《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 实数完备性的等价命题 一、问题提出 确界存在定理（定理1.1）揭示了实数的连续性和实数的完备性.与之等价的还有五 大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6. 定理1.2（单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛， 定理1.3（区间套定理）设a6,》为一区间套： 1[am,b]p[a1,a],n=1,2. 2知(6，-a)）-0 则存在唯一一点[46小，-12. 定理1.4（有限覆盖定理）设H-(心刃是闭区间a,6]的一个无限开覆盖，即 [a,b]中每一点都含于H中至少一个开区间（心列内.则在H中必存在有限个开区间， 它们构成【a,6]的一个有限开覆盖。 定理1.5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点户，即在广的 任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可以属于S,也可以不属于S), 定理1.6（何西准则）数列(a,收敛的充要条件是：Y>0,3NeN,只要 m>N,恒有a,-4,K6.《后者又称为柯西(Cauhy)条件，满足柯西条件的 数列又称为柯西列，或基本列。) 这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的 还要学会怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使 用这些理论工具. 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ◆，(1)一(3)基本要求类 (4)~(7)阅读参考类 .: (⑧)~(10)习题作业类
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 1 实数完备性的等价命题 一、问题提出 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五 大命题，这就是以下的定理 1.2 至定理 1.6． 定理 1.2(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理 1.3(区间套定理） 设 为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理 1.4(有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间， 它们构成 的一个有限开覆盖． 定理 1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，即在 的 任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ，也可以不属于 ）． 定理 1.6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ，只要 恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的 数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的 还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使 用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ： (1)～(3) 基本要求类 ： (4)～(7) 阅读参考类 ： (8)～(10) 习题作业类
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 0 (2) 4 柯聚覆 下面来完成(1)~(7)的证明， 二、等价命题证明 (一)用确界定理证明单调有界定理 a,有上果雪3ea子maa 1Pa,≤a(Ka+) 2°Yg>0,3aw>a-6 {a,)递增 =a,2an>a-s(n>N) (二)用单调有界定理证明区间套定理 设区间套(a,4,]) (a,)递增有上果雪职4： 位，)送减有下界婴3胆，-： =e[a,.b,1m=1.2.) 点，=（色，a+a,照a-a）=0 若另有罗使a,≤≤6，则因 |-川b-a→0(n→m〕→（唯一） 推论设a,6]为一区间套，e[a4,]m=12.则Y>03Ne当 ?>N时，恒有 [a.a]cU(点s
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 2 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (一) 用确界定理证明单调有界定理 . (二) 用单调有界定理证明区间套定理 设区间套 ． 若另有 使 ，则因 ． 推论 设 为一区间套， ．则 当 时，恒有 ．
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论 (三)用区间套定理证明确界原理 证明思想构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界。 设S8,有上男M.取而8令[o-(0,自a1+b再令 【a,1-a,1若是的上果 [c1,b1],若c1不是S的上界； 如此无限进行下去，得一区间套【a,b)→3n[a,b如1，”=，2，. 可证习-即8，因，恒为的上界，且，”，故xe8,必有 x≤bn白x≤n 这说明”是8的上界：又因an7,故8>0,3am>n-8,而m都不是8的 上界，因此”8更不是8的上界.所以”=即8成立. *(四)用区间套定理证明有限覆盖定理 设H为闭区间a,b]的一个无限开覆盖。反证法假设： “[a,b]不能用H中有限个开区间来覆盖”· 对a,b]果用逐次二等分法构造区间套a,么】，【a,点]的选择法则：取“不 能用H中有限个开区间来覆盖”的那一半 由区间套定理，3[a,8]”=12.导出矛盾： e[a,b],3（出列eH,使e〔，) 记6”m(六出月)0由[推论]，当足够大时， [a,b]cU(点sc(x) 这表示a,6]用H中一个开区间（心）就能覆盖，与其选择法则相违背.所以 [a,b]必能用H中有限个开区间来覆盖
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 3 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论． (三) 用区间套定理证明确界原理 证明思想 构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界． 设 , 有上界 ．取 ； ，再令 如此无限进行下去，得一区间套 ． 可证 ：因 恒为 的上界，且 ，故 ，必有 ， 这说明 是 的上界；又因 ，故 ，而 都不是 的 上界，因此 更不是 的上界．所以 成立． *(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理 设 为闭区间 的一个无限开覆盖．反证法假设： “ 不能用 中有限个开区间来覆盖”． 对 采用逐次二等分法构造区间套 ， 的选择法则：取“不 能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半． 由区间套定理， ．导出矛盾： 使 . 记 由［推论］，当 足够大时， 这表示 用 中一个开区间 就能覆盖，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 说明当a,b]改为a,b)时，或者H不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定 成立例如： H3导 H是开区间(0,1)的一个无限开覆盖，但不能由此产生(0,1)的有限覆盖。 H是[0,2]的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生0,2]的有限覆盖 *(五)用有限覆盖定理证明聚点定理 设8为实轴上的有界无限点集，并设8c-M,M] 【”由反证法假设来构造[-M,M]的一个无限开覆盖：若S有聚点之，则 -M,M],现反设[-M,M]中任一点都不是的聚点，即xM,M)34>0, 在x:4)内至多只有xe8.这样， H-{U(x;4川x∈【M,M]) 就是[-M,M]的一个无限开覆盖. 2”用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在 产-(U(x;i-1,2.,NcH, 户为-M,M]的一个有限开覆盖（同时也覆盖了S).由假设，川x:4内至多只 有为∈S一丹所属N个邻城内至多只有西.，w属于8（即庄只覆盖了S中有限个 点)·这与户覆盖了全部S中无限多个点相矛盾. 所以，有界无限点集S必定至少有一个聚点，[ 推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列.即若{4，}为有界数列，则 引ac(a,使有熙a 子列aJ的极限称为原数列a,小的一个极限点，或称聚点
