《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 第四章连续函数习题课 一、基本概念与主要结果 (一)函数连续性定义 函数∫在x0点连续，等价定义有： 1、f=fc) 2、6>0,36>0,x:x-xk6→lfx)-fx)k6, 3、m4y=0 4、倒=黑f)=) 5、s>0,36>0→fUx,cUfx,). 6、对任意数列，→→四，≠，有血f,)=) lim f(x)=f(xo)lim f(x)=f(xo) (仁)左、右连续： (三)间断点类型： [lim f(x)存在-一可去间断点 f(x,人f(x。)归但不等一一第一类间断点 间断点（不连续点） /(6人化，冲至少一个不存在-一第二类间断点 (四)一致连续概念： f(x).xEI e>0,36=e)>0,使得，本∈1,1-xK6=f)-,)k8
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 第四章 连续函数习题课 一、基本概念与主要结果 (一) 函数连续性定义 函数 f 在 0 x 点连续,等价定义有： 1、 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ； 2、 0, 0 ,x：| x − x0 | | ( ) − ( ) | 0 f x f x ； 3、 0 lim 0 x y → = ； 4、 = → + lim ( ) 0 f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ； 5、 0, 0 [ ( , )] ( ( ), ) 0 0 f U x U f x ； 6、对任意数列 { }n x , ( ) xn → x0 n → , 0 x x n ,有 lim ( ) ( ) 0 f x f x n n = → . (二) 左、右连续： lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + 、 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − . (三) 间断点类型： 间断点（不连续点） 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x f x f x f x → + − + − 存在-可去间断点 、 但不等-第一类间断点 、 中至少一个不存在-第二类间断点 (四) 一致连续概念： f (x), x I , 0, = ( ) 0 ,使得 x x I 1 2 , , | − | | ( ) − ( )| 1 2 1 2 x x f x f x
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 1、f)在闭区间a,1上一致连续⊙feCa,b1, 2、fx)在开区间(a,b)上一致连续一feC(a,b)且f(a)、f(b)存在： 3、不一致连续口3o>0,δ>0,3，x3∈I,虽x-x,K6但fx)-fx)P60 (伍)初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 一)局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性 (二)整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界：（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值：（最值性） 3、介值性、零点存在定理： 4、反函数的连续性定理： 5、feCa,口f在a,b1上一致连续 三、例题和讨论 例1若f在点0连续，则f八、也在点0连续，反之如何？ 证明1f八在点连续易证.现证∫在点x0连续， IS(x)-f(xo)Hf(x)+f(xo)I-If(x)-f(xo)I ∫在点o连续=6>0，M>0,当x∈U,d)时lfx)kM: 6>0,36,>0,当x-%k时.1/)-水是
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 1、 f (x) 在闭区间 [a,b] 上一致连续 f a b [ , ] ； 2、 f (x) 在开区间 ( , ) a b 上一致连续 f a b ( , ) 且 f a( ) + 、 f b( ) − 存在； 3、不一致连续 0 0 , 0, x x I 1 2 , ,虽 | x1 − x2 | 但 1 2 0 | f (x ) − f (x ) | (五) 初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 (一) 局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性. (二) 整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界；（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值；（最值性） 3、介值性、零点存在定理； 4、反函数的连续性定理； 5、 f a b [ , ] f 在 [a,b] 上一致连续. 三、例题和讨论 例 1 若 f 在点 0 x 连续,则 | f |、 2 f 也在点 0 x 连续,反之如何？ 证明 | f | 在点 0 x 连续易证.现证 2 f 在点 0 x 连续, | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x f x − f x , f 在点 0 x 连续 1 0 , M 0,当 0 1 x U x ( , ) 时 | f (x) | M ； 0, 2 0 ,当 0 2 | x − x | 时, M f x f x | ( ) − ( 0 ) |
