + +
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 1-x =n+-四.+++- x-1 x-1 点g.g" 2 2 或解2：令x=1+少，代入通分即可得到. 、mcoo克os克} 故原式动m2/咖引=系马 四21 &、卿的 解白。19宁为有界量0≤空) 期1920,1口 x对中21卿中=1 6
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 x m x x n n x x m mn n m x − + + + − − + + + − = − − → 1 (1 ) (1 ) lim 1 1 1 1 ] 1 (1 ) 1 (1 ) lim[ 1 1 1 1 − + + + − − − + + + − = − − → x m x x n x n x x m mn m n x 2 ] 2 ( 1) 2 ( 1) [ 1 nm m mn n m n mn − = − − − = 或解 2：令 x = 1+ y ,代入通分即可得到. 7、 ]} 2 cos 2 cos 2 lim{lim[cos cos 2 0 n x n x x x x → → 解 2 1 1 2 ]sin 2 cos 2 [cos cos 2 1 2 ] sin 2 cos 2 cos 2 [cos cos − − = n n n n x x x x x x x x x x x x n n sin 2 2 1 cos sin 2 1 +1 = = = 故原式 1 0 1 lim[lim( sin 2 / sin )] 2 2 n n x n x x → → + = ] 2 sin 2 ) / 2 2 sin lim[lim ( 1 0 x x x x n n x n = − → → 1 2 sin 2 lim 0 = = → x x x . 8、 ] 1 lim [ 0 x x x→ . 解一 ) 1 ( 1 ] 1 [ x x x = − ) 1 1 ] 1 ( 1 [ = − → x x x x , ) 1 ( x 为有界量（ ) 1 1 0 ( x ）. 解二 x x x 1 ] 1 1 [ 1 − x 0 时, ] 1 1 ] 1 lim [ 1 1 [ 0 − = → + x x x x x x , x 0 时, ] 1 1 ] 1 lim [ 1 1 [ 0 − = → − x x x x x x
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 .马9-名>060， a x0 aF++1-a+61=m0-ar+0-2abx+1-6 √x2+x+1+(+b) 如1-a2≠0，则分子的次数(x2)比分母高，当x→+0时分式应→+0： (1-2b)x+1-b2 故1-a2=0再由a>0知a=1.于是上式右边成为 F+x+1++) 7
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 9、 a b x b a x x = → lim [ ] 0 （ a 0,b 0 ） 解一 a b x b a x x b a x x b a x [ ] = − ( ) → 解二 x b x b x b −1 [ ] x 0 时, a b x b a x x b a x x b a x x b a x x − = → + ( 1) [ ] lim [ ] 0 ; x 0 时, a b x b a x x b a x x b a x a x a b x − = → − [ ] lim [ ] 0 . 10、 lim [ 1 ( )] 0 2 + + − + = →+ x x ax b x ,求常数 a 和 b . 解一 令 + +1 − ( + ) = 2 x x ax b ,则 lim = 0 → x , 故 ) lim 0 1 lim ( 2 = = + + − − →+ x →+ x x x ax b x x 即 ) 0 1 lim ( 2 − − = + + →+ x b a x x x x a x x x x = + + →+ 1 lim 2 而 = + + →+ x x x x 1 lim 2 1 1 1 lim 1 2 + + = x→+ x x 得 a =1, 代入得 b = x + x +1 − x − 2 两边令 x → + 得 →+ →+ = + + − − x x b lim ( x x 1 x) lim 2 2 1 1 lim x 1 2 x x x x →+ + = = + + + 解二 因 + + = + →+ lim 1 2 x x x ,而原式右边为 0 ,故 + = + →+ lim (ax b) x a 0 + + − + = →+ lim [ 1 ( )] 2 x x ax b x 1 ( ) (1 ) (1 2 ) 1 lim 2 2 2 2 x x ax b a x ab x b x + + + + − + − + − →+ . 如 1 0 2 − a ,则分子的次数（ 2 x ）比分母高,当 x → + 时分式应 → + ； 故 1 0 2 − a = 再由 a 0 知 a =1.于是上式右边成为 1 ( ) (1 2 ) 1 lim 2 2 x x x b b x b x + + + + − + − →+
