《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 习题课 一、积分不等式： 1.利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1、 neZ' 正：注意在区间[0,1]止有子≤x-x+1≤1，一. 例2、证明不等式n+1+分+女1+hm 1 正：考痣函数-n≤了fx达.而 [g(x)dx=In n
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 习题课 一、 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1、 证明不等式 + − − + 1 0 2 1 , 3 4 1 1 n Z n dx x x x n n . 证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 1 1 4 3 2 x − x + , . 例 2、 证明不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++ + . 证：考虑函数 , 1, 1, 2 , 1 ( ) = n x n + n = n f x , , [1, ) 1 ( ) = x + x g x . 易见对任何 n , 在区间 [1, n +1] 上 g(x) 和 f (x) 均单调, 因此可积,且有 g(x) f (x) , 注意到 g(x) f (x) , 就有 + + 1 1 1 1 ( ) ( ) n n g x dx f x dx . 而 = + = + = + = = = n i i i n i i i n i n i dx i f x dx f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , + = 1 1 ( ) n g x dx + + = = + 1 1 1 1 ln | ln( 1) n n x n x dx . 因此有 1 2 1 1 1 ln( 1) 1 i n n n i + = + + + = . 取 , 1, 1, 2 , 1 1 ( ) + = + = n x n n n f x , , [1, ) 1 ( ) = x + x g x . 在区间 [1, n +1] 仿以上讨论, 有 n n g x dx f x dx 1 1 ( ) ( ) . 而 = n g x dx n 1 ( ) ln , i i n f x dx n n i n i i i 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + = − = − = +
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 n 综上。有不等式a+01+宁1+hn n 2、某些不等式的积分推广： 原理：设函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积.T为区间【a,b]的n 等分分 法，5∈xx】.若对任何n和1≤i≤n,均有 立代传)片≤立6)片即得它飞)2≤立)2. 令n→o,注意到函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积，即得积分不等式 (dsg(ds 精若通数心和Ψ法续，还可由©25片月Ψ它6月一 Gfs4C8 例3、证明Schwarz不等式 (亦称为Cauchy-Ey H R K O B C K H庄不等式)： 设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续（其实只要可积就可).则有不 等式 [ngcdssod. 证法一：（由Cauchy不等式→Schwarz不等式.Cauchy不等式 参阅 []上册P4Bx第10题：设{a,a,a,}和{6，b,bn}为两组实数，则 2
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 n n 1 ln 1 2 1 1+ ++ + . 综上 , 有不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++ + . 2、某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积. T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分 法, [ , ] i i 1 i x x − . 若对任何 n 和 1 i n, 均有 ( ) ( ) = = n i n i i i n g n f 1 1 1 1 , 即得 ( ) ( ) = = − − n i n i i i n b a g n b a f 1 1 . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积, 即得积分不等式 b a f (x)dx b a g(x)dx . 倘若函数 和 连续 , 还可由 ( ) ( ) = = n i i n i i n g n f 1 1 1 1 1 0 1 0 f g . 例 3、 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский 不等式 ): 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不 等式 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法一： ( 由 Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式 参阅 [1] 上册 P4 Ex 第 10 题 : 设 { , , , } a1 a2 an 和 { , , , } b1 b2 bn 为两组实数, 则