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 4 说明 当 改为 时，或者 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论 不一定 成立.例如： 1) ． 是开区间 的一个无限开覆盖，但不能由此产生 的有限覆盖． 2) ． 是 的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生 的有限覆盖． *(五) 用有限覆盖定理证明聚点定理 设 为实轴上的有界无限点集，并设 ． 由反证法假设来构造 的一个无限开覆盖：若 有聚点 ，则 ．现反设 中任一点都不是 的聚点，即 在 内至多只有 ．这样， 就是 的一个无限开覆盖． 用有限覆盖定理导出矛盾：据定理 9，存在 为 的一个有限开覆盖（同时也覆盖了 ）．由假设， 内至多只 有 所属 个邻域内至多只有 属于 （即 只覆盖了 中有限个 点）．这与 覆盖了全部 中无限多个点相矛盾． 所以，有界无限点集 必定至少有一个聚点．［ 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列．即若 为有界数列，则 使有 ． 子列 的极限 称为原数列 的一个极限点，或称聚点
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 数列(4)的聚点与一般点集S的聚点，含义稍有不同.数列的聚点定义为：“H6>0, 在八点)内含有(4)中无限多个项，则为(，)的一个聚点.”在此意义下，对于数 列 o1分1安1安1 1 1 它有两个收敛子列：44-1和“2，”=12.它们的极限片=1和5=0就是 (a,)的两个聚点. *(六)用聚点定理证明柯西准则 柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得。 (已知(a,)收敛，设a,a.由定义，Ye>0日NeN,当A>N时，有 a水管6a水台 从而有 la.-a,Isla,-al+la,-al03NeN,当、m>N时a,K.欲证(a,J收敛 ”.首先证(a,)有界.对于-13eN,当2从，m-从时，有 |a.-aw≤aw-a.K1→la,s am+1 令M=mla川马l.e-川ax+,则有 |a.|≤M,n-1,2,. 2.由致密性定理，(a,}存在收敛子列a,设职a 子.最后证职aa,由条件，V》0,3X(2N当mm2K时，有 la.-a<an -a 于是当n之X(同时有2)K)时，就有
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 5 数列 的聚点与一般点集 的聚点，含义稍有不同．数列的聚点定义为：“ ， 在 内含有 中无限多个项，则 为 的一个聚点．”在此意义下，对于数 列 它有两个收敛子列: 和 ， ．它们的极限 和 就是 的两个聚点． *(六) 用聚点定理证明柯西准则 柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得. （已知 收敛，设 ．由定义， ，当 时，有 ． 从而有 ．） 这里只证其充分性． 已知条件： 当 时 ．欲证 收敛． ．首先证 有界．对于 当 时，有 令 ，则有 ． ．由致密性定理， 存在收敛子列 ，设 ． ．最后证 ，由条件， 当 时，有 ． 于是当 （同时有 ）时，就有
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 la,-alsla,-ax l+aw-a+ *(七)用柯西准则证明单调有界原理 设{a,)为一递增且有上界M的数列.用反证法（借助柯西准则）可以证明：俏 若(a)无极限，则可找到一个子列a:】以+⊙为广义极限，从而与(a】有上界相矛 盾。现在来构造这样的a,】 对于单调数列{a,),柯西条件可改述为：“e>0,3NeN,当n>W时，满 足aa加>N,恒有 lan-as an-anl0，对一切N∈N,3>N 使 am-aN=aa-aN之0 依次取 2M=1,31>M,使am1a1280: 2W2=m1,3N2>N2,使an2-a1280; 2N-BkH,3nk〉Nk,使akat之80 把它们相加，得到 ans-a12 keo t)4-a 故当 90时，可使“：>M,矛盾.所以单调有界数列(a,)必定有极限。【证 毕] 在以上六个等价命题中，最便于推广至R“中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定 理，为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的 例证明“是点集$的聚点”的以下三个定义互相等价： ①)Y8)0,在U(兰：司内含有5中无限多个点（原始定）：
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 6 ． *(七) 用柯西准则证明单调有界原理 设 为一递增且有上界 M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘 若 无极限，则可找到一个子列 以 为广义极限，从而与 有上界相矛 盾．现在来构造这样的 ． 对于单调数列 ，柯西条件可改述为：“ 当 时，满 足 ”．这是因为它同时保证了对一切 ，恒有 ． 倘若 不收敛，由上述柯西条件的否定陈述： ，对一切 ， ， 使 ． 依次取 把它们相加,得到 ． 故当 时，可使 ，矛盾．所以单调有界数列 必定有极限．[ 证 毕 ] 在以上六个等价命题中，最便于推广至 中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定 理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的． 例 证明“ 是点集 的聚点”的以下三个定义互相等价： (i) 内含有 中无限多个点(原始定义)；
《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 ()Y8>0在（点）内含有5中至少一个点： (i)3(x)cS,n*m时x*不，使典五” 证（①）→(i)显然成立 (i)→(ii)由ii),取f=1,3e(六4)n8: 再取m(分“石小，肠er(ns 一般取8m(（分D.3x∈（点成ns 由（石的取法，保证（不）C8,本*x(”m),职中 i)→典x~台Y》0,3Ne>N时，必有eU(名，且因 (x)各项互不相同，故八片8)内含有8中无限多个点
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 7 (ii) 在 内含有 中至少一个点； (iii) ， 时 ，使 ． 证 (i) (ii) 显然成立． (ii) (iii) 由(ii），取 ， ； 再取 ； . 一般取 ； . 由 的取法，保证 ， ， ． (iii) (i) 时，必有 ，且因 各项互不相同，故 内含有 中无限多个点．