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 取6=m时，d,则当lx-6k6时.广闭-产，水M后=e )=有理数 反之不成立，如 一x,x为无理数 例2若对Vc>0,∫在a+c,b-d上连续，是否能由此推出f在(a,b)内连续？ 解能.x,∈(ab),36,>0使a+,≤，≤b-60即∈[a+6o,b-6lca,1 （知取m06≥当， 2,2 由已知得，()在0连续，再由0的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： a+8)=amb-8)=bma+&,b-=(a.),故 例3f∈C(R),c>0,证明 「-c,fx)c 在R上连续 证-=l/ce-e 2 证二比eR iD如(xo)0，当x∈U(x,)时f)<-c →xeU.d时F)=-c,故F)=-c=F)
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 取 min{ , } = 1 2 ,则当 | x − x0 | 时, − = M | f (x) f (x0 ) | M 2 2 . 反之不成立,如 , ( ) , x x f x x x = − 为有理数 为无理数 . 例 2 若对 0, f 在 [a + ,b − ] 上连续,是否能由此推出 f 在 (a,b) 内连续？ 解 能. ( , ) x0 a b , 0 0 使 0 0 0 a + x b − 即 [ , ] [ , ] x0 a + 0 b − 0 a b . （如取 } 2 , 2 min{ 0 0 0 x − a b − x = ） 由已知得, f (x) 在 0 x 连续,再由 0 x 的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： 0 lim( ) a a → + = , 0 lim( ) b b → − = lim[ , ] ( , ) 0 a + b − = a b → ,故. 例 3 f ( ) , c 0 ,证明 , ( ) ( ) ( ), | ( ) | , ( ) c f x c F x f x f x c c f x c − − = 在 R 上连续. 证一 2 | ( ) | | ( ) | ( ) f x c f x c F x + − − = 证二 0 x i）如 f (x ) −c 0 ,则 0 ,当 ( , ) x U x0 时 f (x) −c , ( , ) x U x0 时 F(x) = −c ,故 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = →
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 D如，)>c,同上可证F)=c=F,) 面)如l/kc,同上可证画F()=,)=Fx) m)如o)=C,g>0,36>0当xeU.时l/)-水6且)>号 于是当eU,⊙时f<c+ ,从而F(x)=c或F()=fx),因而 F-F,非{-f水e |c-c=0<6 →F(x)在xo连续 v)若x)=-C,同v)可证 注意典型错误：设/)K-c,则F,)=-c.因此，mF(闭=-C=F,) 例4讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型）》 「x2-1 ()=x401 2-1 fx)=12+1 x≠0 (1) 0. x=0 (2) 1. x=0 )=血为有理数 (0 x为无理数 (④) f-n1x刘 解(1由初等函数连续性知，∫在x≠0,1连续， 因为▣=烟生-2≠0 (无定义)，故x=1为可去间断点： 因包闭华 ,故x=0为第二类间断点