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 有 位Aj八立.) 设T为区间【a,b]的n等分分法.由Cauchy不等式，有 25)g)s2r)2g(). 两端同乘以6->0，有 25)8)2f)2立(G) 令n→o,注意到函数f产(x)、g2x)和fx)gx)在区间【a,b]上的可积 性 以及函数①(x)=x2的连续性，就有积分不等式 cds 证法二：（用判别式法）对任何实数1，有(f(x)+g(x)≥0， (fx)+g=(r2f2(ax)+g2x)+2 x)g(x)≥0，即 （C(x)达+2Cfx)gx)d+g(x本≥0对任何实数1成 立 即上述关于1的二次不等式的解集为全体实数，于是就有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 有 = = = n i n i i i n i aibi a b 1 1 2 2 2 1 . ) 设 T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 i 2 i 2 2 i 1 i i = = = n i n i n f g f g , 两端同乘以 0 ( ) 2 2 − n b a , 有 n b a g n b a f n b a f g n i n i i i n i i − − − = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 i 1 , 令 n →, 注意到函数 ( ) 2 f x 、 ( ) 2 g x 和 f (x) g(x) 在区间 [ a , b ] 上的可积 性 以及函数 2 (x) = x 的连续性，就有积分不等式 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数 t ，有 ( ( ) ( )) 0 2 tf x + g x ， ( ) ( ) + = + + b a b a tf (x) g(x) dx t f (x) g (x) 2tf (x)g(x) dx 0 2 2 2 2 , 即 + + b a b a b a f (x)dx t 2 f (x)g(x)dx t g (x)dx 0 2 2 2 对任何实数 t 成 立. 即上述关于 t 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 [r-r)([x)so. 即 [Cfxg(xd≤f产(xdgx 例4、∫eC[a,b]且∫>0.证明不等式 aa亮2-ar 证： 取)网.=而·对函数)和应用 1 Schwarz不等式，即得所证， 例5、设函数fx)在区间[0,1]上可积.试证明有不等式 iinsr. 证： 先用Jensen不等式法证明不等式：对x,x2,xn∈R,有不 等式 x+x2+.+xa +号++x (参阅上学期期末考试题第 21题) 设T为区间[0,1]的n等分分法.由上述不等式，有 别2 令n→∞，注意到函数f(x)和(x)在区间[0,1]上的可积性以及 函数x和√F的连续性，就有积分不等式
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2 − b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx , 即 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 例 4、 f C [ a , b ] 且 f 0 . 证明不等式 − b a b a b a f x dx f x dx 2 ( ) ( ) ( ) . 证 ： 取 ( ) 1 ( ) ( ), ( ) f x x = f x x = . 对 函数 (x) 和 (x) 应 用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 5、 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式 1 0 2 1 0 | f | f . 证： 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对 x1 , x2 , , xn R , 有不 等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 1 + + + + ++ . ( 参阅上学期期末考试题第 21 题 ) 设 T 为区间 [ 0 ,1] 的 n 等分分法. 由上述不等式 , 有 = = n i n i n n i f n n i f 1 2 1 1 1 . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 ( ) 2 f x 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及 函数 | x | 和 x 的连续性，就有积分不等式
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 ≤ 仿该例，可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分 形式.例 如[1]P334-335Ex2,6,8. 二、面积函数的导数： 例6、求品血r和云mrh 例7、 求("artgrd）和云snid 例8、求品产>1 例9、 设x≥0时函数f(x)连续且 Jf0d=x.求f) () r'-I 例10、设函数f(x)连续且「f0)d=x+c.求c和f(7). 解：令x=1,c=-1:两端求导，户f)=2 例11、设f(x)∈C[a,b]. Fax)=f0x-)dt,x∈a,b1.试i证 明： F"(x)=f(x)