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 以除分子分上式根为0-沙已刻限为0 21 11、设 存在，求常数a 、ne+cm=m9-7=0 ei+]x 台学. e*+1 故当且仅当a-1=1即a=2时上述极限存在.(2000年数学一考研题有一类 似题目) 2、已和知投=9 求常数a. 解 =2=m0+2弘器-.9 -6 x-a 2a=h9=2n3a=h3. 13、叙述“血)”的ke定理（归结原则），并证明之. 解∫在某(a,+o)上有定义，则 血田闭=A台，}c(a+o),x,→+m→o)有mf,)=A 证：“一”血f)=A,则E>0,3M>0,当x>M时f)-Ake 设cU+o),x。→+an→四)对上述M>0,N,当n>N时，>M, 从而，)-4kE即血/)=A
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 以 x 除分子分母,上式极限为 (1 2 ) 2 1 − b ,但已知极限为 0 故 2 1 b = . 11、设 ] | | sin 1 lim[ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → 存在,求常数 a . 解 ] | | sin 1 lim [ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → + ] 1 sin 1 lim [ 2 1 0 − = − + + = − − → + a x x e a e x x x , ] | | sin 1 lim [ 2 2 1 0 x x e ae e x x x x − + + → − ] 0 1 1 sin 1 lim [ 2 2 1 0 + = + = + + = → − x x e ae e x x x x . 故当且仅当 a −1=1 即 a = 2 时上述极限存在.（2000 年数学一考研题有一类 似题目） 12、已知 lim ( ) = 9 − + → x x x a x a ,求常数 a . 解 = − + → x x x a x a lim ( ) ) 9 2 lim (1 2 2 2 = = − + − − → x a a ax a x a x e x a a 2a = ln 9 = 2ln 3 a = ln 3. 13、叙述“ lim f (x) x→+ ”的 Heine 定理（归结原则）,并证明之. 解 f 在某 (a,+) 上有定义,则 f x A x = →+ lim ( ) {x } (a,+) n , x → +(n → ) n 有 lim ( ) n n f x A →+ = 证：“ ” f x A x = →+ lim ( ) ,则 0,M 0 ,当 x M 时 | f (x) − A | . 设 {x } U(+) n , x → +(n → ) n ,对上述 M 0,N ,当 n N 时 xn M , 从而 | f (x ) − A| n 即 lim ( ) n n f x A →+ =
《数学分析》上册教案】 第三章函数极限 海南大学数学系 “∈”如对任一趋于+∞的数列化，m,)=A,下证mf四)=4 反证：设m闭≠A,则6>≥0，VM>a,3u>M但lf)-A6 取n=1,3>1+a使|fx)-AP: 取n=2,3>2+a使lf,)-A; 取n=m,3rn>m+a使fxn)-A6o: x,=切.但心，)-4非6，因此血)≠A与假设矛盾 14、证明：若/为周期函数，且血闭=0，则)=0 证明设T为∫的一个周期.假设()不恒等于零则，使得 fx)=A≠0，从而 f八x+nT)=f(x)=A≠0(n=1,2,.) 又因为)=0而=x+r→切m→w, 由海涅定理，必有血，)=血+m=0但化，+n=A,矛盾. 15、设函数/在0，+o上满足方程f2x)=f),且血f)=4 证明：f(x)=A,x∈(0，+o). 证设∈0，+o)使)≠A,则由己知的函数方程推得 B=fxo)=f(2xo)=f2xo)=.=f(2"x)=.≠An=l,2,. 但血=4，有海涅定理对，=”有，)=A, 而气，=2”x→+0→/2)=A与f0x)=B矛后
