《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 第十五章Four ier级数 §1 Fourier级数的一些概念 教学目标掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理 教学要求 (1)基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定 理：能够展开比较简单的函数的傅里叶级数. (②)较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍 引入傅里叶级数的意义（包括物理意义和数学意义）. 教学建议 ()向学生介绍引入傅里叶级数的意义（包括物理意义和数学意义） (②)三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤。 教学程序 一、Fourier级数的定义 背景： ①波的分析：频谱分析。基频号(T=石）.倍频 (②)函数展开条件的减弱：积分展开· (3)R"中用Descartes坐标系建立坐标表示向量思想的推广： 调和分析简介：十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析 理论的基础。 (一)定义设f(x)是(-o,+o)上以2π为周期的函数，且f(x)在π，上 绝对可积，称形如 受+2a,os+6,snm) 的函数项级数为f(x)的Fourier级数或三角级数(f(x)的Fourier展开式)，其 中
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 1 第十五章 Fourier 级数 §1 Fourier 级数的一些概念 教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定 理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍 引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤． 教学程序 一、 Fourier 级数的定义 背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( 2 T = ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用 Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析 理论的基础. （一） 定义 设 f x( ) 是 ( , ) − + 上以 2 为周期的函数，且 f x( ) 在 [ , ] − 上 绝对可积，称形如 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + 的函数项级数为 f x( ) 的 Fourier 级数或三角级数( f x( ) 的 Fourier 展开式)，其 中
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 a=上fed,a=上f)eoamds.m=12. 6.=fx)sinm,n=l2· 称为f)的Fourier系数，记为f)~受+立(a.cosn+b,sinm) 定理15.1若级数冬+2a,+16,D收敛，则级数 受+a,cosm+6,sinm)在R内绝对且一致收敛， 证明：用M判别法 (二)说明 1）在未讨论收敛性，证明号+立(a,cosr+6,snm)一致收敛到f)之前， 不能将“~”改为“=”；此处“心”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 受+三a,eosm+久snm)是/的Porier级数，或者说/e)的Forier级 数是受+2a,osm+6smm.2》要求-，]止)的Fouier级.数只 须求出Fourier系数 例1设fx)是以2π为周期的函数，其在-π，]上可表示为 m-600 求fx)的Fourier展开式. 3)计算f(x)的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积 aacoms. bf()sind.1. 例2设fx)是以2π为周期的函数，其在[0,2π)上等于x,求f(x)的 2
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 0 1 a f x dx ( ) − = ， 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n − = = ， 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n − = = 称为 f x( ) 的 Fourier 系数，记为 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx = + + 定理 15.1 若级数 = + + 1 0 (| | | |) 2 | | n an bn a 收敛 , 则级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + 在 R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用 M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + 一致收敛到 f x( ) 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + 是 f x( ) 的 Fourier 级数，或者说 f x( ) 的 Fourier 级 数是 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx = + + . 2) 要求 [ , ] − 上 f x( ) 的 Fourier 级数,只 须求出 Fourier 系数. 例 1 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数，其在 [ , ] − 上可表示为 1,0 ( ) 0, 0 x f x x = − , 求 f x( ) 的 Fourier 展开式. 3) 计算 f x( ) 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为 2 的去件来积. 如 2 0 0 1 a f x dx ( ) = ， 2 0 1 ( )cos , 1,2, n a f x nxdx n = = ， 2 0 1 ( )sin , 1,2, n b f x nxdx n = = 例 2 设 f x( ) 是以 2 为周期的函数,其在 [0, 2 ) 上等于 x ,求 f x( ) 的