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 ii）如 f (x ) c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = = → ； iii）如 | f (x ) | c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 F x f x F x x x = = → . iv）如 f (x ) = c 0 , 0, 0 当 ( , ) x U x0 时 | ( ) − ( ) | 0 f x f x 且 2 ( ) c f x , 于是当 ( , ) x U x0 时 f x c + c ( ) 2 ,从而 F(x) = c 或 F(x) = f (x) ,因而 − − = − = | ( ) ( ) | | | 0 | ( ) ( ) | 0 0 f x f x c c F x F x F(x) 在 0 x 连续 v）若 f (x ) = −c 0 ,同 iv）可证. 注意典型错误：设 f (x ) −c 0 ,则 F(x ) = −c 0 .因此, lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = → . 例 4 讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型） ⑴ 2 1 , 0,1 ( ) ( 1) 0, 0 x x f x x x x − = − = ⑵ 1 1 2 1 , 0 ( ) 2 1 1, 0 x x x f x x − = + = ⑶ sin , ( ) 0, x x f x x = 为有理数 为无理数 ⑷ ln | | 1 ( ) x f x = 解 ⑴由初等函数连续性知, f 在 x 0,1 连续, 因为 2 (1) 1 lim ( ) lim 1 1 f x x f x x x = + = → → （无定义）,故 x =1 为可去间断点； 因 = + = → → x x f x x x 1 lim ( ) lim 0 0 ,故 x = 0 为第二类间断点
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 ②)1，f)=-1,了0)=1，故了在x=0右连续非左连续，为第一类间断点。 ③)七≠mm∈时，在的右侧取有理数列{D.}及无理数列g.,使P。=。 -血4.，于是有.)=血p→血，*0而g.)=0→典国不存在，故 x。≠m(m∈Z为∫的第二类间断点： =mmeR)时，|fx)-f(x)Hfx)sin x→时.s如m→smm,=0.故/)-)非0→m)=化，) （15nH5血-s,上21cosx+,)m2x-x-x 此例可看出，它有无数多个孤立的连续点，而在被这些连续点隔开的每个开区间内，函 数是处处不连续的.实际上，f()=sinx·D(x) 推广P:R→R连续，f)=)D()(x∈R),则P的零点是∫的连续点，其余的点 是∫的第二类间断点。 此例也说明：一个函数在一点连续，并不意味着它在x的某个领域内也连续 例5证明：设J为区间上的单调函数，若∈1为厂的间断点，则必是∫的第一类间断 点 证明设)单调递增，则r0→为第一类间断点. 例6设f为la,上递增函数，其值域为fa,fb),证明f)eC[a,b
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 ⑵ lim ( ) 1 0 = → + f x x , lim ( ) 1 0 = − → − f x x , f (0) = 1 ,故 f 在 x = 0 右连续非左连续,为第一类间断点. ⑶ 0 x m m ( ) 时,在 0 x 的右侧取有理数列 { } pn 及无理数列 { }n q ,使 0 lim p x n n = → n n q → = lim ,于是有 f ( pn ) = sin pn → sin x0 0 而 f (qn ) = 0 lim ( ) 0 f x x x → + 不存在,故 0 x m m ( ) 为 f 的第二类间断点； 0 x m m = ( ) 时, | ( ) ( ) | | ( ) | |sin | 0 f x − f x = f x x 0 x → x 时, sin x → sin x0 = 0 .故 − = → lim | ( ) ( 0 ) | 0 0 f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （或： ( ) | | | 2 ( )sin 2 |sin | |sin sin | 2 | cos 0 0 0 0 x = x − x = x + x x − x x − x ） 此例可看出,它有无数多个孤立的连续点,而在被这些连续点隔开的每个开区间内,函 数是处处不连续的.实际上, f (x) = sin x D(x) . 推广 ： → 连续, f (x) = (x) D(x) （ x ）,则 的零点是 f 的连续点,其余的点 是 f 的第二类间断点. 此例也说明：一个函数在一点 0 x 连续,并不意味着它在 0 x 的某个领域内也连续. 例 5 证明：设 f 为区间 I 上的单调函数,若 x I 0 为 f 的间断点,则必是 f 的第一类间断 点. 证明 设 f (x) 单调递增,则 0 x x , ( ) ( ) 0 f x f x ,从而 f (x) 在 0 x 的左领域上单调递增有 上界,因而 lim ( ) 0 f x x x → − 存在；同理, ( ) 0 + f x 也存在,再由单调性 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x f x f x 0 x 为间断点 ( ) ( ) 0 0 − + f x f x ( 0 ) − ( 0 ) 0 + − f x f x 0 x 为第一类间断点. 例 6 设 f (x) 为 [a,b] 上递增函数,其值域为 [ f (a), f (b)] ,证明 f (x) C[a,b]