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 1 0 2 1 0 | f | f . 仿该例, 可得到均值不等式、用 Jensen 不等式法证明的某些不等式的积分 形式 .例 如[1]P334—335 Ex 2，6，8. 二、 面积函数的导数 : 例 6、 求 b a x dx dx d 2 sin 和 sin . 2 t dt dx d x a 例 7、 求 10 2 x t e arctgt dt 和 sin . 2 0 x tdt dx d 例 8、 求 t t t x dx dt d 3 2 , 1 ln . 例 9 、 设 x 0 时函数 f (x) 连续且 = 2 0 3 ( ) x f t dt x . 求 f (x) . ( f (x) = x 2 3 ) 例 10、 设函数 f (x) 连续且 − = + 1 0 3 ( ) x f t dt x c . 求 c 和 f (7) . 解： 令 x = 1, c = −1 . 两端求导, f (7) = 12 1 . 例 11、 设 f (x) C[a,b] . F(x) = − x a f (t)(x t)dt , x [a,b] . 试证 明 : F(x) = f (x)
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证： Fx)=xff0)d-fud,→ F')=广f0)d+xfx)-xfx)=f0)d,→F"(x)=fx). 例12、设函数f(x)在区间[0，+o)上连续且f(x)>0. dr p(x)= [rod 试证明：函数p(x)在区间(0，+0)内严格递增. 证：p'(x) mbrf rw-ao].雨 1 rd-ffd=f)xd-d=xx-Da- fx)>0,在(0，x)内fu)x-)>0,又fux-)连续，一 f0x-1)dh>0,→在区间(0，+o)内p'(x)>0.因此(x)在区间(0，+o) 内 严格递增， 三、含有变限积分的未定型极限： 例13、求极限职厂m由 xcos产h (2) 四、定积分的计算： 例14、计算积分 [v1-cos20de
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 证： F(x) = − x a x a x f (t)dt tf (t)dt , = + − = x a x a F (x) f (t)dt xf(x) xf(x) f (t)dt , F(x) = f (x) . 例 12 、 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , + ) 上连续且 f (x) >0. = x x f t dt tf t dt x 0 0 ( ) ( ) ( ) . 试证明: 函数 (x) 在区间 ( 0 , + ) 内严格递增. 证： (x) = − x x x x f x f t dt f x tf t dt f t dt 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 而 = − − = − x x x x x x f x f t dt f x t f t dt f x x f t dt t f t dt f x f t x t dt 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . f (x) >0 , 在 (0, x) 内 f (t)(x − t) 0 ，又 f (t)(x − t) 连续 ， − x f t x t dt 0 ( )( ) 0 ， 在区间 ( 0 , + ) 内 (x) >0 . 因此 (x) 在区间 ( 0 , + ) 内 严格递增. 三、含有变限积分的未定型极限: 例 13、 求极限 → x x x tdt x t dt 0 0 2 0 sin cos lim . ( 2 ) 四、 定积分的计算 : 例 14、 计算积分 − 2 0 2 1 cos d
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 例15、计算积分fx)=∫川x-川山· 解： 1断=-0油-号 0≤x≤1时， f=x-0d+-x0h=-+ 323 32 x1. 例16、 利用积分J.-sm”x的值（参阅§4例15或[1]P306 E8),计算积分 1n=∫xsm"xd 解：1，-ja-Wsa'a-wdu=je-Wsm'= =πsn"udhu-「usin"wdhu=πsin"wdhu-ln
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 例 15、 计算积分 f (x) = − 1 0 t | x t | dt . 解： x 1 时, f (x) = − = − 1 0 3 1 2 ( ) x t x t dt ; x 0 时, f (x) = − = − 1 0 3 2 1 ( ) x t t x dt ; 0 x 1 时, f (x) = − + − = x x x t x t dt t t x dt 0 1 3 3 ( ) ( ) 3 1 2 − + x . 因此, − − + − = , 1. 3 1 2 , 0 1, 3 2 3 1 , 0, 3 2 1 ( ) 3 x x x x x x x f x 例 16、 利用积分 = 2 0 sin J xdx n n 的值 ( 参阅§4 例 15 或[1]P306 E8 ), 计算积分 = 0 I xsin xdx n n . 解： =====− − − = − 0 ( )sin ( ) I u u du n x u n = − = 0 ( u)sin udu n = − = − 0 0 0 sin sin sin n n n n udu u udu udu I . = = + 0 2 0 2 sin sin 2 sin 2 I udu xdx udu n n n n
