《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 §2第二型曲线积分 教学目的掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学要求 (①)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差 别. (2)了解两类曲线积分的联系. 教学建议 (1)要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式. (②)两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方 面习题. 教学程序 一、第二型曲线积分的定义 (一)、力场F(x,)=(P(x,),Q(x,)沿平面曲线L从点A到点B所作的功： 一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C运动，当质点从C之一端点A移动 到另一端B时，求力F(x,y)所做功W, 大家知道，如果质点受常力F的作用沿直线运动，位移为s.那末这个常力 所做功为W=FIIs|cosB,其中IFL.IIs川分别表示向量（矢量）的长 度，0为F与S的夹角 现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲，怎么 办呢？还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它（微分分析法）. 为此，我们对有向曲线C作分割T=-{4,A,An1,A},即在B内插入 1
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 1 §2 第二型曲线积分 教学目的 掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学要求 (1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差 别． (2)了解两类曲线积分的联系． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式． (2) 两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方 面习题. 教学程序 一、第二型曲线积分的定义: （一）、力场 F(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功: 一质点受变力 F(x,y)的作用沿平面曲线 C 运动,当质点从 C 之一端点 A 移动 到另一端 B 时,求力 F(x,y)所做功 W. 大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为 s.那末这个常力 所做功为 W=||F||||s||cos , 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长 度, 为 F 与 S 的夹角. 现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么 办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此,我们对有向曲线 C 作分割 { , ,., , } T = A0 A1 An−1 An ,即在 AB 内插入
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 -l个分点M,M2,Mn,与A=M,B=Mn一起把曲线分成n个有向小曲线段 MM,(i=l,2,n),以△S记为小曲线段M.M,的弧长.元=mmx(S; 设力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x y)j, 由于M(3li)M,(,yb记A=x,-xa,4y=y-y和C=(Ax,Ay)） 从而力F(x,y)在小曲线段MM,上所作的功 W,≈F(5,n,)C=P(5,n)Ar,+投(5，n,)Ag, 其中(5，n,)为小曲线段M1M,上任一点，于是力F沿C(AB)所作的功可近似 W,=∑W,≈(PS,n,)Ax+∑0s,n,)y, 当无→0时，右端积分和式的极限就是所求的功，这种类型和式极限计算上述形 式的和式上极限，得 W=∫hF(,d),即W-F. (二)、稳流场通过曲线（从一侧到另一侧)的流量：解释稳流场.（以磁场 为例). 设有流速场(x,)=(P(x,》,Cx,以.求在单位时间内通过曲线AB从左 侧到右侧的流量E,通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 dE=Px.y-x.d (三)、第二型曲线积分的定义：设P,Q为定义在光滑或分段光滑平面有向曲 线C上的函数，对任一分割T,它把C分成n个小弧段MM,I=l,2,3,.,n: 记M,(x,y),MM,弧长为△s,元=max{Si,△x,=x-xAy,=y,-y, I=l,2,3,n.又设(5，n)eMM,若极限 1imp(G.m).Axi+lim(G.m).Ayt
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 2 n-1 个分点 , ,., , M1 M2 Mn−1 与 A= M B = Mn , 0 一起把曲线分成 n 个有向小曲线段 Mi−1Mi (i=1,2,.,n),以 Si 记为小曲线段 Mi−1Mi 的弧长. = max{Si}. 设力 F(x,y)在 x 轴和 y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与 Q(x,y),即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j, 由于 ( , ). ( , ), i 1 i 1 i 1 i i i M x y M x y − − − 记 1 1 , i = i − i− i = i − i− x x x y y y 和 i mi C −1 =( (x,y) ) 从而力 F(x,y)在小曲线段 Mi−1Mi 上所作的功 Wi ( , ) F i i mi C −1 = P( i j , ) i x +Q ( i j , ) i y , 其中( i j , )为小曲线段 Mi−1Mi 上任一点,于是力 F 沿 C(AB)所作的功可近似 Wi == n i Wi 1 i n i i i i n i i i P S x +Q s y =1 =1 ( ( , )) ( , ) 当 →0 时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形 式的和式上极限,得 W F (dx,dy) AB = , 即 W F ds L = . （二）、稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场 为例 ). 设有流速场 v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)). 求在单位时间内通过曲线 AB 从左 侧到右侧的流量 E . 通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 = − AB AB dE P(x, y)dy Q(x, y)dx . （三）、第二型曲线积分的定义: 设 P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲 线 C 上的函数,对任一分割 T,它把 C 分成 n 个小弧段 Mi−1Mi ,I=1,2,3,.,n; 记 ( , ) i i i M x y , Mi−1Mi 弧长为 i s , = max{Si}, 1 1 , i = i − i− i = i − i− x x x y y y , I=1,2,3,.,n.又设 ( i j , ) Mi−1Mi ,若极限 lim = n i p i i 1 ( , ). xi +lim = n i Q i i 1 ( , ). yi