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明若f)有间断点∈a,1,由上题，f八)≠f)或x)≠f) 不妨设为前者，fx)递增，故有：f@sfsf。-0)sf,),x∈[a,o): f(b)≥f(x)≥f(x+0)≥f(xo),x∈(x,这说明对一切x∈a,b,不能取到 ((x。-0),f(x+0》内的值.这与己知矛盾，故fx)在[a,)上不可能有间断点，即连续。 例7证明：若了eCa,a<<x<<x,<b,则5e,x】使 f=)tf)++f) n 正明设)盟)f,)=x）,e,x r) 则)s 2fx,) f) 5.知)。或，”，则5即为所求.知上 式净不第的心 n—<fx) 由介值定理即得证 例8f()eC[0,2a且fo)=f(2a).证明：35e[0,d使f(5)=f(5+d）. 证明令Fx)=f)-fx+a),xe0,a 若FO)F(a=0→0或a即为所求：否则FOFa=-(/0)-fa2<0 由介值定理即得证. 例9∫eCa,b),r∈[a,b],f(x)≠0，则在[a,上恒正或恒负（此结论非常有用）. 证明：反证，用零点存在定理即得
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 6 证明 若 f (x) 有间断点 [ , ] x0 a b ,由上题, ( ) ( ) 0 0 f x f x − 或 ( ) ( ) 0 0 + f x f x 不妨设为前者, f (x) 递增,故有： ( ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 f a f x f x − f x , [ , ) 0 x a x ； ( ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 f b f x f x + f x , ( , ] x x0 b ,这说明对一切 x [a,b] ,不能取到 ( ( 0), ( 0)) f x0 − f x0 + 内的值.这与已知矛盾,故 f (x) 在 [a,b] 上不可能有间断点,即连续. 例 7 证明：若 f a b [ , ] , a x1 x2 xn b ,则 [ , ] 1 n x x 使 n f x f x f x f n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 2 + + = . 证明 设 1 ( ) min ( ) l i i n f x f x = , 1 ( ) max ( ) m i i n f x f x = , , { , , , } l m 1 2 n x x x x x , 则 ( ) ( ) ( ) 1 m n i i l f x n f x f x = .如 n f x f x n i i l = = 1 ( ) ( ) 或 n f x f x n i i m = = 1 ( ) ( ) ,则 l x 或 m x 即为所求.如上 二式皆不相等,则 ( ) ( ) ( ) 1 m n i i l f x n f x f x = ,由介值定理即得证. 例 8 f x a ( ) [0,2 ] 且 f (0) = f (2a) .证明： [0, a] 使 f ( ) = f ( + a) . 证明 令 F(x) = f (x) − f (x + a) , x [0,a] . 若 F(0)F(a) = 0 0 或 a 即为所求；否则 (0) ( ) ( (0) ( )) 0 2 F F a = − f − f a 由介值定理即得证. 例 9 f a b [ , ] , x [a,b] , f (x) 0 ,则 f 在 [a,b] 上恒正或恒负（此结论非常有用）. 证明：反证,用零点存在定理即得
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 例10feC0,f0)=f0,证明，对任何正整数，35∈0]使行+分=f份 证明”=1时，取5=0即可：>1时，令F闭=/x+片-) 正-e901-之，如xe1-之，Pg0,则P正该负 设F>0,ea-由即e+归>→o0. 2 ,故只要取6=26，但从上述结果还不能马上推出 √乐在0，+0上一致连续. (e>0,36>0,当lx-,K6时lf)-水E:如∈0，本eL+o)怎么办？) e>0,6>≥0，当本∈0，3-k8时-Ke 36=26>0,当西e0+∞)，1-xK时-Ke」