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 Fourier级数 4)如果fx)仅定义在长为2π的区间上，例如定义在0,2π)上，此时f(x) 不是周期函数，从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对f(x)在0,2π) 外补充定义，使其以2π为周期，如定义 f(x)=f(x-2nr),x∈(2nπ，2(n+1)z) 它有下述性质：a)x∈0,2π)时，f(x)=fx):b)f(x)以2π为周期， 例3fx)=e,(-π≤x=[f(x)g(x)dkx 当=0时，称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上正交 函数的正交性与区间有关.例如函数fx)=-x和g(x)=x2在区间[0,1] 上并不正交（因为=一号)，但在区间-1小卸是正交的 正交函数系统：标准正交系（么正系），完全系 二、以2π为周期函数的Fourier级数 定理15.2若在整个数轴上 =学+2am+6动m, 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 a.=f)cosm本， n=0,1,2, 6=2fx)smm本，n=1,2. 三、收敛定理： (一)按段光滑函数： 定义：若fx)的导函数∫"(x)在区间[a,b]上连续，则称函数fx)在区间 [a,b]上光滑.若函数f(x)在区间[a,b]上至多有有限个第一类间断点，且 3
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 3 Fourier 级数. 4) 如果 f x( ) 仅定义在长为 2 的区间上,例如定义在 [0, 2 ) 上, 此时 f x( ) 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为 Fourier 级数.但可对 f x( ) 在 [0, 2 ) 外补充定义,使其以 2 为周期, 如定义 ~ f x f x n ( ) ( 2 ) = − , x n n + (2 ,2( 1) ) 它有下述性质: a) x [0,2 ) 时, ~ f x f x ( ) ( ) = ； b) ~ f x( ) 以 2 为周期. 例 3 ( ) ,( ) x f x e x = − ,求 f x( ) 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由 R 3 中的内积与正交概念引入. 设函数 f 和 g 在区间 [ a , b ] 上 ( R)可积 . 定义内积为 = b a f , g f (x)g(x)dx . 当 f , g = 0 时 , 称函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上正交 函数的正交性与区间有关 . 例如函数 f (x) = − x 和 2 g(x) = x 在区间 [ 0 ,1] 上并不正交 ( 因为 f , g = 4 1 − ) , 但在区间 [ −1,1] 却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以 2 为周期函数的 Fourier 级数 定理 15.2 若在整个数轴上 f (x) = = + + 1 0 cos sin , 2 n an nx bn nx a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 1 an = − f (x)cos nxdx， n = 0 ,1, 2 , 1 bn = − f (x)sin nxdx ， n = 1, 2 , 三、 收敛定理: （一） 按段光滑函数: . 定义：若 f (x) 的导函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 则称函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上光滑. 若函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上至多有有限个第一类间断点, 且
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 ∫"(x)仅在区间[a,b]上有限个点处不连续且为第一类间断点，则称f(x)是区 间[a,b]上的按段光滑函数 按段光滑函数的性质：设函数(x)在区间[a,b]上按段光滑，则 ()fx)在区间[a,b]上可积： (2)对Vxe[a,b],f(x±0)都存在，且有 =+0+0=+0, =-0-f-0).(用中值定理E明) (3)f'(x)在区间[a,b]上可积. (二)收敛定理： 定理15.3设函数f(x)是以2π为周期的周期函数且在区间[-π，π]上按 段光滑，则在Vx∈[-π，π]，f(x)的Fourier级数 受+宫0，心后+么由：收效于四在点：的左、右极限的第术平约值。即 +0生/-0-受+2，sm+6如 2 其中an和b,为函数f(x)的Fourier系数.（证明放到以后进行） 推论若f(x)是以2π为周期的连续函数，在[-π，π】上按段光滑，且 则f(x)的Fourier级数在(-o,+D)内收敛于fx). 四、正弦级数和余弦级数 (一)定义 形如∑b,sir的三角级数（函数项级数）称为正弦级数；形如 受+∑0.c0s心的三角级数（函数项级数称为余弦级数