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 存在且与分割T与界点(5，n,)的取法无关，则称此极限为函数P,Q有线段C上的 第二类曲线积分，记为[P山+Q或「P+Q,也可以记为 AB ∫Pk+Q或「Pk+O, 。 注：(1)若记f(x,y）=(P(x,y),Q(x,y),ds=(dx,dy) 则上述记号可写成向量形式：「仙 (2)倘若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P,Q,R为定义在C上的 函数，则可按上述办法定义沿有向曲线C的第二类曲线积分，并记为 [f=「P(x,八，)dk+Q(xy)y+R(x,y,)d. 按这一定义，有力场F(x,)=(P(x,),O(x,y)沿平面曲线L从点A到点B 所作的功为W=[P+Q.流速场(x,y)=(P(x,),Qx,)在单位时间内 通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为E=∫P心-Q本 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性·对二型曲线积分有 JB=-, 因此，定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例。 可类似地考虑空间力场F(x,y,)=(Px,y,),Qx,y,),R(x,y,=)沿空间 曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分 ∫P(xyt+0xy=+Rx,y=t (四)、第二型曲线积分的性质： 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论 过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的， 还是用Riea的思想建立的积分，因此，第二型曲线积分具有(R)积分的共 性，如线性、关于函数或积分曲线的可加性·但第二型曲线积分一般不具有关 于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值 函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. (1)线性性设C为有向曲线，∫f仙，「g心存在，则
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 3 存在且与分割 T 与界点( i j , )的取法无关,则称此极限为函数 P,Q 有线段 C 上的 第二类曲线积分,记为 c Pds + Qdy 或 AB Pds + Qdy ,也可以记为 + c c Pdx Qdy 或 AB Pds Qdy AB + . 注:(1)若记 f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy) 则上述记号可写成向量形式: c fds (2)倘若 C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在 C 上的 函数,则可按上述办法定义沿有向曲线 C 的第二类曲线积分,并记为 fds P x y z dx Q x y z dy R x y z dz c c = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) . 按这一定义 , 有力场 F(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功为 = + AB W Pdx Qdy . 流速场 v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 在单位时间内 通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 = − AB E Pdy Qdx . 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 = − AB BA , 因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特例. 可类似地考虑空间力场 F(x, y,z) = (P(x, y,z) , Q(x, y,z) , R(x, y,z)) 沿空间 曲线 AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 + + AB P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz . （四）、第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论 过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共 性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关 于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值 函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. (1)线性性 设 C 为有向曲线, c fds, c gds 存在, 则
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 a,BeR,则[(ad+时)d存在，且∫(ad+)d=a[f仙+Bgd (②)可加性：设体存在，C=CuC2,→杰，体存在，且 「f体=[仙+，f体。 注：()平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？此时无所谓”起点”终点”， 若为封闭有向线段，则记为体 (2)设C~是C的反向曲线（即C~和C方向相反），则[f体=-「f仙 即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关（注意第一类曲线积分表达示是函数￡ 与弧长的乘机，它与曲线C的方向无关)，这是两种类型曲线积分的一个重要差 别. 二、第二型曲线积分的计算： 曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向 为自然方向. 设L为光滑或按段光滑曲线，L：x=(),y=(),a≤1≤B. A(o(a),a,B(o(B),(B:函数Px,)和Q(x,y)在L上连续，则沿L的 自然方向（即从点A到点B的方向）有 SP(x.ys+Q(x.dv-P.v+Ql)vvht. (证略) 注：起点参数值作下限，终点参数值作上限。 侧1计算达+0- ,其中L分别沿以下路线从点4A,到点B2,3), i)直线AB: i)抛物线4CB:y=2-+1: ⅲ)三角形周界ADBA 解 a经-间