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 而 I=(J+J)=x. (n-10π2 ,n为偶数。 因此，1n= !2 -业， n为奇数. 例17、 f2x+)=xe，求jf0)d (2e2) [4]P215E62 例18、设f(x)是区间【-T,T](T>0)上连续的偶函数·试证明： Φ(x)=f)d是[-T,T]上的奇函数. 证法一：==-(x) 证法二：注意到广f0)t=2f0d，,有 (-x)=f0)dt=+=-=-2=-=-). 五、利用定积分求和式极限：参阅[3]P162一168 原理 例19、 求极限m之：1 [3]P163E13.与§1例2连系. 例20、 求=0∬
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 8 而 =====− − = = − 0 2 2 0 2 sin sin ( ) sin udu x dx xdx n n u x n , n n n n I J J J = ( + ) = 2 . 因此， − − = , . !! ( 1)!! , , !! 2 ( 1)!! 2 为奇数 为偶数 n n n n n n I n 例 17 、 x f (2x +1) = xe , 求 5 3 f (t)dt. ( 2 2 e ) [4]P215 E62 例 18、 设 f (x) 是区间 [ −T ,T ] (T 0 ) 上连续的偶函数 . 试证明 : (x) = x f t dt 0 ( ) 是 [ −T ,T ] 上的奇函数 . 证法 一： == − (x) . 证法 二： 注意到 − = x x x f t dt f t dt 0 ( ) 2 ( ) , 有 (−x) = −x f t dt 0 ( ) = + = − = − = − = − − − x x x x x x x x x 0 0 0 0 0 2 (x) . 五、利用定积分求和式极限 : 参阅[3]P162 — 168 . 原理: 例 19、 求极限 = → + n i n n i i 1 2 2 lim . [3] P163 E13 . 与§1 例 2 连系. 例 20、 求极限 n n k n n k 1 1 1 lim 1 + − = →
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 解： +2+身 由函数1+x)在区间[0,1]上可积，有 0新-=2身)片1+临=2h2-=h号 →[ 例21、求极限血m心+2+.+ 14+24+.+n4 [3]P167E19 解： 14+24+.+n4 细 n(13+23+.+n3) .期 =日 =绸-0 因此， 14+24+.+n44 里nm+2++5 例2、试证明：对任何n∈Z,有不等式1 1 h2. 证： 高点.含过是法在州 .1 [0,1]
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 9 解： ln n n k n k 1 1 1 1 + − = = ln n n k n k 1 1 0 1 + − = = − = + 1 0 ln 1 1 n k n k n . 由函数 ln(1+ x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有 = + − = → n n k n n k 1 1 1 lim ln 1 − = → + 1 0 1 lim ln 1 n k n n n k = e x dx 4 ln( 1 ) 2ln 2 1 ln 1 0 + = − = . n n k n n k 1 1 1 lim 1 + − = → e 4 = . 例 21、 求极限 n→ lim (1 2 ) 1 2 3 3 3 4 4 4 n n n + + + + + + . [3]P167 E19 解： (1 2 ) 1 2 3 3 3 4 4 4 n n n + + + + + + = = = n i n i n i n n n i n 1 3 3 1 4 4 = = = n i n i n n i n n i 1 3 1 4 1 1 . n→ lim = = = n i x dx n n i 1 1 0 4 4 5 1 1 , n→ lim = = = n i x dx n n i 1 1 0 3 3 0 4 1 1 . 因此 , n→ lim (1 2 ) 1 2 3 3 3 4 4 4 n n n + + + + + + 5 4 = . 例 22、 试证明: 对任何 + n Z , 有不等式 n n n + n + + + + + 1 2 1 1 1 < ln 2 . 证： n n n + n + + + + + 1 2 1 1 1 == + n k n n k 1 1 1 1 是函数 f (x) = 1+ x 1 在区间 [ 0 , 1 ]
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 上相应于n等分分法乙的小和)由函数：在区[0,1]止可 积，有 n时)e恤-产h2.又易见)7人、一 对任何，有，)水h2,即n中十n+2++n+n 11 1<in2 习题：P309-3102,3,8-11: P249-26020-24,41一43,48-51,54,58,63,64,65， 95,96(3),97,981),101,106,112,113
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 10 上相应于 n 等分分法 Tn 的小和 ( ) Tn s . 由函数 f (x) = 1+ x 1 在区间[ 0 , 1 ]上可 积, 有 n → 时, ( ) Tn s ↗ = + = 1 0 1 0 ln 2 1 ( ) x dx f x dx . 又易见 ( ) Tn s ↗↗. 对任何 n , 有 ( ) Tn s < ln 2 , 即 n n n + n + + + + + 1 2 1 1 1 < ln 2 . 习题： P309—310 2，3，8—11； P249—260 20—24，41—43，48—51，54，58，63，64，65， 95，96⑶，97，98⑴，101，106，112，113