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 9 “ ”如对任一趋于 + 的数列 { }n x , lim ( ) n n f x A →+ = ,下证 f x A x = →+ lim ( ) . 反证：设 f x A x →+ lim ( ) ,则 0 0 ,M a , xM M 但 0 | f (x ) − A| M 取 n =1, x1 1+ a 使 1 0 | f (x ) − A| ； 取 n = 2, x2 2 + a 使 2 0 | f (x ) − A| ；. 取 n = m, xm m + a 使 0 | f (x ) − A| m ；. = + → n n lim x .但 0 | f (x ) − A| n ,因此 f xn A x →+ lim ( ) 与假设矛盾. 14、证明：若 f 为周期函数,且 lim ( ) = 0 →+ f x x ,则 f (x) 0 证 明 设 T 为 f 的 一 个 周 期 . 假 设 f x( ) 不 恒 等 于 零 则 0 x 使 得 f (x0 ) = A 0 ,从而 f (x0 + nT) = f (x0 ) = A 0 （ n = 1,2, ） 又因为 lim ( ) = 0 →+ f x x 而 xn = x0 + nT → + (n → ) , 由海涅定理,必有 = →+ lim ( ) n n f x lim ( 0 + ) = 0 → f x nT n 但 f (x0 + nT) = A ,矛盾. 15、设函数 f 在 (0,+) 上满足方程 f (2x) = f (x) ,且 f x A x = →+ lim ( ) . 证明： f (x) A , x (0,+) . 证 设 0 x (0,+) 使 f (x0 ) A ,则由已知的函数方程推得 B f x f x f x f x A n = ( ) = (2 ) = (2 0 ) = = (2 0 ) = 2 0 0 , n = 1,2, , 但 f x A x = →+ lim ( ) ,有海涅定理对 = + → n n lim x 有 f xn A n = → lim ( ) , 而 x = 2 x0 → + n n f x A n n = → lim (2 ) 0 与 f x B n (2 0 ) = 矛盾
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (也可：对54-Bb0,M>0,当x>M时lf)-AK,取足够大的n可 使2”>M,此时应有B-AHf2”x)-AkA-B矛盾). 思考题设∫为定义在(a,+∞)上的函数，且在每一有限区间(a,b)内有界，满 足加+-a-4正明.色四-4 X (提示：先证A=0的情形，再利用辅助函数证明一般情形) 16、证明)=，是香也有闭=)， 证明：iDf)=Am/r)=mfx=A 证e>0,38>0当00,36>0当0dx水d时有l/)-AkE 设5=，则当0xkδ时，0k6=fV)-Ak即lf)-A水E iDf)=x则x)=1x≠0)但f国不存在.如改为 量f)=),则结论成立
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 10 （也可：对 0 =| A− B | 0 , M 0 ,当 x M 时 0 | f (x) − A| .取足够大的 n 可 使 x M n 2 0 ,此时应有 B A f x A A B n | − |=| (2 0 ) − | 0 =|| − 矛盾）. 思考题 设 f 为定义在 (a,+) 上的函数,且在每一有限区间 (a,b) 内有界,满 足 f x f x A x + − = →+ lim [ ( 1) ( )] ,证明： A x f x x = →+ ( ) lim . （提示：先证 A = 0 的情形,再利用辅助函数证明一般情形） 16、证明 = → lim ( ) 0 f x x lim ( ) 3 0 f x x→ ,是否也有 = → lim ( ) 0 f x x lim ( ) 2 0 f x x→ ？ 证明：i） f x A x = → lim ( ) 0 lim ( ) 3 0 f x x→ f x A x = = → lim ( ) 2 0 . 证 0, 0 当 0 | x | 时有 | f (x) − A | 令 = min{ ,1} ,则当 0 | x | 时有 0 | || || | 3 2 x x x ,故有 | ( ) − | 3 f x A , | ( ) − | 2 f x A . ii） f x A x = → lim ( ) 3 0 f x A x = → lim ( ) 0 证明 0, 1 0 当 1 0 | x | 时有 | ( ) − | 3 f x A 设 3 = 1 ,则当 0 | x | 时, 1 3 0 | x | | ([ ] ) − | 3 3 f x A 即 | f (x) − A | iii) f (x) = sgn x 则 ( ) 1 2 f x (x 0) 但 lim ( ) 0 f x x→ 不存在 . 如改为 = → + lim ( ) 0 f x x lim ( ) 2 0 f x x→ ,则结论成立