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 4 , R, 则 f f ds c ( ) + 存在,且 + = + c c c (f f )ds fds gds . (2)可加性:设 c fds 存在,C = C1 C2, 1 2 , c c fds fds 存在,且 = + c c1 c2 fds fds fds . 注: (1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点”终点”, 若为封闭有向线段,则记为 c fds (2) 设 C − 是 C 的反向曲线(即 C − 和 C 方向相反),则 c fds =- c fds 即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数 f 与弧长的乘机,它与曲线 C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差 别. 二、第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向 为自然方向. 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : x = (t), y =(t), t . A ((),()), B ((),()) ; 函数 P(x, y) 和 Q(x, y) 在 L 上连续, 则沿 L 的 自然方向( 即从点 A 到点 B 的方向)有 ( ) ( ) + = + L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ( , ) ( , ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ) . (证略) 注：起点参数值作下限，终点参数值作上限． 例 1 计算 ( ) + − L xydx y x dy ,其中 L 分别沿以下路线从点 A(1,1) 到点 B(2,3), ⅰ）直线 AB ； ⅱ）抛物线 ACB： 2( 1) 1 2 y = x − + ； ⅲ）三角形周界 ADBA ． 解 ⅰ）直线 AB : = + = + 0,1 1 2 , 1 , t y t x t
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 技脑+6-海.00+20+2.君 i)抛物线4CB:y=2-+1,1≤x≤2， +6-wjt-+小+4-+1-x-k10 3 ⅲ)三角形周界ADBA: +6-w.+6-协，h+(-w,+6-协 +D8 +Ba j0-20,j+0+22咖*0-号 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0. 例2计+ ,这里L:i)沿抛物线从 O到B: I)沿抛物线y=2x2: ⅱ)沿直线段0B:y=2x 市)沿封闭曲线OABO. 解i)沿抛物线从O到B: +达+2r] =2 )沿直线段08：=2x,+达j2x+2 =2 注：这里不同路径积分值相同 ⅲ)沿封闭曲线OABO: 手xdy+JtJx+t「xy+kJx+ =0M +A8 +RO =0+2+(2)=0 注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0。 空间曲线时有：
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 5 故 ( ) + − AB xydx y x dy = ( t)( t) tdt + + + 1 0 1 1 2 2 = 6 25 ． ⅱ）抛物线 ACB： 2( 1) 1 2 y = x − + ，1 x 2， ( ) + − ACB xydx y x dy = x (x ) (x ) x (x )dx − + + − + − − 1 0 2 2 2 1 1 2 1 1 4 1 = 3 10 ． ⅲ）三角形周界 ADBA ： ( ) + − ADBA xydx y x dy = ( ) + − AD xydx y x dy + ( ) + − DB xydx y x dy + ( ) + − Ba xydx y x dy = 2 1 xdx + ( ) − 3 1 y 2 dy + ( t)( t) tdt + + + 0 1 1 1 2 2 = 6 25 0 2 3 − + + = 3 8 − ． 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为 0． 例 2 计算 + L xdy ydx ，这里 L ：ⅰ）沿抛物线从 O 到 B ： I） 沿抛物线 2 y x = 2 ； ⅱ）沿直线段 O B ： y = 2x ； ⅲ）沿封闭曲线 OABO ． 解 ⅰ）沿抛物线从 O 到 B ： + L xdy ydx = x( x) x dx + 1 0 2 4 2 = 2 ． ⅱ）沿直线段 O B ： y = 2x ， + L xdy ydx = ( x x)dx + 1 0 2 2 = 2 ． 注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线 OABO ： + L xdy ydx = + OA xdy ydx + + AB xdy ydx + + BO xdy ydx = 0 + 2 + (− 2) = 0． 注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为 0。 空间曲线时有：
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 [x=x(). y=y(r).tEla.B] 设有空间光滑曲线L:(2=) 起点为(aa=a》,终点为 ((B以(B)=(》则有 ∫P+O+G Pt:h0+e:0hO+00:60L60h 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限。 例3计算第二型曲线积分+k+妙+ ,L是螺旋线：x=acost, y=asnt,:=bl从1=0到t=π上的一段。 「x+(+y+x2dt 解 dcwsm1+aos1-dmas1+abemr7h -2a0+bh 例4求力少，-x,x+y+)作用下i)质点由A沿螺旋线L到B所做的功， 其中L:x=acost,y=asm1,:=bt,0≤1≤2π，i)质点由A沿直线L2到 B所做的功. 解1)m-+6+4法 da1-gow1+obeosr+absnr+6ih =2x(2-a2） i)m.-++* a+2地+
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 6 设有空间光滑曲线 L ： ( ) ( ) ( ) , , , , = = = t z z t y y t x x t 起点为 (x(), y(),z()) ，终点为 (x(), y(),z()) 则有： + + L Pdx Qdy Rzy = ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) + + P x t , y t ,z t x t Q x t , y t ,z t y t R x t , y t ,z t z t dt ． 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限． 例 3 计算第二型曲线积分 ( ) + + + L xydx x y dy x dz 2 ，L 是螺旋线： x = acost ， y = asin t ， z = bt 从 t = 0 到 t = 上的一段。 解 ( ) + + + L xydx x y dy x dz 2 = ( ) − + − + 0 3 2 2 2 2 2 2 a costsin t a cos t a sin t cost a bcos t dt = a (1+ b) 2 1 2 ． 例 4 求力 F (y,−x, x + y + z) 作用下ⅰ）质点由 A 沿螺旋线 L1 到 B 所做的功， 其中 L1：x = acost ，y = asin t ，z = bt ，0 t 2 ,ⅱ）质点由 A 沿直线 L2 到 B 所做的功. 解 ⅰ） W = ( ) − + + + L ydx xdy x y z dz = ( ) − − + + + 2 0 2 2 2 2 2 a sin t a cos t abcost absin t b t dt = ( ) 2 2 2 b − a ． ⅱ） W = ( ) − + + + L ydx xdy x y z dz = ( ) + 2 0 a t dt = 2b(a +b)．
《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 注：这里不同路径积分值不同. 作业教材208页：1一3
《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 7 注：这里不同路径积分值不同． 作业 教材 208 页: 1—3