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 7 例 10 f [0,1] , f (0) = f (1) ,证明,对任何正整数 n , [0,1] 使 ) ( ) 1 ( f n f + = . 证明 n =1 时,取 = 0 即可； n 1 时,令 ) ( ) 1 ( ) ( f x n F x = f x + − 证一 1 F x( ) [0,1 ] n − ,如 ] 1 [0,1 n x − , F(x) 0 ,则 F(x) 恒正或恒负 设 F(x) 0 , ] 1 [0,1 n x − 即 ) ( ) 1 ( f x n f x + ) ( ) (1) 1 (0) ( f n n f n f f = , 矛盾. 证二 ) (1) (0) 0 1 ) ( 1 (0) ( = − = − + + + f f n n F n F F , 由例 7, [0,1] 使 ( ) 0 1 ( ) 1 = = = n i n i F n F . 例 11 x 在 (0,+) 上一致连续. 证一 x [0,1] x 在 [0,1] 上一致连续； x 在 (1,+) 上也一致连续,证明如下： 0 , 2 | | | | | | 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x − + − − = ,故只要取 = 2 ,但从上述结果还不能马上推出 x 在 [0,+) 上一致连续. （ 0, 0 ,当 | x1 − x2 | 时 1 2 | ( ) ( ) | f x f x − ；如 1 x [0,1] , 2 x + (1, ) 怎么办？） 0, 1 0 ,当 x x 1 2 , 0,1 , 1 2 1 | | x x − 时 1 2 | | x x − ； 2 = 2 0 ,当 1 2 x x, (1, ) + , 1 2 2 | | x x − 时 1 2 | | x x −
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 )在x=1连续，放6>0，当x-1K心时F-1k6/2.从而当，∈U0,6)且 1x-xk④时lG-A-+l压-1kε12+812=6 取6=min,d,d},则当，∈0，+o)且lx-为k6时有fx)-f(x)水6 证二6>0，取8=2>0，则当本名∈o)且l-￥K可时V氏-ke feC0,2]→f在0,2】上-致连续. 6>0,当，∈0,2)，|x-为k6时V民-√k 取i=min低，则当，∈0，+o)且3-xk6时民-kE.# 同法可证：∫在[a,q、【c,上一致连续→∫在[a,上一致连续. 例12feCa,),证明：若对一切有理数re[a,有f)=0,则f)=0,xea, (②对任意两个有理数，5∈a,片为， 由连续性及f心，<f心)得八)≤f),=a或=b时取极限 如存在<使：)=)，则由/单调递增性→%<x<有f)=) 但在氏，]之间有无数有理数，矛盾.故可知()在[a,上严格单调递增 例13f)在x=0连续，且对x,e(-,+o)有fx+)=f)+f0) 证明)feC(-n+o),②f)=f0x
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 8 f x( ) 在 x =1 连续,故 3 0 ,当 3 | 1| x − 时 | 1| / 2 x − .从而当 1 2 3 x x U , (1, ) 且 1 2 3 | | x x − 时 1 2 1 2 | | | 1| | 1| / 2 / 2 x x x x − − + − + = 取 min{ , , } 1 2 3 = ,则当 1 2 x x, [0, ) + 且 1 2 | | x x − 时有 1 2 | ( ) ( ) | f x f x − . 证二 0,取 1 = 2 0 ,则当 1 2 x x, [1, ) + 且 1 2 1 | | x x − 时 1 2 | | x x − f [0,2] f 在 [0, 2] 上一致连续. 2 0 ,当 1 2 x x, [0,2] , 1 2 2 | | x x − 时 1 2 | | x x − 取 min{ , ,1} 1 2 = ,则当 1 2 x x, [0, ) + 且 1 2 | | x x − 时 1 2 | | x x − . # 同法可证： f 在 [ , ] a c 、[ , ] c b 上一致连续 f 在 [ , ] a b 上一致连续. 例 12 f a b [ , ] ,证明：⑴若对一切有理数 r a b [ , ] 有 f r( ) 0 = ,则 f x x a b ( ) 0, [ , ] ⑵对任意两个有理数 1 2 r r a b , [ , ] , 1 2 r r 有 1 2 f r f r ( ) ( ) ,则 f x( ) 为 [ , ] a b 上严格递增函数. 证明 ⑴ 0 x a b [ , ] ,取有理数列 n 0 r x → , [ , ] n r a b , 0 0 lim ( ) ( ) n n f r f x → = = . ⑵ 1 2 x x a b , [ , ] , 1 2 x x .取 n 1 r x → 、 n 2 r x → , n r 、 n r 为有理数, n 1 r x 、 n 2 r x , 由连续性及 ( ) ( ) n n f r f r 得 1 2 f x f x ( ) ( ) , 1 x a = 或 2 x b = 时取极限 如存在 1 2 x x 使 1 2 f x f x ( ) ( ) = ,则由 f 单调递增性 1 2 x x x 有 1 f x f x ( ) ( ) = 但在 1 2 [ , ] x x 之间有无数有理数,矛盾.故可知 f x( ) 在 [ , ] a b 上严格单调递增 例 13 f x( ) 在 x = 0 连续,且对 − + x y, ( , ) 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) + = + 证明 ⑴ f − + ( , ) ；⑵ f x f x ( ) (1) =