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 4 f (x) 仅在区间 [ a , b ] 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 f (x) 是区 间 [ a , b ] 上的按段光滑函数. 按段光滑函数的性质: 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上按段光滑, 则 ⑴ f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积; ⑵ 对 x[ a , b ], f (x 0) 都存在 , 且有 ( 0) ( ) ( 0) lim 0 = + + − + → + f x t f x t f x t , ( 0) ( ) ( 0) lim 0 = − − − − − → + f x t f x t f x t . ( 用 Lagrange 中值定理证明 ) ⑶ f (x) 在区间 [ a , b ] 上可积 . （二）收敛定理: 定理 15.3 设函数 f (x) 是以 2 为周期的周期函数且在区间 [ − , ] 上按 段光滑 , 则在 x[ − , ] , f (x) 的 Fourier 级数 = + + 1 0 cos sin 2 n an nx bn nx a 收敛于 f (x) 在点 x 的左、右极限的算术平均值 , 即 = + + − 2 f (x 0) f (x 0) = + + 1 0 cos sin 2 n an nx bn nx a 其中 n a 和 n b 为函数 f (x) 的 Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 ) 推论 若 f (x) 是以 2 为周期的连续函数 , 在 [ − , ] 上按段光滑,且 则 f (x) 的 Fourier 级数在 ( − , + ) 内收敛于 f (x) . 四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形 如 1 sin n n b nx = 的三角级数 ( 函数项级数 ) 称 为 正 弦 级 数 ; 形 如 0 1 cos 2 n n a a nx = + 的三角级数(函数项级数称为余弦级数
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 (二)如果fx)是以2π为周期的函数，在[-元，上绝对可积，若∫(x)是奇函数， 则有)-2么血：若)是锅函敌则有/~受+公as (三)设f(x)仅在O,π]上有定义，如果按奇函数的要求，补充定义 f(x)=-f(-x),xe[-π，0)，然后再作2π周期延拓，必得奇函数，所得Fourier级 数必为正弦级数.对应地，补充定义f(x)=f(-x),x∈[-π，0)后，再作2π周期延 拓，必得偶函数，所得Fourier级数必为余弦级数. 例4)=0，h5x<元 1,0≤x<h (0<h<π)，将fm)展开成余弦函数 五、一般周期函数的Fourier级数 设f(x)是周期为T的函数，且在0，T刀上绝对可积，则有 受+2as2+6m27.其中a=1达， a-eoas32n=2.6-s2票m=2 例5：求fx)=x,-lsxs1的Fourier展开式. 六、Fourier级数的复数表示形式 设-受+a6os瓜+6nm.则其复数表示形式为 f()-c.em. 其中，复的Fourier系数C.=品，=广=C 作业教材P70:1,2,3,4,5,6,7,8
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 5 （二）如果 f x( ) 是以 2 为周期的函数,在 [ , ] − 上绝对可积, 若 f x( ) 是奇函数, 则有 1 ( ) ~ sin n n f x b nx = ；若 f x( ) 是偶函数,则有 0 1 ( ) ~ cos 2 n n a f x a nx = + . （ 三 ） 设 f x( ) 仅 在 [0, ] 上有定义 , 如 果 按 奇 函 数 的 要 求 , 补 充 定 义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = − − − ,然后再作 2 周期延拓,必得奇函数, 所得 Fourier 级 数必为正弦级数. 对应地, 补充定义 f x f x x ( ) ( ), [ ,0) = − − 后,再作 2 周期延 拓,必得偶函数, 所得 Fourier 级数必为余弦级数. 例 4 1,0 ( ) 0, x h f x h x = (0 h ),将 f x( ) 展开成余弦函数. 五、 一般周期函数的 Fourier 级数 设 f x( ) 是周期为 T 的函数,且在 [0, ] T 上绝对可积, 则有 0 1 2 2 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a n n f x a x b x T T = + + ,其中 0 0 2 ( ) T a f x dx T = ， 0 2 2 ( )cos , 1,2, T n n a f x xdx n T T = = 0 2 2 ( )sin , 1,2, T n n b f x xdx n T T = = 例 5: 求 f x x x ( ) , 1 1 = − 的 Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式 设 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx = + + , 则其复数表示形式为 ( ) ~ inx n f x C e + − , 其中, 复的 Fourier 系数 2 0 1 ( ) 2 2 n n inx n n a ib C f x e dx C − − − = = = . 作业 教材 P70：1，2，3，4，5，6，7，8