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明ax,m)=m-)+G)=0+f化，)=f代) ②正有理数一只m>0 f(mx)=f(x)+f((m-1)x)=.=mf(x) f)=a克=停→f停-/) 巴)=m合-g)即)=)→)=0 f-)+fx)=f0)=0→f-x)=-fx)(f(x+0)=-fx)+f0)=f(0)=0), f-骨=-”0 所以，对任意有理数r,f)=四%，取，→名即可得证。 例14如何把闭区间连续函数的性质推广到开区间？ ①feC0,左端点a(可以为o),右端点b(可以为o):fa)=A,f6)=B (小B可以是-0或+0)A<B(约定-0<实数<+0)，则对任意实数c∈(AB), 3x∈I使fx)=c ②feca,b),fa)=f6)=1,则盟、至少有-个存在 ③feCa,b),fa小fb)存在，则f在ab)上有界. ④)feC(a,.b),f(a人fb)存在，则f在(a,b)上一致连续
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 9 证明 ⑴ 0 x , 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) (0) ( ) ( ) x x x x f x f x x f x f f x f x → → = − + = + = . ⑵ 正有理数 ( 0) m r m n n = 、 , f mx f x f m x mf x ( ) ( ) (( 1) ) ( ) = + − = = , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f x f n nf f f x n n n n = = = , ( ) ( ) ( ) m x m f x mf f x n n n = = 即 f rx rf x f r rf ( ) ( ) ( ) (1) = = f x f x f ( ) ( ) (0) 0 − + = = − = − f x f x ( ) ( ) （ f x f x f f ( 0) ( ) (0) (0) 0 + = + = ）, ( ) ( ) (1) m m m f f f n n n − = − = − . 所以,对任意有理数 r , f r rf ( ) (1) = 0 x ,取 n 0 r x → 即可得证. 例 14 如何把闭区间连续函数的性质推广到开区间？ ⑴ f I ( ) ,左端点 a （可以为 − ）,右端点 b （可以为 + ）； f a A ( ) + = , f b B ( ) − = （ A B 、 可以是 − 或 + ） A B （约定 − 实数 + ）,则对任意实数 c A B ( , ) , 0 x I 使 0 f x c ( ) = . ⑵ f a b ( , ) , f a f b l ( ) ( ) + − = = ,则 min ( ) a x b f x 、 ( ) a x b max f x 至少有一个存在. ⑶ f a b ( , ) , f a f b ( ) ( ) + − 、 存在,则 f 在 ( , ) a b 上有界. ⑷ f a b ( , ) , f a f b ( ) ( ) + − 、 存在,则 f 在 ( , ) a b 上一致连续
《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 「f(x),xe(a,b) F(x)=f(a').x=a 证3)方法一、令 f(b),x=b →Fx)ECa,b→F(x)在Ia,b上有界→F(x)在(a,b)上有界→f(w在(a,)上有界 方法二、利用极限与连续性（当a、b趋于∞时须用此法） 思考题 1、了eCa,+o),皿)月.证明f)必能在a+o)上取到最大值与最小值中的一个 2、了eqa,且对xea,存在相应的eal使得/水宁/，则至少存在一点 5∈[a,]使得f(5)=0】
《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 10 证⑶ 方法一、令 ( ), ( , ) ( ) ( ), ( ), f x x a b F x f a x a f b x b + − = = = F x a b ( ) [ , ] F x( ) 在 [ , ] a b 上有界 F x( ) 在 ( , ) a b 上有界 f x( ) 在 ( , ) a b 上有界. 方法二、利用极限与连续性（当 a、b 趋于 时须用此法）. 思考题 1、 f a + [ , ) , lim ( ) x f x →+ .证明 f x( ) 必能在 [ , ) a + 上取到最大值与最小值中的一个. 2、 f a b [ , ] ,且对 x a b [ , ] ,存在相应的 y a b [ , ] 使得 1 | ( ) | | ( ) | 2 f y f x ,则至少存在一点 [ , ] a b 使得 f ( ) 0 =